结构振动分析基础8章
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• 运动方程的建立：
单质点体系：质量集中于一点
（a）单层房屋及其简化体系
（b）水塔及其简化体系
单质点体系
单自由度体系： 单质点体系只作单向振动
根据地震时任一时刻的受力平衡
x(t) m R S xg(t) （a） （ b） I
g t m x
地面位移引起的运动
取质点m作为隔离体 g t t ] I m [ x x 惯性力： 弹性恢复力： S k xt t R c x 阻尼力：
整理得：
t cx (t) kx(t) m g t m x x
此为单自由度地震作用下的运动方程
等式右端与结构动力学基础部分的运动方程 相比较： 外荷载即为地面运动加速度产生的惯性力：
g (t ) F (t ) m x 设： 2 k / m c / 2 km c / 2m
分别为体系无阻尼自振圆频率和阻尼比，则：
2
(t ) 2x (t ) x(t ) g (t ) x x
•运动方程的解
上面的方程为一常系数二阶非齐次方程，根据前面 掌握的结构动力学基本知识，其解包含两部分：对 应齐次方程的通解（表示自由振动）和原方程的特 解（表示强迫振动）。
阻尼比、场地特性、震中距等都对反应谱有较明显的 影响，具体见书图。
• 设计用反应谱
由于地震是随机的，即使同一地点、相同的烈度的 两次地震记录也会有差别，因而反应谱也不同。 设计反应谱是对同类场地上很多条强震记录计算得 到的反应谱曲线进行统计分析，得到的最有代表 性的平均反应谱曲线。 设计反应谱不仅考虑场地的影响，也考虑了震级、 和震中距的影响，用特征周期表现出来。 我国《规范》采用相对于标准自由落体加速度的单 质点绝对加速度与体系自振周期的关系作为设计 用反应谱，它与动力系数的关系为：
max
t
0
g ( )e (t ) sin (t )d x
max
当地面加速度记录和阻尼比给定时，可以根据不同 的圆频率（周期）计算得出动力系数，从而得到 一条动力系数谱曲线。 下面是根据El-Centro地震记录和不同的阻尼比得到 的反应谱曲线。
曲线大致分为三段：急剧上升段、相对平稳段、缓慢 下降段。
通解为：
(0) x(0) x x(t ) e [ x(0) cos t sin t ] 2 1 其中：
t
为体系有阻尼自振圆频率。 特解为： 1 t
x(t )
此式为杜哈梅（Duhamel）积分。 通解和特解之和即是原方程的解（见书表达式）。 由于地震发生前结构一般为静止的，所以通解为零。又 因一般情况下结构的阻尼比都较小，特解简化为：
任意瞬时的平衡方程为：
I (t ) R (t ) S (t ) 0 (t ) g (t )] I (t ) m[ x x (t ) R (t ) cx S (t ) kx(t ) (t ) g (t )] cx (t ) kx(t ) 0 m[ x x
0
g ( )e ( t ) sin (t )d x
x(t )
1
t
0
g ( )e (t ) sin (t )d x
8.3 单质点弹性体系水平地震作用及其反 应谱
• 水平地震作用的基本公式 由体系运动方程可得：
t g t ) cx (t) kx(t) m( x x t g t ) kx(t) m( x x
阻尼力相对弹性力很小，忽略阻尼项可得： 任意时刻相对位移与瞬时惯性力成正比。 可以将惯性力看作反映地震影响的等效力。 质点绝对加速度：
t g t kx(t)/m 2 x(t) a x x
对水平地震作用基本公式做变换如下： g x Sa max F m Sa m gn Gk gn g x
其中： k
g x
max
Baidu Nhomakorabea
max
gn
为地震系数，对应地 震烈度大小。
Sa g x
max
为动力系数，表示动力放大效应。
代入绝对反应加速度公式可得：
1 g x
抗震验算的前提：确定地震作用 在地震作用下，结构产生的内力和变形称为地震 作用效应； 确定地震作用效应的过程称为地震反应分析。
本章内容：
• 介绍确定地震作用方法的演变过程； • 现行各类工程抗震设计规范中确定地震作用的 一般方法； • 抗震验算方法。 工程上通常把地震作用作为横向水平荷载作用在 结构上来分析其产生的内力和变形，然后考虑 与其他荷载的组合来进行抗震验算。
Fi kGi
但是，抗震验算时把它按静载作用在结构上。
直接动力分析阶段（时程分析法） 。
考虑地震地面运动的三个特性，将地震波作为 激励直接代入结构模型，求每一瞬时的响应。 我国《规范》规定：一般建筑可按照反应谱法确定 地震作用。对特别不规则建筑、甲类建筑和超高建 筑用时程分析法作为补充计算。
8.2 单自由度弹性体系的地震反应
将位移表达式代入上式，质点最大加速度为：
g ( )e (t ) sin (t )d S a a max x
0
t
max
水平地震作用基本公式为：
F m Sa
由于地面运动加速度的随机性，上式不能简单的用解 析式表示，一般用数值积分来计算。
• 地震系数与动力系数
8.1 概述
地震作用
地震引起的地面运动通过地基和基 础传递给上部结构，使结构质量产 生的惯性力。 其大小和结构本身的动力特性、地 面运动的特性有关。
确定地震作用方法的演变
静力理论阶段： 只考虑地震地面运动的振幅
g max kGi Fi mi x
结构刚度很大，接近刚体时适用。
反应谱理论阶段（动静法）： 考虑结构动力特性与地震地面运动的频谱特性 出现动力放大系数概念
单质点体系：质量集中于一点
（a）单层房屋及其简化体系
（b）水塔及其简化体系
单质点体系
单自由度体系： 单质点体系只作单向振动
根据地震时任一时刻的受力平衡
x(t) m R S xg(t) （a） （ b） I
g t m x
地面位移引起的运动
取质点m作为隔离体 g t t ] I m [ x x 惯性力： 弹性恢复力： S k xt t R c x 阻尼力：
整理得：
t cx (t) kx(t) m g t m x x
此为单自由度地震作用下的运动方程
等式右端与结构动力学基础部分的运动方程 相比较： 外荷载即为地面运动加速度产生的惯性力：
g (t ) F (t ) m x 设： 2 k / m c / 2 km c / 2m
分别为体系无阻尼自振圆频率和阻尼比，则：
2
(t ) 2x (t ) x(t ) g (t ) x x
•运动方程的解
上面的方程为一常系数二阶非齐次方程，根据前面 掌握的结构动力学基本知识，其解包含两部分：对 应齐次方程的通解（表示自由振动）和原方程的特 解（表示强迫振动）。
阻尼比、场地特性、震中距等都对反应谱有较明显的 影响，具体见书图。
• 设计用反应谱
由于地震是随机的，即使同一地点、相同的烈度的 两次地震记录也会有差别，因而反应谱也不同。 设计反应谱是对同类场地上很多条强震记录计算得 到的反应谱曲线进行统计分析，得到的最有代表 性的平均反应谱曲线。 设计反应谱不仅考虑场地的影响，也考虑了震级、 和震中距的影响，用特征周期表现出来。 我国《规范》采用相对于标准自由落体加速度的单 质点绝对加速度与体系自振周期的关系作为设计 用反应谱，它与动力系数的关系为：
max
t
0
g ( )e (t ) sin (t )d x
max
当地面加速度记录和阻尼比给定时，可以根据不同 的圆频率（周期）计算得出动力系数，从而得到 一条动力系数谱曲线。 下面是根据El-Centro地震记录和不同的阻尼比得到 的反应谱曲线。
曲线大致分为三段：急剧上升段、相对平稳段、缓慢 下降段。
通解为：
(0) x(0) x x(t ) e [ x(0) cos t sin t ] 2 1 其中：
t
为体系有阻尼自振圆频率。 特解为： 1 t
x(t )
此式为杜哈梅（Duhamel）积分。 通解和特解之和即是原方程的解（见书表达式）。 由于地震发生前结构一般为静止的，所以通解为零。又 因一般情况下结构的阻尼比都较小，特解简化为：
任意瞬时的平衡方程为：
I (t ) R (t ) S (t ) 0 (t ) g (t )] I (t ) m[ x x (t ) R (t ) cx S (t ) kx(t ) (t ) g (t )] cx (t ) kx(t ) 0 m[ x x
0
g ( )e ( t ) sin (t )d x
x(t )
1
t
0
g ( )e (t ) sin (t )d x
8.3 单质点弹性体系水平地震作用及其反 应谱
• 水平地震作用的基本公式 由体系运动方程可得：
t g t ) cx (t) kx(t) m( x x t g t ) kx(t) m( x x
阻尼力相对弹性力很小，忽略阻尼项可得： 任意时刻相对位移与瞬时惯性力成正比。 可以将惯性力看作反映地震影响的等效力。 质点绝对加速度：
t g t kx(t)/m 2 x(t) a x x
对水平地震作用基本公式做变换如下： g x Sa max F m Sa m gn Gk gn g x
其中： k
g x
max
Baidu Nhomakorabea
max
gn
为地震系数，对应地 震烈度大小。
Sa g x
max
为动力系数，表示动力放大效应。
代入绝对反应加速度公式可得：
1 g x
抗震验算的前提：确定地震作用 在地震作用下，结构产生的内力和变形称为地震 作用效应； 确定地震作用效应的过程称为地震反应分析。
本章内容：
• 介绍确定地震作用方法的演变过程； • 现行各类工程抗震设计规范中确定地震作用的 一般方法； • 抗震验算方法。 工程上通常把地震作用作为横向水平荷载作用在 结构上来分析其产生的内力和变形，然后考虑 与其他荷载的组合来进行抗震验算。
Fi kGi
但是，抗震验算时把它按静载作用在结构上。
直接动力分析阶段（时程分析法） 。
考虑地震地面运动的三个特性，将地震波作为 激励直接代入结构模型，求每一瞬时的响应。 我国《规范》规定：一般建筑可按照反应谱法确定 地震作用。对特别不规则建筑、甲类建筑和超高建 筑用时程分析法作为补充计算。
8.2 单自由度弹性体系的地震反应
将位移表达式代入上式，质点最大加速度为：
g ( )e (t ) sin (t )d S a a max x
0
t
max
水平地震作用基本公式为：
F m Sa
由于地面运动加速度的随机性，上式不能简单的用解 析式表示，一般用数值积分来计算。
• 地震系数与动力系数
8.1 概述
地震作用
地震引起的地面运动通过地基和基 础传递给上部结构，使结构质量产 生的惯性力。 其大小和结构本身的动力特性、地 面运动的特性有关。
确定地震作用方法的演变
静力理论阶段： 只考虑地震地面运动的振幅
g max kGi Fi mi x
结构刚度很大，接近刚体时适用。
反应谱理论阶段（动静法）： 考虑结构动力特性与地震地面运动的频谱特性 出现动力放大系数概念