《材料力学》课后习题答案(详细)

第二章轴向拉(压)变形
[习题2-1]试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a）
解：（1）求指定截面上的轴力
F
N =-11F
F F N -=+-=-222（2）作轴力图
轴力图如图所示。

（b）
解：（1）求指定截面上的轴力
F
N 211=-0
2222=+-=-F F N （2）作轴力图
F
F F F N =+-=-2233轴力图如图所示。

（c）
解：（1）求指定截面上的轴力
F
N 211=-F
F F N =+-=-222（2）作轴力图
F
F F F N 32233=+-=-轴力图如图所示。

（d）
解：（1）求指定截面上的轴力
F
N =-11F F a a
F
F F qa F N 22222-=+⋅-
-=+--=-（2）作轴力图
中间段的轴力方程为：
x a
F F x N ⋅-
=)(]
0,(a x ∈轴力图如图所示。

[习题2-2]
试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴
力图。

若横截面面积2400mm A =，试求各横截面上的应力。

解：（1）求指定截面上的轴力
kN
N 2011-=-)
(10201022kN N -=-=-
)
(1020102033kN N =-+=-（2）作轴力图
轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力
MPa mm N A N 5040010202
31111-=⨯-==--σMPa
mm N A N 254001010232222-=⨯-==--σMPa mm
N A N 2540010102
3333
3=⨯==--σ[习题2-3]试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。

若横截面面积21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。

解：（1）求指定截面上的轴力
kN
N 2011-=-)(10201022kN N -=-=-)
(1020102033kN N =-+=-（2）作轴力图
轴力图如图所示。

（3）计算各截面上的应力
MPa mm N A N 10020010202
311111-=⨯-==--σMPa mm
N A N 3.3330010102
32222
2-=⨯-==--σ
MPa
mm N A N 2540010102
3333
3=⨯==--σ[习题2-4]图示一混合屋架结构的计算简图。

屋架的上弦用钢筋混凝土制成。

下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个mm mm 875⨯的等边角钢。

已知屋面承受集度为
m kN q /20=的竖直均布荷载。

试求拉杆AE 和EC 横截面
上的应力。

解：（1）求支座反力
由结构的对称性可知：
)(4.177)937.42(205.02
1
kN ql R R B A =+⨯⨯⨯==
=（2）求AE 和EG 杆的轴力
①用假想的垂直截面把C 铰和EG 杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件可知：
)(=∑F M
C
087.84.1772
87
.8)5.437.4(20)2.11(=⨯-⨯+⨯++⋅EG N )(62.357]87.84.1772
87.8)5.437.4(20[2.21kN N EG
=⨯+⨯+⨯-⨯=②以C 节点为研究对象，其受力图如图所
示。

由平平衡条件可得：
=∑X 0cos =-αEA EG N N )
(86.366137.437.462.357cos 2
2kN N N EG
EA =+==
α
（3）求拉杆AE 和EG 横截面上的应力
查型钢表得单个mm mm 875⨯等边角钢的面积为：
2
213.1150503.11mm cm A ==MPa mm N A N EA AE
5.1593.11502108
6.36623=⨯⨯==σMPa mm
N A N EG EG
5.1553.115021062.3572
3=⨯⨯==σ[习题2-5]石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。

荷载
kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：
g
Al F G F N ρ--=+-=)((942.31048.935.210)114.323(10002kN
-=⨯⨯⨯⨯+⨯--=8.935.210)114.323(10002⨯⨯⨯⨯+⨯--=)
(942.3104kN -=墩身底面积：)
(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m
kN
A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==
σ[习题2-6]图示拉杆承受轴向拉力kN F 10=，杆的横截面面积2100mm A =。

如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求当o o o o o 90,60,45,30,0=α时各斜截面
上的正应力和切应力，并用图表示其方向。

解：斜截面上的正应力与切应力的公式
为：
ασσα20cos =αστα2sin 2
=
式中，MPa mm N A N 100100100002
0===
σ，把α的数值代入以上二式得：轴向拉/压杆斜截面上的应力计算
题目编号习题2-6
100001000100100.00.0100001003010075.043.3100001004510050.050.0100001006010025.043.310000
100
90
100
0.0
0.0
[习题2-7]一根等直杆受力如图所示。

已知杆的横截面面积A 和材料的弹性模量E。

试作轴力图，并求杆端点D 的位移。

解：（1）作轴力图
F
N CD =F F F N BC -=+-=2F
F F F N AB =+-=22)(0MPa σ)(MPa ασ)
(MPa ατ)
(o α)
(N N )
(2mm A
AD 杆的轴力图如图所示。

（2）求D 点的位移
EA
l N EA l N EA l N l CD
CD BC BC AB AB AD D ++=
∆=∆EA Nl EA Fl EA Fl 3/3/3/+-+=
EA
Fl
3=
（→）[习题2-8]一木桩受力如图所示。

柱的横。

截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量GPa E 10=。

如不计柱的自重，试求：
（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。

解：（1）作轴力图
kN
N AC 100-=)
(260160100kN N CB -=--=轴力图如图所示。

（2）计算各段上的应力
MPa mm N
A N AC AC 5.2200200101002
3-=⨯⨯-==σ。

MPa mm N A N CB CB
5.6200200102602
3-=⨯⨯-==σ，（3）计算各段柱的纵向线应变
4
3105.210105.2-⨯-=⨯-==MPa MPa E AC AC σε4
3
105.610105.6-⨯-=⨯-==
MPa
MPa E CB CB σε（4）计算柱的总变形
)
(35.110)15005.615005.2(4mm l l l CB CB AC AC AC =⨯⨯-⨯-=⋅+⋅=∆-εε[习题2-9]一根直径mm d 16=、长m l 3=的圆截面杆，承受轴向拉力
kN F 30=，其伸长为mm l 2.2=∆。

试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E 。

解：（1）求杆件横截面上的应力
MPa
mm N
A N 3.1491614.34
1
1030223=⨯⨯⨯==σ（2）求弹性模量
因为：EA Nl l =
∆，所以：GPa MPa l l l A l N E 6.203)(9.2035902
.23000
3.149==⨯=∆⋅=∆⋅⋅=σ。

[习题2-10]（1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变s ε等于直径方向的线应变d ε。

（2）一根直径为mm d 10=的圆截面杆，在轴向力F 作用下，直径减小了0.0025mm。

如材料的弹性模量GPa E 210=，泊松比3.0=ν，试求该轴向拉力F。

（3）空心圆截面杆，外直径mm D 120=，内直径mm d 60=，材料的泊松比3.0=ν。

当其轴向拉伸时，已知纵向线应变001.0=，试求其变形后的壁厚。

解：（1）证明d
s εε=
在圆形截面上取一点A，连结圆心O 与A 点，则OA 即代表直径方向。

过A 点作一条直线AC 垂直于OA，则AC 方向代表圆周方向。

νεεε-==AC s （泊松比的定义式），同理，νε
εε-==OA d 故有：d s εε=。

（2）求轴向力F
mm
d 0025.0-=∆4
'105.210
0025.0-⨯-=-=∆=d d ενε
ε-='4
4'103253.0105.2-⨯=⨯--=-=νεεεσE =εE A
F
=kN N AE F 74.13)(5.13737103
25
102101014.325.0432==⨯⨯
⨯⨯⨯⨯==-ε（3）求变形后的壁厚
4
'103001.03.0-⨯-=⨯-=-=νεε4
'103)
(-⨯-==--∆εr
R r R mm
r R 009.0)3060()103()(4-=-⨯⨯-=-∆-变形厚的壁厚：
)
(991.29009.030|)(|)(mm r R r R =-=-∆--=∆[习题2-11]受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。

已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD ∆。

解：
EA
F
E A
F νν
νεε-=-=-=/'式中，δδδa a a A 4)()(22=--+=，故：
δ
ν
εEa F 4'-
=δ
νεEa F a a 4'-==∆δν
E F a a a 4'-
=-=∆δ
ν
E F a a 4'-
=a a a CD 12145
)()(243
232=
+='12
145
)'()'(24
3
232''a a a D C =+=δ
ν
δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''⋅-=⋅-=-=
-=∆[习题2-12]图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPa E 210=，已知m l 1=，221100mm A A ==，23150mm A =，kN F 20=。

试求C 点的水平位移和铅垂位移。

解：（1）求各杆的轴力
以AB 杆为研究对象，其受力图如图
所示。

因为AB 平衡，所以
=∑X 045cos 3=o N 0
3=N 由对称性可知，0=∆CH )
(10205.05.021kN F N N =⨯===受力图
（2）求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mm mm mm N mm
N EA l N
l 476.0100/2100001000100002
2111=⨯⨯==∆B 点的铅垂位移：mm mm
mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2222=⨯⨯==
∆1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。

由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到：
C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l o BH AH CH =⋅∆=∆=∆=∆C 点的铅垂位移：)
(476.01mm l C =∆=∆[习题2-13]图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力kN F 35=。

已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。

试求A 点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC 杆的轴力
以节点A 为研究对象，其受力图如图所
示。

由平衡条件得出：
0=∑X ：0
45sin 30sin =-o AB o AC
N N AB AC N N 2=………………………(a)
0=∑Y ：0
3545cos 30cos =-+o AB o AC
N N
7023=+AB AC N N ………………(b)
(a)(b)联立解得：
kN
N N AB 117.181==；
kN
N N AC 621.252==变形协调图
（2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移
222
211212221
EA l N EA l N F A +=∆)
(12
22
2
1121EA l N EA l N F A +=∆式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)
(160030sin /8002mm l o ==2211131214.325.0mm A =⨯⨯=；2
221771514.325.0mm A =⨯⨯=故：)(366.1)177
2100001600
25621113210000141418117(35000122mm A =⨯⨯+⨯⨯=
∆[习题2-14]图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加一竖向荷载F。

已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210=，钢丝的自重不计。

试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；
（2）钢丝在C 点下降的距离∆；（3）荷载F 的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力
)
(7350035.0210000MPa E =⨯==εσ（2）求钢丝在C 点下降的距离∆
)(72100002000735mm E l EA Nl l =⨯=⋅==
∆σ。

其中，AC 和BC 各mm 5.3。

996512207
.05
.10031000
cos ==αo
7867339.4)5.10031000
arccos(==α)
(7.837867339.4tan 1000mm o ==∆
（3）求荷载F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
0=∑Y ：0
sin 2=-P a N α
σsin 2sin 2A a N P ==)
(239.96787.4sin 114.325.0735202N =⨯⨯⨯⨯⨯=[习题2-15]图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解：取长度为dx 截离体（微元体）。

则微元体的伸长量为：
)
()(x EA Fdx
l d =
∆⎰⎰
==∆l l
x A dx
E F
dx x EA F l 00
)
()(l x r r r r =--1212
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+⋅-=
2
2
11
222)(u d x l d d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππdx l d d du d x l d d d 2)22(
1
2112-==+-du
d d l
dx 1
22-=
)()(22)(221212u
du d d l du u d d l x A dx -⋅-=⋅-=ππ因此，
)()(2)()(2
02100
u du
d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
⎰⎰⎰
--===∆π
l
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 011
221021221)(21)(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+
--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=ππ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+--=21221)(211
1
221d d l l d d d d E Fl π⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=122122)(2d d d d E Fl π2
14d Ed Fl π=[习题2-16]有一长度为300mm 的等截面钢杆承受轴向拉力kN F 30=。

已知杆的横截面面积22500mm A =，材料的弹性模量GPa E 210=。

试求杆中所积蓄的应变能。

解：)(257.02500/21000023.03000022
2222m N mm
mm N m
N EA l N U ⋅=⨯⨯⨯==[习题2-17]两根杆A 1B 1和A 2B 2的材料相同，其长度和横截面面积相同。

杆A 1B 1承受作用在端点的集中荷载F；杆A 2B 2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度l
F
f =。

试比较这两根杆内积蓄的应变能。

解：（1）求（a）图的应变能
EA
l
F U a 22=
（2）求（b）图的应变能
EA dx x N dU b 2)(2=
dx fx EA
EA dx x N U l
l
b 2
00
2)(212)(⎰⎰
==
EA
l F EA l l F EA l f dx x EA f l 66)/(6223232022=⋅===⎰(3)以上两种情形下的应变能比较
36222==EA
l
F EA
l F U U b a ，即：b a U U 3=。

[习题2-18]图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为kN F 140=。

如提升闸门的钢质丝杠内径mm d 40=，钢的许用应力MPa 170][=σ，试校核丝杠的强度。

解：（1）计算最大工作应力
2max max 25.0d F
A N πσ==
)(465.11140
14.325.01400002
MPa N
=⨯⨯=
（2）强度校核
因为MPa 170][=σ，MPa 465.111max =σ即：]
[max σσ<所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-19]简易起重设备的计算简图如图所示。

已知斜杆AB 用两根
mm mm mm 44063⨯⨯不等边角钢组成，钢的许用应力MPa 170][=σ。

试问在起重
量kN P 15=的重物时，斜杆AB
是否满足强度条件？
解：（1）计算AB 杆的工作应力
以A 结点为研究对象，其受力图如图所示。

由其平衡条件可得：
∑=0
Y 030sin 0=--P F N AB 0230sin 0=-P N AB )
(601544kN P N AB =⨯==查型钢表得：单个mm mm mm 44063⨯⨯不等边角钢
的面积为：228.405058.4mm cm =。

两个角钢的总
面积为)(6.8118.40522mm =⨯故AB 杆的工作应力为：
MPa
mm N
746.811600002
max ==
σ（2）强度校核
因为MPa 170][=σ，MPa 74max =σ即：]
[max σσ<所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-20]一块厚mm 10、宽mm 200的旧钢板，其截面被直径mm d 20=的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的
轴线，如图所示。

钢板承受轴向拉力
kN
F 200=。

材料的许用应力
MPa 170][=σ，若不考虑应力集中的影
响，试校核钢板的强度。

解：（1）判断危险截面
垂直于轴线，且同时过两个孔的截面是危险截面。

不考虑应力集中时，可认为应力在这截面上均匀分布。

（2）计算工作应力
危险截面上的工作应力为：指示
dt
bt F A N 2max -=
=
σMPa
mm N
12510)202200(2000002
=⨯⨯-=
（3）强度校核
因为MPa 170][=σ，MPa 125max =σ即：]
[max σσ<所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。

[习题2-21]一结构受力如图所示，杆件AB，AD 均由两根等边角钢组成。

已知材料的许用应力MPa 170][=σ，试选择AB，
AD 的角钢型号。

解：（1）求AB、AD 杆的轴力
由对称性可知：
)(300)2300(2
1
kN N AD =⨯⨯=
取节点A 为研究对象，由其平衡条件可得：
∑=0
Y 030sin 0=-AD AB N N )
(6002kN N N AD AB ==（2）计算AB、AD 杆的工作应力，并选定角钢。

][σσ≤=
AD
AD
AD A N 2
22
65.177.1764/170300000][cm mm mm N N N A AD AD ===≥
σ查型钢表，AD 杆可选用两根角钢号数为8的、mm mm 680⨯（单根面积
2397.9cm ）的等边角钢。

][σσ≤=
AB
AB
AB A N 2
22
291.351.3529/170600000][cm mm mm
N N
N A AB AB ===≥
σ查型钢表，AB 杆可选用两根角钢号数为10的、mm mm 10100⨯（单根面积2261.19cm ）的等边角钢。

[习题2-22]一桁架如图所示。

各杆都由两个等边角钢组成。

已知材料的许用应力MPa 170][=σ，试选择AC 和CD 的角钢型号。

解：（1）求支座反力
由对称性可知，
)
(220↑==kN R R B A （2）求AC 杆和CD 杆的轴力
以A 节点为研究对象，由其平衡条件得：
=∑Y
0cos =-αAC A N R )(667.3665
/3220
sin kN R N A AC ===
α以C 节点为研究对象，由其平衡条件得：
=∑X 0cos =-αAC CD N N )(333.2935/45
/3220
cos kN N N AC CD =⨯=
=α（3）由强度条件确定AC、CD 杆的角钢型号
AC 杆：
2
22
569.2186.2156/170366667][cm mm mm N N N A AC AC ===≥
σ选用2∟780⨯（面积272.2186.102cm =⨯）。

CD 杆：
2
22
255.17488.1725/170293333][cm mm mm N N N A CD CD ===≥
σ选用2∟675⨯（面积2594.17797.82cm =⨯）。

[习题2-23]一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成。

已知材料的许用应力MPa 170][=σ，材料的弹性模量
GPa E 210=，杆AC 及EG 可视为刚性的。

试选择各杆的角钢型号，并分别求
点D、C、A 处的铅垂位移D ∆、C ∆、A ∆。

解：（1）求各杆的轴力
)(24030042
.3kN N AB =⨯=)(603004
8.0kN N CD
=⨯=0
=∑F
M
02.1605.13003=⨯-⨯-⨯GH N )
(174)72450(3
1
kN N GH =+=0
=∑Y 0
30060174=--+EF N )
(186kN N EF =（2）由强度条件确定AC、CD 杆的角钢型号
AB 杆：
2
22
12.14765.1411/170240000][cm mm mm
N N
N A AB AB ===≥
σ选用2∟55690⨯⨯（面积2424.14212.72cm =⨯）。

CD 杆：
2
22
529.3941.352/17060000][cm mm mm
N N
N A CD CD ===≥
σ选用2∟32540⨯⨯（面积278.389.12cm =⨯）。

EF 杆：
2
22
412.10118.1094/170186000][cm mm mm
N N
N A EF EF ===≥
σ选用2∟54570⨯⨯（面积2218.11609.52cm =⨯）。

GH 杆：
2
22
353.10529.1023/170174000][cm mm mm
N N
N A GH GH ===≥
σ选用2∟54570⨯⨯（面积2218.11609.52cm =⨯）。

（3）求点D、C、A 处的铅垂位移D ∆、C ∆、A
∆)(7.2694.24
.14422100003400
240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=⨯⨯==
∆
)(907.0378210000120060000mm EA l N l CD CD CD CD =⨯⨯==
∆)(580.18.11212100002000186000mm EA l N l EF EF EF EF =⨯⨯==
∆)(477.18
.11212100002000174000mm EA l N l GH GH GH GH =⨯⨯==∆EG 杆的变形协调图如图所示。

3
8.1=--∆GH EF GH D l l l 3
8.1477.1580.1477.1=--∆D )
(54.1mm D =∆)
(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+∆=∆)
(7.2mm l AB A ==∆[习题2-24]已知混凝土的密度33/1025.2cm kg ⨯=ρ，许用压应力MPa 2][=σ。

试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积1A 和2A 。

若混凝土的弹
性模量GPa E 20=，试求柱顶A 的位移。

解：（1）确定1A 和2
A 混凝土的重度（重力密度）：
)
/(05.228.91025.233m kN g =⨯⨯==ργ上段（1杆）：
1杆的重量：
)
(6.264100005.2212100011kN A A +=⨯⨯+]
[||max 1σσ≤
kPa kPa A A 2000][6.26410001
1=≤+σ1
120006.2641000A A ≤+1000
4.17351≥A )
(576.021m A ≥下段（2杆）
2杆的重量：)(6.26441.115205.221205.2212576.0100022kN A A +=⨯⨯+⨯⨯+]
[||max 2σσ≤kPa kPa A A 2000][6.26441.11522
2=≤+σ2
220006.26441.1152A A ≤+41
.11524.17352≥A )
(664.022m A ≥（2）计算A 点的位移
1杆的轴力：)
)(10007.12()05.22576.01000()(kN x x x N +-=⨯+-=（x 以m 为单位）
2杆的轴力：)
05.22664.005.2212576.01000()(⨯+⨯⨯+-=y y N )
)(41.115264.14()(kN y y N +-=dx m
m kN kN x l ⎰⨯⨯+-=∆12
02261576.0/1020)10007.12(⎰+-=-1206)10007.12(52
.1110dx x []
12026100035.652.1110x x +-=-[]
1210001235.652.111026
⨯+⨯-=-
)
(1011216m -⨯-=)(121.1mm -=（负号表示压缩量）dy m m kN kN y l ⎰⨯⨯+-=∆12
02
262664.0/1020)41.115264.14(⎰+-=-120
6)41.115264.14(28.1310dy y []
1202641.115232.728.1310y y +-=-[]
1241.11521232.728.131026
⨯+⨯-=-)
(1011216mm -⨯-=)(121.1mm -=（负号表示压缩量）
)(242.2121.1121.121mm l l A -=--=∆+∆=∆（↓）
[习题2-25]（1）刚性梁AB 用两根钢杆AC、BD 悬挂着，其受力如图所示。

已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251=和mm d 182=，钢的许用应力
MPa 170][=σ，弹性模量GPa
E 210=。

试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形AC l ∆、BD l ∆及A、B 两点的竖向位
移A ∆、B ∆。

解：（1）校核钢杆的强度
①求轴力
)(667.661005.43kN N AC =⨯=
)(333.331005
.45.1kN N BC =⨯=②计算工作应力
222514.325.066667mm N A N AC AC AC ⨯⨯==σMPa
882.135=2
21814.325.033333mm N A N BD BD BD ⨯⨯==σMPa
057.131=③因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即][σσ≤AC ；][σσ≤BD ，
所以AC 及BD 杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算AC l ∆、BD
l ∆)(618.1625.490210000250066667mm EA l N l AC AC AC AC =⨯⨯==
∆)(560.134
.254210000250033333mm EA l N l BD BD BD BD =⨯⨯==∆（3）计算A、B 两点的竖向位移A ∆、B
∆)
(618.1mm l AC A =∆=∆)(560.1mm l BD B =∆=∆。

[习题2-26]图示三铰屋架的拉杆用16锰钢杆制成。

已知材料的许用应力
MPa 210][=σ，弹性模
量GPa E 210=。

试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。

解：（1）求支座反力
由对称性可知：
B
A R R =)(565.1497.179.165.0kN =⨯⨯=（↑）
（2）求拉杆AB 的轴力
=∑C M 0
85.8565.149425.485.89.1614.3=⨯-⨯⨯+⨯AB N )
(772.210kN N AB =（3）按强度条件选择钢杆的直径
226876.1003/210210772][mm mm
N N N A AB AB ==≥σ2
26876.100314.325.0mm d ≥⨯2
2563.1278mm d ≥mm
d 76.35≥（4）计算钢杆的伸长
)(7.176876
.100321000017700210772mm EA l N l AB AB AB AB =⨯⨯==∆[习题2-27]简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度l 保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角θ的变化而改变。

两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。

要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：
（1）两杆的夹角；
（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力
取节点B 为研究对象，由其平衡条
件得：
∑=0
Y 0
sin =-F N AB θ
θ
sin F
N AB =∑=0
X 0
cos =--BC AB N N θθ
θθθcot cos sin cos F F N N AB BC =⋅=-=（2）求工作应力
θ
σsin AB AB AB AB A F
A N
==BC
BC BC BC A F A N θ
σcot =
=（3）求杆系的总重量
)(BC BC AB AB l A l A V W +=⋅=γγ。

γ是重力密度（简称重度，单位：3/m kN ）。

)
cos (l A l A BC AB +=θγ)
cos 1(BC AB A A l +⋅=θγ（4）代入题设条件求两杆的夹角条件①：][sin σθσ===AB AB AB AB A F A N ，θ
σsin ][F A AB =
][cot σθ
σ===BC BC BC BC A F A N ，]
[cot σθ
F A BC =
条件⑵：W 的总重量为最小。

)
cos 1(BC AB A A l W +⋅=θγ)
cos 1(BC AB A A l +⋅=θγ)
][cot cos 1sin ][(σθ
θθσγF
F l +⋅⋅=
)sin cos cos sin 1(][θ
θθθσγ+=Fl []⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ
θθσγcos sin cos 12Fl []⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=θθσγ2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知，W 是θ角的一元函数。

当W 的一阶导数等于零时，W 取得最小值。

[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-⋅-=θθθθθθσγθ
Fl d dW 022cos 2
2cos 32sin 2=⋅⋅+--θθθ0
2cos 2cos 32sin 22=---θθθ12cos 3-=θ3333
.02cos -=θo
47.109)3333.0arccos(2=-=θ'
445474.54o o ==θ（5）求两杆横截面面积的比值
θσsin ][F A AB =
]
[cot σθ
F A BC =θ
θθσθθσcos 1cot sin 1]
[cot sin ][===F F A A BC AB 因为：1
2cos 3-=θ3
1
1cos 22-=-θ
31cos 2=θ31cos =θ3cos 1=θ
所以：3=BC
AB A A [习题2-28]一内径为r ，厚度为δ（10r ≤
δ），宽度为b 的薄壁圆环。

在圆环的内表面承受均匀分布的压力p （如图），试
求：
（1）由内压力引起的圆环径向截面上应力；
（2）由内压力引起的圆环半径的伸长。

解：（1）求圆环径向截面上应力
如图，过水平直径作一水平面（即为径向截
面），取上半部分作为研究对象，其受力图如图
所示。

由平衡条件得：
∑=0
Y 0
22=-σδb rbp δ
σrp =（2）求由内压力引起的圆环半径的伸长
应用变形能原理：U W =。

)2(2)2(212
b r E
uV p rb r δπσπ⋅==∆⋅⋅δ
δδσδE pr pr Ep Ep r 222)(=⋅==∆
第三章扭转习题解
[习题3-1]一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I，III，IV，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。

试作轴的扭图。

解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）n
N T
k e 55.9=外力偶矩计算(kW 换算成kN.m)
题目编号轮子编号轮子作用功率(kW)转速r/min Te （kN.m）习题3-1I 从动轮182000.859II 主动轮60200 2.865
III 从动轮122000.573
IV 从动轮22200 1.051
V 从动轮82000.382
(2)作扭矩图
[习题3-2]一钻探机的功率为10kW，转速min /180r n =。

钻杆钻入土层的深度m l 40=。

如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力
偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。

解：（1）求分布力偶的集度m
)(5305.018010549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯==设钻杆轴为x 轴，则：0
=∑x M e
M ml =)/(0133.040
5305.0m kN l M m e ===（2）作钻杆的扭矩图
x x l M mx x T e 0133.0)(-=-
=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ；)(5305.0)40(m kN M T e ⋅-==扭矩图如图所示。

[习题3-3]圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min。

若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，试问所传递的功率为多大？解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：
)(245445014159.316
1161333mm d W p =⨯⨯==π（2）计算扭矩
2max /60mm N W T
p
==
τ)
(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ⋅=⋅=⨯=（3）计算所传递的功率
)(473.1549
.9m kN n
N M T k
e ⋅===)
(5.18549.9/120473.1kW N k =⨯=[习题3-4]空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。

已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o 8.1=ϕ，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：
（1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最大切应力
)(9203877)5.01(10014159.3321
)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ。

)
(184078)5.01(10014159.3161
)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=απ式中，D d /=α。

p
GI l
T ⋅=
ϕ，mm
mm mm N l
GI T p
27009203877/80000180/14159.38.142⨯⨯⨯=
=
ϕmm N ⋅=45.8563014)
(563.8m kN ⋅=MPa mm mm N W T p 518.4618407845.85630143
max =⋅==
τ（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率
)(563.880
549.9549
.9m kN N
n N M T k k e ⋅=⨯===
)
(74.71549.9/80563.8kW N k =⨯=[习题3-5]实心圆轴的直径mm d 100=，长m l 1=，其两端所受外力偶矩
m kN M
e ⋅=14，材料的切变模量GPa G 80=。

试
求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；（2）图示截面上A、B、C 三点处切应力的数
值及方向；
（3）C 点处的切应变。

解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角
p
e p W M W T
==
max τ。

式中，)(19634910014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
π。

故：MPa mm mm
N W M p e 302.71196349101436max =⋅⨯==τp
GI l T ⋅=
ϕ式中，)(981746910014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
π。

故：o
p rad m
m N m m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004
1229==⨯⨯⨯⨯⋅=⋅=
-ϕ（2）求图示截面上A、B、C 三点处切应力的数值及方向
MPa
B A 302.71max ===τττ由横截面上切应力分布规律可知：
MPa
B C 66.35302.715.02
1
=⨯==ττA、B、C 三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C 点处的切应变
3
4310446.0104575.4108066.35--⨯≈⨯=⨯==
MPa
MPa G C C τγ[习题3-6]图示一等直圆杆，已知mm d 40=，
mm a 400=，GPa G 80=，o DB 1=ϕ。

试求：
（1）最大切应力；（2）截面A 相对于截面C 的扭转
角。

解：（1）计算最大切应力
从AD 轴的外力偶分布情况可知：
e CD AB M T T ==，0=BC T 。

p
e p p e p CB CB p DC DC p i i DB GI a
M GI a GI a M GI l T GI l T GI l T =⋅+⋅=⋅+⋅==∑
0ϕa
GI M p e ϕ=
式中，)(2513274014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
π。

故：mm
N mm mm mm N a GI M p e ⋅=⋅⨯==
877296180
14159.3400251327/8000042ϕp
e
W M =
max τ式中，)(125664014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
π。

故：MPa mm
mm N W M p e 815.69125668772963
max =⋅==
τ（2）计算截面A 相对于截面C 的扭转角
o
DB p
e p p e p BC BC p AB AB p i i AC GI a M GI a GI a M GI l T GI l
T GI l T 22202===⋅+⋅=⋅+⋅==∑
ϕϕ
[习题3-7]某小型水电站的水轮机容量为50kW ，转速为300r/min，钢轴直径为75mm，若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力MPa 20][=τ。

试校核轴的强度。

解：（1）计算最大工作切应力
p
p e W T
W M ==
max τ式中，)(592.1300
50
549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯==；)(125667514159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
π。

故：MPa mm
mm N W M p e 219.198283515920003
max =⋅==
τ（2）强度校核
因为MPa 219.19max =τ，MPa 20][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

[习题3-8]已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mm D 60=，内径
mm d 50=，功率kW P 355.7=，转速min /180r n =，钻杆入土深度m l 40=，钻杆
材料的GMPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ。

假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
)(390.0180
355
.7549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯==
设钻杆轴为x 轴，则：0
=∑x M e M ml =)/(00975.040
390
.0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
x x mx x T 00975.040
39
.0)(-=-=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ；
)
(390.0)40(m kN M T e ⋅-==扭矩图如图所示。

②强度校核
p
e W M =
max τ式中，)(21958]60
50
(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=
απMPa mm
mm N W M p e 761.17219583900003
max =⋅==
τ因为MPa 761.17max =τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角
⎰
=400
)(p
GI dx x T ϕ式中，)(658752])60
50
(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ40
240
4
1226400
2
[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p
p ⎰
⎰
-⨯⨯⨯==
=ϕ0
5.8)(148.0≈=rad
[习题3-9]图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为0.2kN，已知轴材料的许用切
应力MPa 40][=τ，试求：
（1）AB 轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。

解：（1）计算AB 轴的直径
AB 轴上带一个主动轮。

两个手柄所施加
的外力偶矩相等：
)(08.04.02.0m kN M M e e ⋅=⨯==右左)
(16.02m kN M M e e ⋅==右主动轮扭矩图如图所示。

由AB 轴的强度条件得：
]
[163
max τπτ≤==
d M W M
e p
e 右
右mm mm
N mm
N M d e 7.21/4014159.38000016]
[163
2
3
=⨯⋅⨯=≥τπ右
（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
35
.02
.0从动轮主动轮
e e M M =)(28.016.020
.035
.0m kN M e ⋅=⨯=
从动轮由卷扬机转筒的平衡条件得：
从动轮
e M P =⨯25.0
28
.025.0=⨯P )
(12.125.0/28.0kN P ==[习题3-10]直径mm d 50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶
m kN M e ⋅=6，而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点，如图所示。

已知mm AA s 31==∆⋂
，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，试求泊松比ν（提示：各
向同性材料的三个弹性常数E、G、ν间存在
如下关系：)
1(2ν+=
E
G 。

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：
m kN M T e ⋅==6。

设1,O O 两截面之间的相
对对
转角为ϕ，则2d
s ⋅=∆ϕ，d
s ∆⋅=
2ϕd
s
GI l T P ∆=⋅=
2ϕ式中，)(6135925014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
πGPa
MPa mm
mm mm
mm mm N s I d l T G p 4874.81372.8148736135922501000106246==⨯⨯⨯⨯⋅⨯=∆⋅⋅=由)
1(2ν+=
E
G 得：289.014874.81221012=-⨯=-=G E ν[习题3-11]直径mm d 25=的钢圆杆，受轴向拉60kN 作用时，在标距为200mm 的长度内伸长了0.113mm。

当其承受一对扭转外力偶矩m kN M e ⋅=2.0时，在标距为200mm 的长度内相对扭转了0.732o 的角度。

试求钢材的弹性常数G、G 和ν。

解：（1）求弹性模量
E
EA Nl l =
∆GPa
MPa mm
mm mm N l A Nl E 448.2168.216447113.02514.325.020********==⨯⨯⨯⨯=∆⋅=（2）求剪切弹性模量G
)(383492514159.3321
321444mm d I p =⨯⨯==
π由P
GI l
T ⋅=
ϕ得：GPa MPa mm
mm mm N I l T G p 7.81136.8168438349)180/14.3732.0(200102.04
6==⨯⨯⨯⋅⨯=⋅⋅=ϕ（3）泊松比ν
由)
1(2ν+=
E
G 得：325.01684.812448.21612=-⨯=-=G E ν[习题3-12]长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。

实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d 0，且
8.00
=D
d 。

试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（][max ττ=），扭矩T 相等时的重量比和刚度比。

解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

p
W T
=
max τ式中，)1(16
1
43απ-=
D W p ，故：][1.27)8.01(163
43max,τππτ==-=
D
T
D T 空]
[1.273τπT D =
（1）求实心圆轴的最大切应力
p
W T =
max τ式中，3161
d W p π=
，故：][161633max,τππτ===d
T
d T 实
]
[163τπT d =
69375.116][][1.27)(3=⋅=T T d D τπτπ192.1=d
D
（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比
512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.022222
202=⨯==-=⋅⋅⋅⋅-=d D d D l d l d D W W γ
πγπ实
空（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
44401845.0)8.01(321
D D I p ππ=-=空4403125.032
1
d d I p ππ==实
192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.0444
4=⨯===d D d
D GI GI p p ππ实
空[习题3-13]全长为l ，两端面直径分别为21,d d 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩e
M ，如图所示。

试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx ，则其两端面之间的扭
转角为：
P
e GI dx
M d =
ϕ式中，432
1d I p π=
l x
r r r r =--1212
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+⋅-=
1
1
22d x l
d d r d +-=
=4
411
24)(
u d x l
d d d =+-=dx l d d du 1
2-=du
d d l
dx 1
2-=
故：⎰⎰⎰⎰⎰-=-⋅====l e l
e
l
e l
p e
l
p e u du d d G l M du d d l
u G
M d dx G
M I dx G
M GI dx M 04121
2040400
)(3213232πππϕl
e l e l e d x l d d d d G l M u d d G l M u du d d G l M 0
311212*********)(332]31[)(32)(32⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--=-=⎰πππ=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅--32312
221213231323121313212332)(33211)(332d d d d d d G l M d d d d d d G l M d d d d G l M e e e πππ[习题3-14]已知实心圆轴的转速min /300r n =，传递的功率kW p 330=，轴材料的许用切应力MPa 60][=τ，切变模量GPa G 80=。

若要求在2m 长度的相对扭转角不超过o 1，试求该轴的直径。

解：180
1π
ϕ⨯≤=⋅=
p e P GI l M GI l T 式中，)(504.10300
330
549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯==；4321d I p π=。

故：
G
l
M I e p π180≥
G l M d e ππ180321
4≥⋅mm mm
N mm
mm N G l M d e 292.111/8000014.3200010504.10180321803242
264
2=⨯⨯⋅⨯⨯⨯=⨯≥π取mm d 3.111=。

[习题3-15]图示等直圆杆，已知外力偶m kN M A ⋅=99.2，m kN M B ⋅=20.7，
m kN M C ⋅=21.4，许用切应力MPa 70][=τ，许可单位长度扭转角m o /1]['=ϕ，
切变模量GPa G 80=。

试确定该轴的直径d 。

解：（1）判断危险截面与危险点
作AC 轴的扭矩图如图所示。

因最大扭矩出出在BC 段，所以危险截
面出现在BC 段，危险点出现在圆周上。

（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪切强度条件
求d 。

][163
1
max τπτ≤==
d T W T BC
p BC mm mm
N mm N T d BC 42.67/7014.31021.416][1632
631=⨯⋅⨯⨯=≥τπ（3）计算最大单位长度扭转角(出现在BC 段)，并代入扭转刚度条件求
d 。

（4）确定d 值
)
(4.74),max(21mm d d d =≥[习题3-16]阶梯形圆杆，AE 段为空心，外径mm D 140=，内径mm d 100=；BC 段为实心，直径mm d 100=。

外力偶矩m kN M A ⋅=18，m kN M B ⋅=32，
m kN M C ⋅=14，许用切应力MPa 80][=τ，许可单位长度扭转角m o /2.1]['=ϕ，
切变模GPa G 80=。

试校核该轴的强度和刚度。

解：（1）AB 段的强度与刚度校核
m
kN M T A AB ⋅-=-=18p
AB
AB W T =
max,τ式中，)(398533])140
100(1[14014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=
απMPa MPa mm
mm N W T p AB AB 80][166.453985331018||3
6max,=<=⋅⨯==ττ符合度条件。

π
ϕϕ180||'⨯==
p AB AB GI T l 式中，)(27897319])140
100(1[14014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απm m m m N m N GI T l o o p AB AB /2.1][)/(462.014
.31027897319/108018018000180||'41229'=<=⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯==
-ϕπϕϕ符合刚度条件。

（2）BC 段的强度与刚度校核
m
kN M T C BC ⋅==14p
BC
BC W T =
max,τ
式中，)(19634910014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
πMPa MPa mm mm N W T p BC AB 80][302.7119634910143
6max,=<=⋅⨯==ττ符合度条件。

π
ϕϕ180'⨯==
p BC BC GI T l 式中，)(981746910014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
πm m m m N m N GI T l o
o p BC BC /2.1][)/(02.114
.3109817469/108018014000180'41229'=<=⨯⨯⨯⨯⨯⋅=⨯==
-ϕπϕϕ符合刚度条件。

综合（1）、（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。

[习题3-17]习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力MPa 20][=τ，切变模GPa G 80=，许可单位长度扭转角m o /5.2]['=ϕ。

试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。

解：（1）由强度条件选择直径
轴的扭矩图如图所示。

因为最大扭矩出现在II、III 轮之间，所以危险截面出现在此段内，危险点在此段的圆周上。

][163
max τπτ≤==
=-d
T W T III
II p III II mm
mm N mm
N T d III II 80/2014.310006.216][1632
63=⨯⋅⨯⨯=≥-τπ（2）由刚度条件选择直径
][18032180'4
0'
ϕπ
ππϕ≤⋅⨯⨯=⨯=d G T GI T p
][
10
10801803210006.2'
12
4903'
ϕππϕ≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-d 故选用。

[习题3-18]一直径为d 的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶e M 后，测得圆杆表面与纵向线成045的方向上的线应变为ε。

试导出以e M ，d 和ε表示的切变模量G 的表达式。

解：圆杆表面贴应变片处的切应力为
圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。

切应变
（1）
对角线方向线应变：
（2）
式（2）代入（1）：
图（a ）
[习题3-19]有一薄壁厚为mm 25、内径为mm 250的空心薄壁圆管，其长度为m 1，作用在轴两端面内的外力偶矩为m kN ⋅180。

试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。

已知材料的切变模量GPa G 80=。

解：（1）求管中的最大切应力
p
I r
T ⋅=
max τ
：[习题3-20]一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m 的均布外力偶作用，如图所示。

试求杆内积蓄的应变能。

已矩材料的切变模量为G。

解：G d dx
x m d
G dx x m GI dx
x T dV p
4224
2221632
122)(ππε=⋅⋅==
p l GI l m G d l m G
d l m dx x G d m V 632
16316163
243243
20242=
⋅===⎰πππε[习题3-21]簧杆直径mm d 18=的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力kN F 5.0=作用，弹簧的平均直径为mm D 125=，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：（1）簧杆内的最大切应力；
（2）为使其伸长量等于mm 6所需的弹簧有效圈数。

解：
，
故
因为
故圈
[习题3-22]一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F 如图，簧丝直径
mm d 10=，材料的许用切应力MPa 500][=τ，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n 。

试求：
（1）弹簧的许可切应力；（2）证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=
∆。

解：（1）求弹簧的许可应力
用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部
分为截离体。

由平衡条件可知，在簧杆横截面
上：
剪力F Q =扭矩FR
T =最大扭矩：2
max FR T =][)41(16164232322max "'max τπππτττ≤+=+=+=
+=R d d
FR d FR d F W T A Q p ，N
mm
mm
mm mm N mm R d R d F 3.957)
1004101(10016/5001014.3)41(16]
[][2
33223=⨯+⨯⨯⨯=+=τπ
因为102010/200/>==d D ，所以上式中小括号里的第二项，即由Q 所产生的剪应力可以忽略不计。

此时
N
mm
mm N mm R d R d F 25.98110016/5001014.3)41(16]
[][2332
23=⨯⨯⨯=+
=
τπ（2）证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=
∆外力功：∆=F W 21
，p GI d R T dU 2)(2α⋅=
α
απααπππd n
R R R GI F d R GI F GI d R FR U n
p
n
p
n
p 3
20
1
212
20
3
2
20
2]2[222)()(⎰
⎰
⎰
⋅-+=
=
⋅=1
2414
2
24R R R R GI n F p --⋅
=πU
W =1
2414
2
2421R R R R GI n F F p --⋅=∆π))((162212
2214
12414
2R R R R d
G n F R R R R GI n F p ++=--⋅=∆πππ[习题3-23]图示矩形截面钢杆承受一对外力偶m kN M e ⋅=3。

已知材料的切
变模量GPa G 80=，试求：
（1）杆内最大切应力的大小、位置和
方向；
（2）横截面短边中点处的切应力；（3）杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向
，
，
由表得
长边中点处的切应力，在上面，由外指向里
（2）计算横截面短边中点处的切应力
MPa
短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角
单位长度的转角
[习题3-24]图示T 形薄壁截面杆的长度m l 2=，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量GPa G 80=，杆的横截面上和扭矩为m kN T ⋅=2.0。

试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。

解：（1）求最大切应力
MPa mm mm N
h T i i i 2510
120210102.03313
62
1
3max
max =⨯⨯⨯⋅⨯⨯==
∑=δδτ（2）求单位长度转角
)
(920001012023
1
15.13143213'
mm h I i i i t
=⨯⨯⨯⨯=⋅=∑=δη
m m
m N m N GI T i /56.114.31801092000/1080102.01800
04
122930''
=⨯⨯⨯⨯⋅⨯=⨯=-πϕ[习题3-25]图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶
e M 。

材料的许用切应力MPa 60][=τ。

试求：
（1）按强度条件确定其许可扭转力偶矩]
[e M （2）若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩][e M 将减至
多少？解：（1）确定许可扭转力偶矩]
[e M ]
[22min
0min
0max τδδτ≤=
=
A M A T e
][2min 0τδA M e ≤]
[2min 0τδA M e ≤)
(28809)25.1100()25.1300(20mm A =⨯-⨯⨯-=)(371.10)(10371240603288092m kN mm N M e ⋅=⋅=⨯⨯⨯≤m
kN M e ⋅=37.10][（3）求开口薄壁时的]
[e M ][max
max τδτ≤=
t
e I M max
/][δτt e I M ≤)
(70923]2)97297[(3
1
43mm I t =⨯⨯+=)(142.0)(1418403/709260m kN mm N M e ⋅=⋅=⨯≤m
kN M e ⋅=142.0][。