投资学第8章指数模型
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* * E(RP ) ( wM w* ) E ( R ) w A A M A A
(10)计算最优风险投资组合 的方差： σ ( w w A ) σ w σ(eA )
2 P * M * A 2 2 M * A
2018/10/19
2
25
图 8.5 Efficient Frontiers with the Index Model and Full-Covariance Matrix
假定某一宏观因素影响着整个证券市场，除此外， 公司所有剩余的不确定性都是公司特有的，则证 券持有期收益为：
ri E (ri ) mi ei 其中E (ri )为基于可得信息的期望 收益 mi为未预期到的宏观事件 的影响 ei为未预期到的公司特有 事件的影响
2 于是：E (mi ) 0, E (ei ) 0, i2 m 2 (ei ) 2 Cov(ri , rj ) Cov(m ei , m e j ) m
2018/10/19
13
表8.1 Excel Output: Regression Statistics for the SCL of Hewlett-Packard
2018/10/19
14
图8.4 Excess Returns on Portfolio Assets
2018/10/19
15
8.4 投资组合的构建与单指数模型
2 2 2 则组合风险： P P M 2 ( eP )
1 2 1 2 又： (eP ) (ei ) (ei ) n i 1 n 结论：特有风险可分散 ，系统风险不可分散
2 n
2018/10/19 9
2
图8.1 The Variance of an Equally Weighted Portfolio with Risk Coefficient βp in the Single-Factor Economy
标普500的风险溢价 标普500组合的标准差估计 n组估计值： 系数 残差 值
2018/10/19
17
8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合
最大化夏普比率：
E ( RP ) P E ( RM ) P wi i E ( RM ) wi i
按Markovitz理论，为得到投资者的最优投资 组合，要求知道：
回报率均值向量 回报率方差-协方差矩阵 无风险利率
估计量和计算量随着证券种类的增加以指数 级增加 对风险溢价的估计无指导作用 基于以上两点，产生了指数模型(Sharpe, 1963)的改进
2018/10/19 1
2018/10/19
34
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本章小结
经济风险可分为系统因素和公司特有因素 导致的。 单指数模型大大简化了计算量 回归可得证券特征线 实务中常用总收益率而非超额收益来计量 指数模型。 贝塔趋向于1
8.4.1 与证券分析
单指数模型为宏观分析和证券分析提供了一个框架：
经济分析：估计风险溢价与市场指数风险 所有证券的系数与残差 通过市场驱动模型得到证券的期望收益 确定的努力来源于证券分析 8.4.2 投资资产的指数组合
2018/10/19 16
8.4.3 单指数模型的输入列表
2018/10/19
11
图8.2 Excess Returns on HP and S&P 500 April 2001 – March 2006
2018/10/19
12
图 8.3 Scatter Diagram of HP, the S&P 500, and the Security Characteristic Line (SCL) for HP
n
n
(3)计算积极组合的 值： A wi i
i 1
2018/10/19 23
8.4.6 最优化程序概述
(4)计算积极组合的残差： 2 (eA ) wi2 2 (ei )
i 1 n
(5)计算积极组合的原始头 寸： A 2 (e ) 0 i wA E ( RM ) 2 M
8.1 单因素(single-factor)证券市场
8.1.1 马科维茨模型的输入表 Markovitz模型运用的成功取决于输入表的 质量(GIGO问题) Markovitz模型的障碍：
计算量的庞大 相关系数或协方差的估计误差 例表8-1
2018/10/19
2
8.1.2 收益分布的正态性和系统风险
缺点： 资产收益不确定性结构上的限制，例如：未考 虑行业的因素。 残差项的相关性 概念检查问题1(P163)
2018/10/19 8
8.2.5 指数模型与分散化
考虑n个证券的等权重资产组 合， 其中每个证券的收益为 ：Ri i i RM ei 组合P的收益：RP P P RM eP
E ( RM )
2 M
19
2018/10/19
8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合
若积极组合头寸的不为1，则有如下修正:
w w 0 1 (1 A ) wA
* A
0 A
特别的，当
A 1, w w
* A
2018/10/19
0 A
20
8.4.5 信息比率
* 投资w* 于积极组合，投资 1 w , A A于指数组合
2018/10/19
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Table 8.5 Merrill Lynch, Pierce, Fenner & Smith, Inc.: Market Sensitivity Statistics
2018/10/19
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的调整
总是趋近于1
直觉经验 统计原因
美林的调整：
调整值 2/3样本值 1/3(1)
2018/10/19
31
8.5.3 的预测
简单的思路： 当前的 a b(过去的 ) 从而： 将来的 a b(当前的 ) 若考虑更多因素： 当前的 a b1 (过去的 ) b2 (公司规模) b3 (负债比率)
2018/10/19
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表 8.6 Industry Betas and Adjustment Factors
i 1 i 1 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 P P M (eP ) M wi i wi (ei ) i 1 i 1 E ( RP ) SP 1 2 1 2 n 1 n 1
2 2 2 i j M i M j M Corr (ri , rj ) Corr (ri , rM ) xCorr (rj , rM ) i j i M j M
2018/10/19
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单指数模型的优缺点
优点：
计算量简化为(3n+2)个
对实际投资有意义： 把握证券分析的重点
2 并有： i2 i2 m 2 (ei )根据方差定义与（ 1 ）可得 2 Cov(r ,r ) Cov ( m e , m e ) i j i i j j i j m
2018/10/19
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8.2 单指数模型
假如将市场指数视为宏 观因素的有效代表 则有单指数模型 (single index model) ： ri rf i i (rM rf ) ei 令：Ri ri rf , RM rM rf Ri (t ) i i RM (t ) ei
(6)计算积极组合的 值： A wi i
i 1
2018/10/19 24
n
8.4.6 最优化程序概述
0 w A (7)调整积极组合的原始头 寸：w* A 0 1 (1 A )wA
* (8)wM 1 w* A;
wi* w* A wi
(9) 计算最优风险投资组合 的风险溢价：
P
2018/10/19
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8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合
最优风险投资组合的构成: 积极组合 A 市场组合 M
若积极组合的 1, 则其最优权重应为： A / e2A
2 同理，指数组合的权重 为E ( RM ) / M
0 初始头寸：wA
A e2
A
2 i2 i2 M 2 (ei )
Cov( Ri , R j ) Cov( i i RM ei , j j RM e j )
2 Cov( i RM , j RM ) i j M
( Cov(ei , e j ) 0)
则最优风险投资组合的 夏普比率将比消极策略 高：
A sP sM (e A )
2 2
信息比率
2018/10/19
2
21
8.4.5 信息比率
为使积极组合的信息比 率最大化， 组合内单项证券的投资 比重应为：
2 (ei ) * * wi wA n i 2 i 1 (ei )
2018/10/19
10
8.3 估计单指数模型
RHP (t ) HP HP RS & P 500 (t ) eHP (t ) 此回归方程称为证券特 征线 (securitycharacteri stic line,SCL) 其中， HP 为截距， HP 为斜率， eHP (t )为残值(residuals)
指数模型：简单的就是好的 指数模型：证券投资的结构化分析思路
2018/10/19
28
8.5.2 指数模型的行业概念(industry version)
美林公司：r a brM e* 其中：a rf (1 ) 关键点：用总收益而非 超额收益
2 2 M 2 决定系数：R 2
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期望收益与值之间的关系
对式(8 - 8)两边求期望，得： E ( Ri ) i i E ( RM ) 其中， i E ( RM )代表系统风险溢价；
i 代表非市场溢价
积极的投资策略：寻找 正的
2018/10/19 6
单指数模型的风险与协方差
Ri i i RM ei
i
[
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(e A )
2
A
] [
2 i 1
n
(ei )
2
i
]
2
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8.4.6 最优化程序概述
(1) 计算积极组合中每个证 券的原始头寸： wi0 i / 2 (ei )
(2)调整原始头寸，使组合 比例之和为 1： wi wi0
0 w i i 1
Rosenberg & Guy(1976)的研究表明，公司的财务特征 所决定的值再加上行业调整因素，即能获得较准确的公 司的
2018/10/19 33
8.5.4 指数模型与跟踪投资组合
跟踪投资组合(tracking portfolio):具有与已 持有的投资组合相同值的投资组合
对冲策略(hedge):对找到的很有信心，对 市场没有信心。
2018/10/19
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表 8-4 Comparison of Portfolios from the Single-Index and Full-Covariance Models
2018/10/19
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8.5 指数模型在投资组合管理中的实际运用
8.5.1 指数模型与马科维茨模型的比较
马科维茨模型的R方可能较好，但巨量数据的可能 的估计误差抵消了这个好处。
2018/10/19
3
单因素模型
进一步的， 考虑不同企业对宏观经 济事件有不同的敏感度 ， 记证券i对宏观经济事件的敏感 度为 i， 则证券i的宏观成分 i mi， 并有：ri E (ri ) i m e （ ） i 1 此即单因素模型 (single factormodel)
(10)计算最优风险投资组合 的方差： σ ( w w A ) σ w σ(eA )
2 P * M * A 2 2 M * A
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图 8.5 Efficient Frontiers with the Index Model and Full-Covariance Matrix
假定某一宏观因素影响着整个证券市场，除此外， 公司所有剩余的不确定性都是公司特有的，则证 券持有期收益为：
ri E (ri ) mi ei 其中E (ri )为基于可得信息的期望 收益 mi为未预期到的宏观事件 的影响 ei为未预期到的公司特有 事件的影响
2 于是：E (mi ) 0, E (ei ) 0, i2 m 2 (ei ) 2 Cov(ri , rj ) Cov(m ei , m e j ) m
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表8.1 Excel Output: Regression Statistics for the SCL of Hewlett-Packard
2018/10/19
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图8.4 Excess Returns on Portfolio Assets
2018/10/19
15
8.4 投资组合的构建与单指数模型
2 2 2 则组合风险： P P M 2 ( eP )
1 2 1 2 又： (eP ) (ei ) (ei ) n i 1 n 结论：特有风险可分散 ，系统风险不可分散
2 n
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图8.1 The Variance of an Equally Weighted Portfolio with Risk Coefficient βp in the Single-Factor Economy
标普500的风险溢价 标普500组合的标准差估计 n组估计值： 系数 残差 值
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8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合
最大化夏普比率：
E ( RP ) P E ( RM ) P wi i E ( RM ) wi i
按Markovitz理论，为得到投资者的最优投资 组合，要求知道：
回报率均值向量 回报率方差-协方差矩阵 无风险利率
估计量和计算量随着证券种类的增加以指数 级增加 对风险溢价的估计无指导作用 基于以上两点，产生了指数模型(Sharpe, 1963)的改进
2018/10/19 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本章小结
经济风险可分为系统因素和公司特有因素 导致的。 单指数模型大大简化了计算量 回归可得证券特征线 实务中常用总收益率而非超额收益来计量 指数模型。 贝塔趋向于1
8.4.1 与证券分析
单指数模型为宏观分析和证券分析提供了一个框架：
经济分析：估计风险溢价与市场指数风险 所有证券的系数与残差 通过市场驱动模型得到证券的期望收益 确定的努力来源于证券分析 8.4.2 投资资产的指数组合
2018/10/19 16
8.4.3 单指数模型的输入列表
2018/10/19
11
图8.2 Excess Returns on HP and S&P 500 April 2001 – March 2006
2018/10/19
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图 8.3 Scatter Diagram of HP, the S&P 500, and the Security Characteristic Line (SCL) for HP
n
n
(3)计算积极组合的 值： A wi i
i 1
2018/10/19 23
8.4.6 最优化程序概述
(4)计算积极组合的残差： 2 (eA ) wi2 2 (ei )
i 1 n
(5)计算积极组合的原始头 寸： A 2 (e ) 0 i wA E ( RM ) 2 M
8.1 单因素(single-factor)证券市场
8.1.1 马科维茨模型的输入表 Markovitz模型运用的成功取决于输入表的 质量(GIGO问题) Markovitz模型的障碍：
计算量的庞大 相关系数或协方差的估计误差 例表8-1
2018/10/19
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8.1.2 收益分布的正态性和系统风险
缺点： 资产收益不确定性结构上的限制，例如：未考 虑行业的因素。 残差项的相关性 概念检查问题1(P163)
2018/10/19 8
8.2.5 指数模型与分散化
考虑n个证券的等权重资产组 合， 其中每个证券的收益为 ：Ri i i RM ei 组合P的收益：RP P P RM eP
E ( RM )
2 M
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2018/10/19
8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合
若积极组合头寸的不为1，则有如下修正:
w w 0 1 (1 A ) wA
* A
0 A
特别的，当
A 1, w w
* A
2018/10/19
0 A
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8.4.5 信息比率
* 投资w* 于积极组合，投资 1 w , A A于指数组合
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Table 8.5 Merrill Lynch, Pierce, Fenner & Smith, Inc.: Market Sensitivity Statistics
2018/10/19
30
的调整
总是趋近于1
直觉经验 统计原因
美林的调整：
调整值 2/3样本值 1/3(1)
2018/10/19
31
8.5.3 的预测
简单的思路： 当前的 a b(过去的 ) 从而： 将来的 a b(当前的 ) 若考虑更多因素： 当前的 a b1 (过去的 ) b2 (公司规模) b3 (负债比率)
2018/10/19
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表 8.6 Industry Betas and Adjustment Factors
i 1 i 1 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 P P M (eP ) M wi i wi (ei ) i 1 i 1 E ( RP ) SP 1 2 1 2 n 1 n 1
2 2 2 i j M i M j M Corr (ri , rj ) Corr (ri , rM ) xCorr (rj , rM ) i j i M j M
2018/10/19
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单指数模型的优缺点
优点：
计算量简化为(3n+2)个
对实际投资有意义： 把握证券分析的重点
2 并有： i2 i2 m 2 (ei )根据方差定义与（ 1 ）可得 2 Cov(r ,r ) Cov ( m e , m e ) i j i i j j i j m
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8.2 单指数模型
假如将市场指数视为宏 观因素的有效代表 则有单指数模型 (single index model) ： ri rf i i (rM rf ) ei 令：Ri ri rf , RM rM rf Ri (t ) i i RM (t ) ei
(6)计算积极组合的 值： A wi i
i 1
2018/10/19 24
n
8.4.6 最优化程序概述
0 w A (7)调整积极组合的原始头 寸：w* A 0 1 (1 A )wA
* (8)wM 1 w* A;
wi* w* A wi
(9) 计算最优风险投资组合 的风险溢价：
P
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8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合
最优风险投资组合的构成: 积极组合 A 市场组合 M
若积极组合的 1, 则其最优权重应为： A / e2A
2 同理，指数组合的权重 为E ( RM ) / M
0 初始头寸：wA
A e2
A
2 i2 i2 M 2 (ei )
Cov( Ri , R j ) Cov( i i RM ei , j j RM e j )
2 Cov( i RM , j RM ) i j M
( Cov(ei , e j ) 0)
则最优风险投资组合的 夏普比率将比消极策略 高：
A sP sM (e A )
2 2
信息比率
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8.4.5 信息比率
为使积极组合的信息比 率最大化， 组合内单项证券的投资 比重应为：
2 (ei ) * * wi wA n i 2 i 1 (ei )
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8.3 估计单指数模型
RHP (t ) HP HP RS & P 500 (t ) eHP (t ) 此回归方程称为证券特 征线 (securitycharacteri stic line,SCL) 其中， HP 为截距， HP 为斜率， eHP (t )为残值(residuals)
指数模型：简单的就是好的 指数模型：证券投资的结构化分析思路
2018/10/19
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8.5.2 指数模型的行业概念(industry version)
美林公司：r a brM e* 其中：a rf (1 ) 关键点：用总收益而非 超额收益
2 2 M 2 决定系数：R 2
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期望收益与值之间的关系
对式(8 - 8)两边求期望，得： E ( Ri ) i i E ( RM ) 其中， i E ( RM )代表系统风险溢价；
i 代表非市场溢价
积极的投资策略：寻找 正的
2018/10/19 6
单指数模型的风险与协方差
Ri i i RM ei
i
[
2018/10/19
(e A )
2
A
] [
2 i 1
n
(ei )
2
i
]
2
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8.4.6 最优化程序概述
(1) 计算积极组合中每个证 券的原始头寸： wi0 i / 2 (ei )
(2)调整原始头寸，使组合 比例之和为 1： wi wi0
0 w i i 1
Rosenberg & Guy(1976)的研究表明，公司的财务特征 所决定的值再加上行业调整因素，即能获得较准确的公 司的
2018/10/19 33
8.5.4 指数模型与跟踪投资组合
跟踪投资组合(tracking portfolio):具有与已 持有的投资组合相同值的投资组合
对冲策略(hedge):对找到的很有信心，对 市场没有信心。
2018/10/19
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表 8-4 Comparison of Portfolios from the Single-Index and Full-Covariance Models
2018/10/19
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8.5 指数模型在投资组合管理中的实际运用
8.5.1 指数模型与马科维茨模型的比较
马科维茨模型的R方可能较好，但巨量数据的可能 的估计误差抵消了这个好处。
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单因素模型
进一步的， 考虑不同企业对宏观经 济事件有不同的敏感度 ， 记证券i对宏观经济事件的敏感 度为 i， 则证券i的宏观成分 i mi， 并有：ri E (ri ) i m e （ ） i 1 此即单因素模型 (single factormodel)