2018年徐汇区数学一模试卷及答案
徐汇区一模试卷(第三稿2019.0104)
2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2019.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1． 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是A ．1 : 2000；B ．1 : 200；C ．200 : 1；D ．2000 : 1．2．将抛物线2y x =先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的表达式是 A ．()21+2y x =-； B ．()21+2y x =+； C ．()21-2y x =-； D ．()21-2y x =+． 3．若斜坡的坡比为1，则斜坡的坡角等于 A ．︒30；B ．︒45；C ．︒50；D ．︒60．4．如图，在下列条件中，不能判定△ACD ∽△ABC 的是 A ．∠1=∠ACB ； B ．AB AC BCCD=；C ．∠2=∠B ；D ．AC 2=AD•AB ．5．若2a e =r r ，向量b r 和向量a r方向相反，且2b a =r r ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．2a =r；B ．4b =r；C ．4b e =r r ；D ．12a b =-r r ．6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下； ②抛物线的对称轴为直线1x =-； ③m 的值为0； ④图像不经过第三象限． 上述结论中正确．．的是 A ．①④； B ．②④；C ．③④；D ．②③．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．已知23a b =，那么aa b+的值为 ▲ . B （第4题图）CB8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB =4，那么AP 的长是 ▲ ．9．计算：()3242a b b --=rr r ▲ ．10．已知A （2-，1y ）、B （3-，2y ）是抛物线()21y x c =-+上两点，则1y ▲ 2y （填“>”“=”或“<”）．11．如图，在Y ABCD 中，AB =3，AD =5，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且CF =1，则CE 的长为 ▲ ．12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =5，BC =3，则sin A 的值为 ▲ ．13．如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则△ABC 的高AH 为 ▲ 厘米． 14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥B C ，EF 是梯形ABCD 的中位线，A H ∥CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =uuu r r ，BC b =uu u r r ，则用a r 、b r表示EG =uuu r ▲ ．15．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，CG =2，2sin 3ACG ∠=， 则BC 长为 ▲ ．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间．．．B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60°，测得2号楼顶部F 的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则 2号楼的高度为 ▲ 米（结果保留根号）． 17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于点E ，5cos 13B =，则BED ABC S S =V V ▲ ．18．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，BC=6，CD =2，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为 ▲ ．E（第18题图）（第16题图）（第17题图）B（第11题图） （第14题图）（第13题图）（第15题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2o ． 20．（本题满分10分）如图，已知△ABC ，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ， AB ∥EC ，设BA a =uu r r ，BC b =uu u r r.（1）试用a r 、b r 表示CD uu u r；（2）在图中作出BD uu u r 在BA uu r 、BC uu ur 上的分向量，并直接用a r 、b r表示BD uu u r .21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点A (3,0)-和点B ，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的表达式，并用配方法．．．求出顶点D 的坐标； （2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan CEB ∠的值.22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且∠BCA =71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88） （1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1cm ）；（2）根据经验，当车座B' 到地面的距离B'E′ 为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB ′应是多少？（结果精确到1cm ）（第22题图）C （第20题图） （第21题图）BB 23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥； (2) 求证：22BC DF BF =⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．B （第23题图） （第24题图）（第25题图1） （第25题图）。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
2017-2018上海徐汇区数学一模试卷与答案
22、联结 AG 并延长，交 BC 于点 E。取 CE 中点 F，联结 DF。 则 E 为 BC 中点，由 AB=AC，得 AE⊥BC 且 F 为 CE 中点，故 CF=3，BF=9，且有 DF//AE，即∠CFD=90º ∵ sinC = ∴ tanC = =
∴ DF=CF tanC = 4 ∴ BD= ∴ cos∠CBD = =
⑶ 设 CD 交 x 轴于 E，延长 DF 交 x 轴于 G E( ,0 )
∠CDF =∠CBO =45º ∴ △CBE∽△GDE 得 G(-1，0) ∴ F( 0，)
25、 （1）∠BDM=90°； （2） y
20 (0 x 4) ； （3） 0, 2 5 4,1 。 4 x
⑴
因为 DC=BC=CM=5，所以∠BDM =90º
大 力 数 学 工 作 室
8
6．对于抛物线 y ( x 2)2 3 ，下列结论中正确结论的个数为 ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线 x=-2； ③图像不经过第一象限； ④当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小． （A）4； （B）3； （C）2； （D）1．
二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，且 a=2，c=8，那么 b= 8．计算：3( 2 –4 )–5( – )= ． 9．若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段 AP 的长是 AE:BE = 2:3，则 CD 的长等于 则△AOD 的面积等于 ． ， ， ． ． cm．
（第 10 题）
大 力 数 学 工 作 室
（第 11 题）
（第 12 题）
徐汇区一模试卷(第三稿2019.0104)
2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2019.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1． 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是A ．1 : 2000；B ．1 : 200；C ．200 : 1；D ．2000 : 1．2．将抛物线2y x =先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的表达式是 A ．()21+2y x =-； B ．()21+2y x =+； C ．()21-2y x =-； D ．()21-2y x =+． 3．若斜坡的坡比为1，则斜坡的坡角等于 A ．︒30；B ．︒45；C ．︒50；D ．︒60．4．如图，在下列条件中，不能判定△ACD ∽△ABC 的是 A ．∠1=∠ACB ； B ．AB AC BCCD=； C ．∠2=∠B ； D ．AC 2=AD•AB ．5．若2a e =，向量b 和向量a 方向相反，且2b a =，则下列结论中不正确．．．的是 A ．2a =；B ．4b =；C ．4b e =；D ．12a b =-．6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下； ②抛物线的对称轴为直线1x =-； ③m的值为0； ④图像不经过第三象限． 上述结论中正确．．的是 A ．①④； B ．②④；C ．③④；D ．②③．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．已知23a b =，那么aa b+的值为 ▲ . B （第4题图）HG ADBCEF CBG 8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB =4，那么AP 的长是 ▲ ． 9．计算：()3242a b b --= ▲ ． 10．已知A （2-，1y ）、B （3-，2y ）是抛物线()21y x c =-+上两点，则1y ▲ 2y （填“>”“=”或“<”）．11．如图，在ABCD 中，AB =3，AD =5，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且CF =1，则CE 的长为 ▲ ．12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =5，BC =3，则sin A 的值为 ▲ ．13．如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则△ABC 的高AH 为 ▲ 厘米． 14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥B C ，EF 是梯形ABCD 的中位线，A H ∥CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =，BC b =，则用a 、b 表示EG = ▲ ． 15．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，CG =2，2sin 3ACG ∠=， 则BC 长为 ▲ ．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间．．．B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60°，测得2号楼顶部F 的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则 2号楼的高度为 ▲ 米（结果保留根号）． 17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于点E ，5cos 13B =，则BED ABCS S = ▲ ．18．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，BC=6，CD =2，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为 ▲ ．DBCAE EC D（第18题图）（第16题图）（第17题图）PBDGEB C F（第11题图） （第14题图）（第13题图）（第15题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算： 26sin 304sin 45+tan 603tan 45︒-︒-．20．（本题满分10分）如图，已知△ABC ，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ， AB ∥EC ，设BA a =，BC b =.（1）试用a 、b 表示CD ；（2）在图中作出BD 在BA 、BC 上的分向量，并直接用a 、b 表示BD .21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点A (3,0)-和点B ，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的表达式，并用配方法．．．求出顶点D 的坐标； （2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan CEB ∠的值.22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且∠BCA =71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88） （1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1cm ）；（2）根据经验，当车座B' 到地面的距离B'E′ 为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB ′应是多少？（结果精确到1cm ）（第22题图）DACE F BB'E' A DE B FC （第20题图） （第21题图）EA CB DE A CB D23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥； (2) 求证：22BC DF BF =⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．G DEB A（第23题图） （第24题图）（第25题图1） （第25题图）。
2018年上海市初三数学一模试卷18题汇总解析
2018年上海市初三一模数学考试18题解析2018.01一. 普陀区18. 如图，ABC 中，5AB ，6AC ，将ABC 翻折，使得点A 落到边BC 上的点A 处，折痕分别交边AB 、AC 于点E 、点F ，如果A F ∥AB ，那么BE【解析】设BE x ，由题意可知：5A E AE xA F ∥AB 13 又∵12 ∴23 A E ∥AC ∴AE BE AC AB 即565x x 解得2511x 即2511BE 二. 奉贤区18. 已知ABC ，AB AC ，8BC ，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，将ABC 沿着直线DE 翻折，点B 落在边AC 上的点M 处，且4AC AM ，设BD m ，那么ACB 的正切值是 （用含m 的代数式表示）【解析】作MN BC 于N ，AH BC 于H ，MD BD mAB AC ，8BC ，AH BC 4BH CHMN BC ，AH BC MN ∥AH CN CM CH AC3CN ∴835DN BC BD CN m m在Rt MND 中，222MN DN MD 3MN∴tan 9MN ACB CN三. 杨浦区18. 如图，在ABC 中，AB AC ，将ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落 在点D 处，如果2sin 3B ，6BC ，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是【解析】12 ，M 为BC 的中点，N 为CD 的中点 1MAN ，AM AN 又∵AB AC ∴AB AM AC AN ，1MAN AMN ∽ABC AM MN AB BC ∵2sin 3AM B AB，6BC ∴4MN 四. 黄浦区18. 如图，平面上七个点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，图中所有的连线长均相等，则cos BAF【解析】联结AC 、AD 、BF ，作CH AD 于H∵ABG 、BCG 、AEF 、DEF 为等边三角形 120ABC AED 又∵AB BC AE DE ∴ABC ≌AED AC AD四边形ABCG 和四边形AEDF 为菱形 12 BAF CAD又AB AF ，AC AD ∴ABF ∽ACD设2AB 那么AC ADCH CH，解得3AH ，5cos 6AH BAF AC解法二：根据上面分析，问题可以简化为，已知边长比为2CD ，∴AC AD ，取CD 中点K ，∴1CK KD ，易得△ADK ∽△CDH ，∴3KD HD HD AD CD，即3AH 5cos 6AH CAH AC .五. 松江区18. 如图，在ABC 中，90C ，4AC BC ，将ABC 翻折，使得点A 落在边BC 的中点A 处，折痕分别交边AB 、AC 于点D 、点E ，那么:AD AE 的值为【解析】作AF AB 于F在Rt ECA 中，222CE A C A E 即222()AC A E A C A E∵4AC ，2A C ∴52A E 即52AEAF AB ，2A B ，45B A F BF在Rt A DF 中，222A F DF A D 即222()A F AB BF A D A D∵AB ，A F BF∴3A D AD ∴5::323AD AE 六. 徐汇区18. 在ABC 中，90C ，3AC ，4BC （如图），将ACB 绕点A 顺时针方向旋转得ADE （点C 、B 的对应点分别为点D 、E ），点D 恰好落在直线BE 上，直线BE 与直线AC 交于点F ，则线段AF 的长为【解析】如图所示，点D 恰好落在直线BE 上AD BE ，AB AE 4BD DE在Rt BCF ，222BC CF BF 即BFADF ∽BCF AD AFBC BF ，即34 ，解得757AF七. 闵行区18. 如图，在等腰ABC 中，AB AC ，30B ，以点B 为旋转中心，旋转30°，点A 、 C 分别落在点A 、C 处，直线AC 、A C 交于点D ，那么AD AC的值为【解析】设2AB AC ，那么BC（1）顺时针旋转，如图1，303060C BA ，30C AB C D在Rt BC E 中，30C ，BC BC BE 2AE60BAD ABC AD ∥BC 1sin 42AE ADE AD AD∴ 422AD AC （2）逆时针旋转，如图2，303060CBA ，30C A B CD在Rt BCE 中，30C ，BC BE 2A E 1AE60BA D A BC tan 33A E A DE DE DE∴ 2AD ，1AD AC综上所述：AD AC 的值为21 八. 虹口区18. 在Rt ABC 中，90C ，6AC ，8BC （如图），点D 是边AB 上一点，把ABC 绕着点D 旋转90°，得到A B C ，边B C 与边AB 相交于点E ，如果AD BE ，那么AD 长为【解析】当点D 位于图1位置时，边B C 与边AB 不相交当点D 位于图2位置时，设AD x ，BE x ，10B D BD x ，① 当ABC 是顺时针旋转时，AD BE AB DE 210DE xB DE ∽BC A DE BD A C B C 即2101068x x 解得7011x ② 当ABC 是逆时针旋转时，AD BE DE AB 102DE xB DE ∽BC ADE B D A C B C 即1021068x x 解得2x ， 当2x 时，即图1的情况，不符，舍去，综上，7011AD九. 静安区18. 如图，矩形纸片ABCD ，4AD ，3AB ，如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，联结FC ，当EFC 是直角三角形时，那么BE 的长为【解析】① 当EFC 是直角时（如图1），设BE x ，4CE x∵190B ∴1180EFC 即A 、F 、C 在同一条直线上∴532CF AC AF在Rt EFC 中，222EF CF CE 即2222(4)x x 解得32x② 当CEF 是直角时（如图2）那么1245 ，点B 正好落在边AD 上∵90B ，245 ，∴3BE AB ，综上：BE 的长为32或3.十. 浦东新区18. 如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ，4cos 5B ，8BC ，点D 在边BC 上， 将ABC 沿着过点D 的一条直线翻折，使点B 落在AB 边上的点E 处，联结CE 、DE ， 当BDE AEC 时，则BE 的长是【解析】作CF AB 于F ，DH AB 于H设3DH x ，那么4BH EH x ，5BD x 90ACB ，4cos 5B，8BC 245AC BC CF AB DH BH CF BF 325BF ∴3285EF BE BF x 在Rt CEF 中，222222432((8)55CE CF EF x ∵BDE AEC ，∴CEB CDE 又∵ECB DCE ， ∴BCE ∽ECD 2CE BC CD ∴222432((8)8(85)55x x 解得3940x ∴3985BE x 十一. 长宁18. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60D ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，将BEF 沿着直线EF 翻折，点B 恰好与边AD 的中点G 重合，则BE 的长等于【解析】如右图所示，在Rt △GFC 中，设GF BF x ，2FC x ，GC ，∴22(2)3x x ，74x ，即74BF ，∵2IO ，1BI ，∴34IF ，设BH m ，∴EH ，74HF m ，EH OI HF IF ，解得710m ，∴725BE m18. 如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 的中点，联结AM ，将BM 沿某一过M 的直线翻折，使B 落在AM 上的E 处，将线段AE 绕A 顺时针旋转一定角度，使E 落在F 处，如果E 在旋转过程中曾经交AB 于G ，当EF BG 时，旋转角EAF 的度数是【解析】作FE FH ，设2AB ，AM ，1MB ME ，1AE AF AG ，∴3GB EF FH AFE ∽△FEH ，∴24EF AE HE HE ，∴3AH ，∴AH HF FE ，∴5180EAF AFE FEA EAF ， 即36EAF .十三. 崇明县18. 如图，在ABC 中，90ACB ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且CDE B ，将CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，如果8AC ，10AB ，那么CD 的长为【解析】CF DE ，CDE B 190CDE∵CDE B ，90A B ∴1A∴ABC ∽CDOAC AB OC CD45OC CD ∴85CF CD 12A ACF ∽CFD AC CF CFDF即2CF AC CD ∴28()85CD CD 解得258CD18. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ，3AD ，4AB ，8BC ，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，联结EF ，如果CEF 沿直线EF 翻折，点C 与点A 恰好重合，那么DE EC的值是【解析】作DG ∥EF 交AC 于G在Rt ABC 中，8BC ，4AB AC ∴12CH AC DG ∥EF ，EF AC DG AC 又AD ∥BC 12∴ADG ∽CAB AD AG AC BC AG HG AC AG CH DG ∥EF 25DE HG EC CH十五. 青浦区18. 如图，在ABC 中，7AB ，6AC ，45A ，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将BDE 沿着DE 所在直线翻折，点B 落在点P 处，PD 、PE 分别交边AC 于点M 、N ，如果2AD ，PD AB ，垂足为点D ，那么MN 的长是【解析】7AB ，2AD 5BD DPPD AB ，45A ，2AD 2DM ∴3MPPD AB 1245又45A DE ∥ACDE BD AC AB 307DE ，MN MP DE DP 187MN18. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，把ABE 沿直线BE 翻折，点A 正好落在BC 边上的点F 处，如果四边形CDEF 和矩形ABCD 相似，那么四边形CDEF 和矩形ABCD 面积比是【解析】四边形CDEF 和矩形ABCD 相似DE CD CD AD 即2CD DE AD ∵()CD EF AE AD DE∴2()AD DE DE AD 即2230AD AD DE DE解得32DE AD3=2CDEFABCD S CD DE DE S CD AD AD 四边形矩形。
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
上海市徐汇区达标名校2018年高考一月仿真备考数学试题含解析
上海市徐汇区达标名校2018年高考一月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC +2．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-4．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．106．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3607．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C ．2D ．38．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-9．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π10．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]11．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A B ．C ．132D ．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()B ．()C ．()D ．()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市徐汇区2018届中考数学一模及答案
2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷(考试时间100分钟，满分150分)2018.1、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)x 3已知，那么下列等式中，不成立的是y 4(B )匕」；(C )y 4 =-; (D ) 4x=3y .4的地图上，若某条道路长约为5cm ,则它的实际长度约为DE // BC 的是 r r r r r r(B ) 若 a =3 b ，贝V a =3b 或a =db ；r r(D ) m(na) =(mn)a .26 .对于抛物线y • 2)3，下列结论中正确结论的个数为 ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=-2 ;③图像不经过第一象限； ④当x>2时，y 随x 的增大而减小.(A ) 4;( B ) 3;(C ) 2;( D ) 1 .二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7 •已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且 a=2, c=8，那么b= _______________ 8 •计算：3(2 a -4b) -5(a -b)二 ______________9 .若点P 是线段 AB 的黄金分割点， AB=10cm ,则较长线段 AP 的长是 _________________ c m . 10.如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , E 、F 分别为 AB 、DC 上的点，若 CF=4，且EF // AD , AE : BE=2:3，贝U CD 的长等于 ___________(A ) 0.2km ; (B ) 2km ; 20km ;(D ) 200km .在厶ABC 中，点 E 分别在边 AB 、AC 上, 如果AD=1, BD=3，那么由下列条件能够判断 在比例尺是 1:40000 (A ) DU ；BC 3(B) DE BC(D)圧」AC 44.在 Rt △ ABC 中，/ C=90 ° , a 、b 、c 分别是/ A 、/ B 、/ C 的对边，下列等式正确的是(A) sin A ; c(B) cosB 「；aa(C ) tan A =—;b(D) cot B =卫 a5 .下列关于向量的说法中, 不正确的是(A ) 3(a -b) =3a _3b ; r r(C ) 3 a = 3a ;11.如图，在梯形 ABCD 中，AB // DC , AD=2, BC=6，若△ AOB 的面积等于 6，则△ AOD 的面积 等于 __________ .um r um r o u rr12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ,若AB aBC b =，则CD 用b 、1 213•已知抛物线 C 的顶点坐标为（1,3），如果平移后能与抛物线y=-X 2+2X +3重合，那么抛2物线C 的表达式是 ___________ .0 0 0 014sin60 tan 45 —cos60 cot30 = _________________ •215.如果抛物线y=ax -2ax+c 与X 轴的一个交点为（5,0）,那么与X 轴的另一个交点的坐标是 ___________ .16 .如图，在△ ABC 中，AB=AC , BE 、AD 分别是边 AC 、BC 上的高，CD=2 , AC=6，那么 CE= . 17.如图，是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度 BC为2.6米，斜坡AB 的坡比为1:2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点 D 与C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度 BD 不能超过 __________ 米.18.在△ ABC 中，/ C=90 ° , AC=3, BC=4 （如图），将△ ACB 绕点A 顺时针方向旋转得△ ADE （点C 、B 的对应点分别为 D 、E ）,点D 恰好落在直线BE 上和直线AC 交于点F ，则线段 AF 的长为 ___________三、解答（本大题共7题，满分78分）可表示为 __________B D佃.（本题满分10分，第（1 ）小题满分4分，第（2 ）小题满分6分）如图，在△ ABC 中，/ ACD= / B, AD=4, DB=5 .（1 ）求AC的长；uur r uir r r r uun（2）若设CA =a,CB =b，试用a、b的线性组合表示向量CD .20.（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，满分10 分）已知一个二次函数的图像经过 A （0, -6）、B （4, -6）、C （6, 0）三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC、BC,求tan/ ACB .21.（本题满分10分）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC=17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为 a ,当a =60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE = 10米，过了一会，当a =45 °,问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（3取1.73）.22.（本题满分10分）4如图，在△ ABC 中，AB=AC, BC=12 , sinC=—，点G5是厶ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D , 求/CBD的余弦值.如图在△ ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第满分7分）AB、AC 上，且/ ADE= / B,/ ADF=/ C,线段EF交线段AD于点G.c 卄DF CF(2)右DE AE ,求证：四边形EBDF(1)求证：AE=AF ;24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx （0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与 x轴交于点B （ 3,0）,与y 轴交于点C ,抛物线y=x?+bx+c 过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为 A .（1） 求直线BC 及该抛物线的表达式；（2） 设该抛物线的顶点为 D ，求△ DBC 的面积； （3） 如果点F 在y 轴上，且/ CDF=45 °，求点F 的坐标.25. （本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7 分，第（3）小题4分）已知，在梯形 ABCD 中，AD // BC , / A=90 ° , AD=2 ,“_______ |j_AB=4, BC=5，在射线BC 任取一点 M ，联结DM ,作/ °MDN =/ BDC , / MDN 的另一边 DN 交直线 BC 于点N （点 N 在点M 的左侧）.（1）当BM 的长为10时，求证：BD 丄DM ;出它的定义域;1、B ；2、1 2 1(1) y x 2x - 6 ； ( 2) tan ^ACB =—；2 2（2）如图（ 1）,当点N 在线段BC 上时，设BN=x ,BM=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写(3) 如果△ DMN 是等腰三角形，求 BN 的长.参考案:B ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、A ； 7、4； & a -7b ； 9、 5.5 -5 ； 10、 11、 2； 12、 丄b 」a ； 2 213、2(x-1)314、0； 15、(-3,0)； 16、17、 咚；18、 75。
2018届徐汇区高三一模数学Word版附解析
上海市徐汇区 2018 届高三一模数学试卷一 . 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知会合 A {2,3} ， B {1,2,a} ，若 A B ，则实数 a2. 在复平面内，复数5 4i （ i 为虚数单位）对应的点的坐标为i3. 函数 f ( x)1 lg x 的定义域为4. 二项式 ( x 1) 4 的睁开式中的常数项为2x5. 4x2 ，则 x若2x16. 已知圆 O : x 2y 2 1与圆 O 对于直线 xy 5 对称，则圆 O 的方程是7. 在座标平面 xOy 内， O 为坐标原点，已知点A( 1, uuur3) ，将 OA 绕原点按顺时针方向 uuur uuur 2 2旋转 ，获得 OA ，则 OA 的坐标为28. 某船在海平面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 30°方向，与 A 相距 海里，船由 A 向正北方向航行 8.1 海里抵达 C 处，这时灯塔 B 与船相距海里（精准到 0.1 海里）9. 若公差为 d 的等差数列 { a n } （ n N * ）知足 a 3 a 4 1 0 ，则公差 d 的取值范围是10. 有名的斐波那契数列 { a n }:1,1,2,3,5,8,，知足 a 1 a 2 1， a n 2 a n 1 a n （ n N * ），那么 1 a 3a 5 a 7 a 9a 2017 是斐波那契数列中的第项11. 若不等式 ( 1)n a3 ( 1)n 1 对随意正整数 n 恒建立，则实数 a 的取值范围是n 112. 已知函数 y f ( x) 与 y g(x) 的图像对于 y 轴对称，当函数 yf ( x) 与 y g( x) 在区 间 [a,b] 上同时递加或同时递减时，把区间[a,b] 叫做函数 y f ( x) 的“不动区间”，若区间 [1,2] 为函数 y | 2x t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知 a 是 ABC 的一个内角，则“ sin2”是“45 ”的（）条件2A. 充足不用要B. 必需不充足C. 充要D. 既不充足也不用要14. 以下命题中，假命题的是（）A. 若 z 为实数，则 z zB. 若 z z ，则 z 为实数C. 若 z 为实数，则 z z 为实数D. 若 z z 为实数，则 z 为实数15. 现有 8 个人排成一排照相，此中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A. P53P33B. P88P66 P33C. P63P55D. P88P6416.如图，棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P 、 Q 分别为面 A1 B1C1 D1和线段 B1C 上动点，则PEQ 周长的最小值为（）A.22B.10C.11D.12三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，梯形ABCD 知足 AB ∥ CD ，ABC 90 ，且 AB 2 3 ， BC BAD 30 ，现将梯形ABCD 绕 AB 所在的直线旋转一周，所得几何体记作1 ，.（1）求的体积V ；（2）求的表面积S .18. 如图是函数f ( x) Asin(x)（A 0，0， 0）图像的一部分， M 、2N 是它与x轴的两个交点， C 、 D 分别为它的最高点和最低点，E(0,1) 是线段 MC 的中点.（1）若点M的坐标为( 1,0)，求点 C 、点 N 和点 D 的坐标；（2）若点M的坐标为( m,0)（ muuuur uuuur 324 ，试确立函数 f ( x) 分析式.0 ），且 MC MD419. 已知函数 f (x) | x |m3 （ m R ， x 0 ） . x（ 1）判断函数（ 2）议论函数yf (x) 的奇偶性，并说明原因；yf (x) 的零点个数 .2220. 已知椭圆 :x2y 21（ a b0）的左、右焦点分别为 F 1、 F 2 ，且 F 1 、 F 2 与短轴ab的一个端点 Q 组成一个等腰直角三角形，点 P( 2 ,3)在椭圆上，过点 F 2 作相互垂直且22与 x 轴不重合的两直线AB 、 分别交椭圆 于 A 、 B 、 C 、 D ，且 M 、 N 分别是弦 AB 、CDCD 的中点 .（ 1）求椭圆 的标准方程；（ 2）求证：直线 MB 过定点 R(2,0) ；3（3）求MNF 2 面积的最大值 .21. 设等差数列 { a n } 的公差为 d 1 ，等差数列 { b n } 的公差为 d 2 ，记c n max{b 1 a 1n,b 2 a 2 n, ,b n a n n} （ n 1,2,3,），此中 max{ x 1 , x 2 , , x s } 表示x 1 , x 2 , , x s 这 s 个数中最大的数 .（1）若 a n 2n ， b n 4n 2 ，求 c 1 、 c 2 、 c 3 的值，并猜想数列 { c n } 通项公式 （不用证明）； （2）设 a nn ， b nn 2 ，若不等式1 1 12n 对不小于 2c 22 c3 2c n 2n的全部自然数 n 都建立，求 的取值范围；（3）尝试究当无量数列{ c n } 为等差数列时， d 1 、 d 2 应知足的条件并证明你的结论 .参照答案一 . 填空题1. 32. (4, 5)3. (0,10]4.3 5. 16. ( x 5) 2 ( y 5) 2127. (3,1)9. ( ,2] U [2, )10. 20182211. [3,8) 12. [ 1,2]32二. 选择题 13. B15. C 16. B三. 解答题17.（ 1） 43 ；（ 2） (3 23) .318.（ 1） C(1,2) ， N (3,0) ， D(5, 2) ；（2） f (x) 2sin( x) .419.12）当 m9或 m9 时， yf ( x)有 1个零点；（ ）非奇非偶函数； （449或 m0 或 m9f ( x) 有 2 个零点；当 m时， y44当 0 m9 或 9 m 0 时， y f ( x) 有 3 个零点 .4420.（ 1）x 2y 2 1 ；（ 2）证明略；（ 3） 1 .2921.（ 1） c 1 0， c 22 ， c 34 ， c n2n 2 （ n N * ）；（ 2）1 ；4（3） d 1 0 且 d 22d 1 或 d 1 0 .。
【数学】上海市徐汇区2018学年高三上学期期末暨一模试卷
上海市徐汇区2019届高三上学期期末暨一模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）． 1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________. 2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则UA =___________.3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.4.若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .7.已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11.已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） A.16 （B. （C.163 （D.128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =；②y =的是( )A.①、②均不是“蝶型函数”B.①、②均是“蝶型函数”C.①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D.①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A.2 B.53 C.32 D.43三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？ （2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里.（1）求海域ABCD 的面积；（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B点海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.海20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，6ON OM =,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当4556λ≤≤时， 求OAB ∆的面积S 的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件： ①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω 数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.。
2018年上海市徐汇区高考数学一模试卷及答案
2018年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分）1．（4分）已知集合A={2，3}，B={1，2，a}，若A⊆B，则实数a=．2．（4分）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点的坐标为．3．（4分）函数f（x）=的定义域为．4．（4分）二项式（x﹣）4的展开式中的常数项为．5．（4分）若=0，则x=．6．（4分）已知圆O：x2+y2=1与圆O′关于直线x+y=5对称，则圆O′的方程是．7．（5分）在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A（﹣），将绕原点按顺时针方向旋转，得到，则的坐标为．8．（5分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距海里（精确到0.1海里）9．（5分）若公差为d的等差数列{a n}n∈N*，满足a3a4+1=0，则公差d的取值范围是．10．（5分）著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8…，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n，n∈N*，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契数列的第项．11．（5分）若不等式（﹣1）n•a＜3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t 的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13．（5分）已知α是△ABC的一个内角，则“sin”是“α=45°”的…（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）下列命题中，假命题的是（）A．若z为实数，则=z B．若=z，则z为实数C．若z为实数，则•z为实数D．若•z为实数，则z为实数15．（5分）现有8个人排成一排照相，期中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（）A．P B．PC．P D．P﹣P16．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2 B． C． D．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（14分）如图，梯形ABCD满足AB∥CD，，BC=1，∠BAD=30°，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω（1）求Ω的体积V；（2）求Ω的表面积S．18．（14分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC的中点，（1）若点M的坐标为（﹣1，0），求点C、点N和点D的坐标（2）若点M的坐标为（﹣m，0）（m＞0），=，试确定函数f（x）的解析式．19．（14分）已知函数f（x）=|x|+，（m∈R，x≠0）（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由（2）讨论函数y=f（x）的零点个数．20．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（）在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点（1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN过定点R（，0）（3）求△MNF2面积的最大值．21．（18分）设等差数列{a n}的公差为d1，等差数列{b n}的公差为d2，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…x s}表示a1，x2，…x s这s个数中最大的数（1）若a n=2n，b n=4n﹣2，求c1，c2，c3的值，并猜想数列c n的通项公式（不必证明）（2）设a n=﹣n，b n=﹣n+2，若不等式对不小于2的一切自然数n都成立，求λ的取值范围（3）试探究当无穷数列{c n}为等差数列时，d1、d2应满足的条件并证明你的结论．2018年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分）1．（4分）已知集合A={2，3}，B={1，2，a}，若A⊆B，则实数a=3．【解答】解：∵集合A={2，3}，B={1，2，a}，A⊆B，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点的坐标为（4，﹣5）．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（4，﹣5）．故答案为：（4，﹣5）．3．（4分）函数f（x）=的定义域为（0，e] ．【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得0＜x≤e．故答案为：（0，e]．4．（4分）二项式（x﹣）4的展开式中的常数项为．【解答】解：二项式（x﹣）4的展开式的通项公式为T r+1=•x4﹣r••x﹣r=••x4﹣2r．令x的幂指数4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式中的常数项为T3=•=6×=．故答案为：．5．（4分）若=0，则x=1．【解答】解：=4x﹣2×2x=0，设2x=t，t＞0，则t2﹣2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：1．6．（4分）已知圆O：x2+y2=1与圆O′关于直线x+y=5对称，则圆O′的方程是（x ﹣5）2+（y﹣5）2=1．【解答】解：圆O：x2+y2=1的圆心坐标为（0，0）所以：点（0，0）关于直线的对称点的坐标设为（a．b），则：，解得：a=b=5，所以圆o′的方程是：（x﹣5）2+（y﹣5）2=1故答案为：（x﹣5）2+（y﹣5）2=17．（5分）在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A（﹣），将绕原点按顺时针方向旋转，得到，则的坐标为（，）．【解答】解：在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A（﹣），即：A（cos，sin），将绕原点按顺时针方向旋转，得到，即：A′（cos（），sin（）），所以：A′（），故答案为：（）．8．（5分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距 4.2海里（精确到0.1海里）【解答】解：由余弦定理可得BC=≈4.2海里．故答案为：4.2．9．（5分）若公差为d的等差数列{a n}n∈N*，满足a3a4+1=0，则公差d的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：公差为d的等差数列{a n}n∈N*，满足a3a4+1=0，即有（a1+2d）（a1+3d）+1=0，化为a12+5da1+1+6d2=0，由方程有解的条件可得，△≥0即25d2﹣4（1+6d2）≥0，解得d≥2或d≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．10．（5分）著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8…，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n，n∈N*，那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契数列的第2018项．=a n+1+a n，【解答】解：根据题意，斐波那契数列{a n}中，a n+2当n为奇数时，=a n+a n﹣1=a n+a n﹣2+a n﹣3=a n+a n﹣2+a n﹣4+a n﹣6=…=a n+a n﹣2+a n﹣4+a n﹣6+…+a1+1，则有a n+1则有1+a3+a5+a7+a9+…+a2017=a2018；即1+a3+a5+a7+a9+…+a2017是斐波那契数列的第2018项，答案为：2018．11．（5分）若不等式（﹣1）n•a＜3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是[﹣3，2）．【解答】解：当n为奇数时，不等式可化为﹣a＜3+，即a＞﹣3﹣，要使不等式对任意自然数n恒成立，则a≥﹣3；当n为偶数时，不等式可化为a＜3﹣，要使不等式对任意自然数n恒成立，则a＜（3﹣）min=3﹣=，即a＜2．综上：﹣3≤a＜．故答案为：[﹣3，）．12．（5分）已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t 的取值范围是[] ．【解答】解：因为函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，所以F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，因为区间[1，2]为函数y=|2x﹣t|的“不动区间”，所以函数y=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，因为y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，所以（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，得≤t≤2；故答案为：[]二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13．（5分）已知α是△ABC的一个内角，则“sin”是“α=45°”的…（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α是△ABC的一个内角，∴“sin”⇒“α=45°或α=135°”，“α=45°”⇒“sin”，∴“sin”是“α=45°”的必要不充分条件．故选：B．14．（5分）下列命题中，假命题的是（）A．若z为实数，则=z B．若=z，则z为实数C．若z为实数，则•z为实数D．若•z为实数，则z为实数【解答】解：对于A、若z为实数，则=z，正确；对于B、设z=a+bi（a，b∈R），则，由，可得b=﹣b，则b=0，即z 为实数，故B正确；对于C、若z为实数，则•z=|z|2为实数，故C正确；对于D、对于任意复数z，都有•z=|z|2为实数，故D错误．故选：D．15．（5分）现有8个人排成一排照相，期中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（ ）A ．PB ．PC ．PD ．P﹣P【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先排出甲、乙、丙三人外的五人，将5人全排列，有P 55种排法，排好后，有6个空位可选，②、再在排列好的五人的6个空位里，任选3个，排列甲、乙、丙三人，有P 63种结果，则不同的排法数目有P 63P 55种； 故选：C ．16．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解答】解：由题意得：△PEQ 周长取最小值时，P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ， 连结MN ，当MN 与B 1C 1的交点为P ，MN 与B 1C 的交点点M 时， 则MN 是△PEQ 周长的最小值， EM=2，EN=，∠MEN=135°，∴MN==．∴△PEQ 周长的最小值为．故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（14分）如图，梯形ABCD满足AB∥CD，，BC=1，∠BAD=30°，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω（1）求Ω的体积V；（2）求Ω的表面积S．【解答】解：（1）几何体为圆柱与圆锥的组合体，圆锥和圆柱的底面半径为r=BC=1，圆锥的高为h1=，圆柱的高h2=．∴V=π×12×+π×12×=．（2）圆锥的母线长l=2．∴几何体的面积S=π×12+π×1×2+2π×1×=3π+2π．18．（14分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC的中点，（1）若点M的坐标为（﹣1，0），求点C、点N和点D的坐标（2）若点M的坐标为（﹣m，0）（m＞0），=，试确定函数f（x）的解析式．【解答】解：（1）设点C（a，b），由中点坐标公式得，解得a=1，b=2，∴点C（1，2），∴点N（3，0），点D（5，﹣2）；（2）同样由E（0，1）是线段MC的中点，得A=2，由M（﹣m，0），得C（m，2），D（5m，﹣2）；∴•=2m•6m+2×（﹣2）=12m2﹣4，又•=﹣4，∴12m2=，解得m=；由T==8m=2π，解得ω=1，∴φ=；∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）．19．（14分）已知函数f（x）=|x|+，（m∈R，x≠0）（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由（2）讨论函数y=f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当m=0时，函数f（x）=|x|﹣3，此时f（﹣x）=f（x）函数是偶函数；当m≠0时，∵f（1）=m﹣2，f（﹣1）=﹣m﹣2，∴f（﹣1）≠±f（1），函数是非奇非偶函数．（2）由f（x）=0可得x|x|﹣3x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+3x（x≠0）令g（x）=3x﹣x|x|==，作函数y=g（x）以及y=m的图象，可得：作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当m＞或m＜﹣时，f（x）有1个零点．当m=或m=0或m=﹣时，f（x）有2个零点；当0＜m＜或﹣＜m＜0时，f（x）有3个零点．20．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（）在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点（1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN过定点R（，0）（3）求△MNF2面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆E：（a＞b＞0）经过点P（）且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，则b=c，a2=b2+c2=2b2，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（，﹣），方法一：将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），k MN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=（x﹣1），令x﹣1，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点R，且为R（，0），方法二：将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），则y+=（x﹣），整理得：2（m4+m2﹣2）y=（m3+2m）（3x ﹣2），∴直线MN过定点R（，0）方法三：则k MR==，则k NR==，∴k MR=k NR，∴直线MN过定点R（，0）（3）方法一：△F2MN面积为S=|F2H|•|y M﹣y N|，=（1﹣）•|﹣﹣|=||=||令m+=t（t≥2），由于2t+的导数为2﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S=•=•在[2，+∞）递减，∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为；则△MNF2面积的最大值为方法二：|MF2|==，|NF2|=，则△MNF2面积S=×|MF2|×|NF2|=，令m+=t（t≥2），则S==≤，当且仅当t=2即m=1时，△MNF2面积的最大值为．∴△MNF2面积的最大值为．21．（18分）设等差数列{a n }的公差为d 1，等差数列{b n }的公差为d 2，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…x s }表示a 1，x 2，…x s 这s 个数中最大的数 （1）若a n =2n ，b n =4n ﹣2，求c 1，c 2，c 3的值，并猜想数列c n 的通项公式（不必证明）（2）设a n =﹣n ，b n =﹣n +2，若不等式 对不小于2的一切自然数n 都成立，求λ的取值范围（3）试探究当无穷数列{c n }为等差数列时，d 1、d 2应满足的条件并证明你的结论．【解答】解：（1）由a n =2n ，b n =4n ﹣2，可得：a 1=2，a 2=4，a 3=6；b 1=2，b 2=6，b 3=10．当n=1时，c 1=max {b 1﹣a 1}=max {0}=0．当n=2时，c 2=max {b 1﹣2a 1，b 2﹣2a 2}=max {﹣2，﹣2}=﹣2．当n=3时，c 3=max {b 1﹣3a 1，b 2﹣3a 2，b 3﹣3a 3}=max {﹣4，﹣6，﹣8}=﹣4． ∴c 1=0，c 2=﹣2，c 3=﹣4，猜想数列c n =﹣2n +2．（2）当k ∈N *时，且2≤k ≤n 时，b k ﹣na k ﹣（b k ﹣1﹣na k ﹣1）=n ﹣1＞0． ∴c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }=b n ﹣a n n=n （n ﹣1）+2． ∴=++…+=++…+=1﹣，由题意可得：1﹣，解得λ＞，对不小于2的一切自然数n都成立，设P n=，则P n+1﹣P n=﹣=≤0，因此数列{P n}（n≥3）单调递减，而P2=P3=．∴（P n）max=P2=P3=．∴λ的取值范围是．（3）当k∈N*时，且2≤k≤n时，b k﹣na k﹣（b k﹣1﹣na k﹣1）=d2﹣nd1．下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况讨论．①若d1=0，则b k﹣na k﹣（b k﹣1﹣na k﹣1）=d2．于是当d2≤0时，b k﹣na k﹣（b k﹣1﹣na k﹣1）=d2≤0．则c n=b1﹣na1，c n+1=b1﹣（n+1）a1，c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}为等差数列．当d2＞0时，b k﹣na k﹣（b k﹣1﹣na k﹣1）=d2＞0．则c n=b n﹣na n=b n﹣na1，c n+1=b n+1﹣（n+1）a1，c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}为等差数列．②若d1＞0，d2≤2d1，则d2≤nd1对于n≥2成立，此时c n=b1﹣na1，c n﹣1=b1﹣（n﹣1）a1，c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}为等差数列．若d1＞0，d2＞2d1，则d2≥3d1，c1=b1﹣a1，c2=b2﹣2a2，c3=b3﹣3a3．于是2c2﹣（c1+c3）=2d1≠0，∴数列{c n}不为等差数列．若2d1＜d2＜3d1时，c1=b1﹣a1，c2=b2﹣2a2，c3=b3﹣3a3．于是2c2﹣（c1+c3）=2（d2﹣2d1）≠0，∴数列{c n}不为等差数列．③若d1＜0，则必存在s∈N*，使得当n≥s时，n＞，此时可得：d2＞nd1．即d2﹣nd1＞0．此时c n=b n﹣na n=b1+（n﹣1）d2﹣[a1+（n﹣1）d1]•n，c n+1=b1+nd2﹣（a1+nd1）（n+1），﹣c n=﹣2nd1+d2﹣a1，与正整数n有关．∴c n+1∴数列{c n}不是等差数列．综上可得：若数列{c n}是等差数列，则d1＞0，且d2≤2d1或d1=0．。
上海市徐汇区2018-2019学年第一学期初三期末质量检测（一模）数学试卷（解..
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：12．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣23．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．9．计算：（﹣2）﹣4＝．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，则0.2厘米：40厘米＝1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案．【解答】解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，∴tanα＝＝，∴α＝60°．故选：D．【点评】此题考查了坡度坡角问题，借助解直角三角形的知识求解是关键．4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．【解答】解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．9．计算：（﹣2）﹣4＝﹣7．【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．【解答】解：：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1＜y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】根据二次函数的性质得到x＜1时，y随y的增大而减小，然后根据自变量的大小得到对应函数值的大小．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＜1时，y随y的增大而减小，所以y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得＝＝3，可得BE＝3CE，即可求CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝5，∴△ABE∽△FCE∴＝＝3∴BE＝3CE∵BC＝BE+CE＝5∴CE＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，∴＝，解得x＝．即AH为厘米．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．【分析】由梯形中位线定理得到EF＝，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF 的长度，利用平面向量表示即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．∵＝，＝，∴＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为4．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD ＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为（50﹣10）米（结果保留根号）．【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵cos B＝＝，设BD＝5x，AB＝13x，∴AD＝＝12x，∴BC＝2BD＝10x，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝x，CE＝x，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣，求得DE＝﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：如图，∵EF∥AD，∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE，∴∠GFE＝∠BFE，∴∠A＝∠AMF，∴△AMF是等腰三角形，∴AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD＝∠DQB＝90°．∵AB∥DC，∴∠CDQ＝90°．∵∠B＝90°，∴四边形CDQB是矩形，∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，∴AQ＝10﹣2＝8，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD＝＝10，∵tan A＝，∴tan∠EFB＝＝，设EB＝3x，∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，∴AF＝MF＝10﹣4x，∴GM＝8x﹣10，∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，∴△DGM∽△DQA，∴＝，∴GD＝6x﹣，∴DE＝﹣3x，在Rt△CED中，由勾股定理得（﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，解得：3x＝，∴当EG过点D时BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝2+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．【分析】（1）利用三角形法则求出，再根据CD＝CA求出即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据＝+计算即可．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝+＝﹣+，∵AD＝2CD，∴CD＝CA，∵与同向，∴＝＝（﹣+）＝﹣；（2）如图在、上的分向量分别为，．∵＝+＝+﹣＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；（2）根据题意，可以求得点E的坐标，从而可以求得直线EB的函数解析式，进而求得与y轴的交点，从而可以求得tan∠CEB的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．【解答】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG＝∠ADG，求得∠DAG＝∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝90°，于是得到结论；（2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从而可以求得S；△AOM（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB ＝120°，∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝；（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，∵y＝＝，∴点M的坐标为（1，），设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，，得，∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴点D的坐标为（0，﹣），∴OD ＝，∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝＝； （3）当△AOM ∽△FBM 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝2，∴点F 的坐标为（4，0），设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+c ， ∵点F （4，0）在抛物线C 2上，∴0＝+c ，得c ＝，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+3； 当△AOM ∽△MBF 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝，∴点F 的坐标为（，0），设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+d ，∵点F（，0）在抛物线C2上，∴0＝，得d＝，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【分析】（1）证明△ADC∽△DCE，利用AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，即可求解；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即可求解；（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα＝，∴sinα＝，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即：CD2＝36+（8﹣x）2，由（1）得：AC•CE＝CD2，即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，（3）①当DF＝DC时，∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，即：10＝x2﹣x+10+x，解得：x＝6；②当FC＝DC，则∠DFC＝∠FDC＝α，则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，即：5x+8y＝80，将上式代入①式并解得：x＝；③当FC＝FD，则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，故：该情况不存在；故：AD的长为6和．【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．。
2018年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学一模试卷和答案
2018年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内有夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为．2．（3分）函数（x≥0）的反函数是．3．（3分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3．4．（3分）下列函数中周期是2的函数是①y＝2cos2πx﹣1②y＝sinπx+cosπx③④y＝sinπx cosπx．5．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC、A1D1的中点，则异面直线A1C 与DE所成角的大小为．6．（3分）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率是．7．（3分）已知实数x，y满足，则的范围为．8．（3分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．（3分）已知（i是虚数单位），（ωx+）2015的展开式中系数为实数的项有项．10．（3分）设集合M＝{（x，y）|x＝（y+3）|y﹣1|+（y+3），}，若（a，b）∈M，且对M中的其它元素（c，d），总有c≥a，则a＝．11．（3分）已知二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）的图象与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为（其坐标与b无关）．12．（3分）已知集合A n＝{（a1，a2，…a n）|a j＝0或1，j＝1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A n，则所有的d（U，V）和为．二、选择题13．（3分）命题：“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1B．若x＝1，则x＝1或x＝﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1D．若x＝1，则x＝1且x＝﹣114．（3分）x＝表示的曲线是（）A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分15．（3分）某同学在电脑上进行数学测试，共10道选择题，答完第n题（n＝1，2，3，…，10）电脑会自动显示前n题的正确率，其中正确率＝，则下列关系不可能成立的是（）A．f（5）＝2f（10）B．f（8）＜f（9）且f（9）＝f（10）C．f（1）＜f（2）＜f（3）＜…＜f（9）＜f（10）D．f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（8）＞f（9）＞f（10）16．（3分）已知x、y均为实数，记max{x，y}＝，min{x，y}＝．若i表示虚数单位，且a＝x1+y1i，b＝x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|}B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2三、解答题17．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若且sin C＝cos A（Ⅰ）求角A、B、C的大小；（Ⅱ）函数f（x）＝sin（2x+A）+cos（2x﹣），求函数f（x）单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离．18．已知函数y＝g（x），y＝h（x）满足：g（x）+h（x）＝e x，且y＝g（x），y＝h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．（1）求函数y＝g（x）﹣h（x），y＝h（x）的解析式；（2）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣a×h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1），（1）试计算（）的绝对值的值，并求证P A⊥底面ABCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积，说明（）的绝对值的值与四棱锥P﹣ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义．20．已知数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N），首项为a1＞1．（1）若a1＞a2，求a1的取值范围；（2）记b n＝（n∈N*），当2＜a1＜3时，求证：数列{b n}是等比数列；（3）若a n＞a n+1（n∈N*）恒成立，求a1的取值范围．21．设有二元关系f（x，y）＝（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）＝0（1）若a＝2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y＝x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X＝{x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i＝1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i＝1，2，…8）均无关的常数．2018年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：由题意知，这批米内夹谷约为1521×＝169（石）．故答案为：169石．2．【解答】解：∵函数，且x≥0，∴y≥1，x＝（y﹣1）2，∴原函数的反函数为y＝（x﹣1）2，x≥1．故答案为y＝（x﹣1）2，（x≥1）．3．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个梯形，梯形的上底是1，下底是2，高是2，∴梯形的面积是四棱柱的高是2，∴四棱柱的体积是2×3＝6故答案为：64．【解答】解：对于①y＝cos2πx，∴；对于，∴；对于；对于④，∴；故答案为②③5．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D（0，0，0），E（1，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2）．∴，．∴cos＜＞＝＝．则异面直线A1C与DE所成角的大小为arccos．故答案为：arccos．6．【解答】解：一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体，其中满足两面漆有油漆的小正方体有12个故从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率P＝＝故答案为：7．【解答】解：实数x，y满足的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，由图可知的最大值为直线2x﹣y＝0的斜率2，最小值为直线OA的斜率，其取值范围是[，2]，又≥2＝2，当＝1时取等号，且当＝时，取得最大值．则的范取值范围是[2，]．故答案为：[2，]．8．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab＝（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a＝kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．9．【解答】解：由，可知ω3＝1，，ω＝1．ω2＝，（ωx+）2015的展开式的通项公式T r+1＝（ωx）2015﹣r＝•ω2015﹣r•x2015﹣r＝•ω2015﹣2r•x2015﹣r．r＝0，1，2，3…2015．（ωx+）2015的展开式中系数为实数的项，则2015﹣2r是3的整数倍，r＝1，4，7， (2014)共有672个．故答案为：672．10．【解答】解：依题可知，本题等价于求函数x＝f（y）＝（y+3）•|y﹣1|+（y+3）当﹣≤y≤3时的最小值（1）当﹣≤y≤1时，x＝（y+3）（1﹣y）+（y+3）＝﹣y2﹣y+6＝﹣+，所以y＝﹣时，x min＝（2）当1≤y≤3时，x＝（y+3）（y﹣1）+（y+3）＝y2+3y＝﹣所以当y＝1时，xmin＝4．故答案为11．【解答】解：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由题意得f（x）＝x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴的三个交点，即圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0和坐标轴的交点，令y＝0得，x2+Dx+F＝0，由题意可得，这与x2+2x+b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．令x＝0得，y2+Ey+F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E＝﹣b ﹣1，所以圆C的一般方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b＝0．把圆C的方程改写为x2+y2+2x﹣y﹣b（y﹣1）＝0，令x2+y2+2x﹣y＝y﹣1＝0，解得x＝0，y＝1或x＝﹣2，y＝1，故圆C过定点（0，1）和（﹣2，1）．故答案为：（0，1）和（﹣2，1）12．【解答】解：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k＝1，2，3，…，2n），V＝（b1，b2，b3，…，b n）∵b i＝0的v k共有2n﹣1个，b i＝1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）＝2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|）＝n×2n﹣1∴d（U，V）＝n×2n﹣1．故答案为：n×2n﹣1二、选择题13．【解答】解：命题：“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．14．【解答】解：∵x＝k＞1，∴x2+3y2＝1（x≥0）即，表示实轴在x轴上的椭圆一部分，故选：D．15．【解答】解：A．若前5题全部做对，后5个题全做错，则f（5）＝2f（10）＝1，A成立；B．f（8）＜f（9），说明前8个题中有做错的，第9个题做对了，不论第10个题做对与否，f（9）与f（10）不可能相等；C，若前第1个题做错，其余的题全部做对，则C成立；D．若前8个题全做对，第9，10两题均错，可得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（8）＝1＞f（9）＞f（10），则D成立．故选：B．16．【解答】解：∵a＝x1+y1i，b＝x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，∴可记＝（x1，y1），＝（x2，y2），则||＝|a|，||＝|b|，∴|±|2＝||2+||2±2||•||，∴max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当⊥时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当＝且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当＝且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D．三、解答题17．【解答】解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知：，得sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或当A＝B时，有sin（π﹣2A）＝cos A，即，得，；当时，有，即cos A＝1不符题设∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：当时，为增函数即的单调递增区间为．它的相邻两对称轴间的距离为．18．【解答】解：（1）由题意，g（x）+h（x）＝e x，…①g（﹣x）+h（﹣x）＝g（x）﹣h（x）＝e﹣x，…②联立①②解得：g（x）＝，h（x）＝；∴y＝g（x）﹣h（x）＝e﹣x，y＝h（x）＝（e x﹣e﹣x）；（2）不等式g（2x）﹣a×h（x）≥0，即﹣a×≥0，令t＝e x﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，不等式转化为：t2+2﹣at≥0，∴a≤t+，∵t+≥2＝2，当且仅当t＝时取等号；∴a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．19．【解答】解：（1）（）＝2×2×（﹣1）+4×2×（﹣4）+（﹣1）×（﹣1）×0﹣2×0×2﹣4×（﹣1）×（﹣1）﹣（﹣1）×2×（﹣4）＝﹣4﹣32+0﹣0﹣4﹣8＝﹣48．∴|（）|＝48．∵•＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，•＝4×（﹣1）+2×2+0×（﹣1）＝0，∴AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥底面ABCD．（2）∵|AB|＝||＝＝，|AD|＝||＝＝2，|AP|＝||＝＝，＝8﹣2+0＝6，∴cos A＝＝，∴sin A＝，∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝|AB||AD|sin A＝8．∴V P﹣ABCD＝＝＝16．∴（）的绝对值的值是四棱锥P﹣ABCD体积的3倍．猜想：（）的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积．20．【解答】（1）解：∵，∴由a1＞a2，即，∴，∵a1＞1，∴，（2分）∴a1＞3或1＜a1＜2；（4分）（2）证明：由＝＝•＝（6分）∵∴{b n}是等比数列，且（10分）（3）解：由（1）有a1＞3或1＜a1＜2．于是，由（2）可知，又，得，（12分）故a n+1﹣a n＝﹣＝＝…＝＜0．（14分）所以＞0，从而或恒成立．因此0＜b1＜1，（16分）即，则a1的范围为a1＞3．（18分）21．【解答】解：（1）令f（x，y）＝（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1＝0，解得x﹣y＝﹣1±，∴f（x，y）＝0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S＝4．（2）证明：在曲线C中，令y＝0，则x2+ax﹣1＝0，设M（m，0），N（n，0），则mn＝﹣1，G（0，1），则直线MG：y＝﹣x+1，NG：y＝﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q．∴直线PQ的方程为：令x＝0，则y＝＝＝3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y＝0，则x2+ax﹣1＝0，则mn＝﹣1，即点R（u，v）在曲线xy＝﹣1上，又曲线C：f（x，y）＝（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1＝0．恒表示平行线x﹣y＝，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y＝﹣x对称，则＝，即x1+x2+x3+x4＝0，同理可得x5+x6+x7+x8＝0，则x1+x2+…+x8＝0，集合X＝{x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i，取Y1＝{x1，x2，…，x8}，则y1＝x1+x2+…+x8＝0，即n∈N*，＝0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q＝X，Y p∩Y q＝∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q＝0．以下证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，＝0．先证明：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n，用数学归纳法证明．1°当n＝1时，成立；2°假设当n＝k（奇数）时，x+y能够整除x k+y k，则当n＝k+2时，x k+2+y k+2＝x k+2﹣x k y2+x k y2+y k+2＝x k（x2﹣y2）+y2（x k+y k），因此上式可被x+y整除．由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n．又∵当n为奇数时，＝（y p+y q）M，其中M是关于y p，y q的整式，∵Y p∪Y q＝X，Y p∩Y q＝∅，∴每一个集合“对”（Y p，Y q）都满足y p+y q＝0．则一定有＝（x+y）M＝0，M∈N*，于是可得y1n+y2n+…+y255n＝0是常数．。