电磁场与电磁兼容习题答案与详解_第2章

电磁场与电磁兼容习题答案与详解

第二章

麦克斯韦方程组：

2.1．在均匀的非导电媒质（0=σ，1=r μ）中，已知时变电磁场为

()V /m 34cos 300⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y t z ωπa E ，()A/m 34cos 10⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=y t x ωa H ，利用麦克斯韦方程

组求出ω和r ε。

解：将E 和H 用复数表示：

由复数形式的麦克斯韦方程，有：

比较（1）与（3），（2）与（4），得 ：

由此得：

16

/108==r s rad εϖ

2.2．已知无源空间中的电场为()()

()V/m 106cos 100.1sin 9

z t x y βππ-⨯=a E , 利用麦克斯

韦方程求H 及常数β。 解：E 复数形式：

由复数形式麦克斯韦方程

将上式与题给的电场E 相比较，即可得：

而磁场的瞬时表达式为：

高斯定理：

2.7．两个相同的均匀线电荷沿x 轴和y 轴放置，电荷密度μc/m l 20=ρ，求点（3，3，3）处的电位移矢量D 。

解：设x 轴上线电荷在P （3，3，3）点上产生的电位移矢量为D 1，x 轴上线电荷在P （3，3，3）点上产生的电位移矢量为D 2。 D 122y z + D 222

x z 因为以x 轴为轴心，32l ds D ρ=

⋅⎰

1

l D ρπ=⋅⋅2321 即π

μπμ23102

32201=

⋅=

D

同理π

μ23102=

D

z y x z y x a a a a a a D D D π

μπμπμπ

μ3103535)22

12

1(

231021++=

++

=

+=

2.8．μc/m l 30=ρ的均匀线电荷沿z 轴放置，以z 轴为轴心另有一半径为2m 的无限长圆柱面，其上分布有密度为2μc/m 41.5π

ρ-=s 的电荷，利用高斯定理求各区域内的电位移

矢量D 。

解：建立圆柱坐标系，以z 轴为轴心，设一单位长度的圆柱面 （1） 当r<2m 时 因为⎰

=⋅l ds D ρ，所以l r D ρπ=⋅2

故r D l πρ2=

，D =l l l a r

u

a r ππρ152=

（2）当r>2m 时1221⋅⋅⋅+⋅=

⋅⎰

πρρs l ds D

故c u c u c u r D ⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅5.285.1302π 所以l a r

c

u D π25.28⋅⋅=

安培定律：

2.9．半径为a 的实心圆柱导体，电流I 在其截面上均匀分布，求磁场强度H 。 解：根据⎰

=⋅I u dl B 0可知

当a ≤ρ时，I a

I a I 22

2

2ρππρ==' I a u B dl B 22

02ρπρϕ=⋅=⋅⎰

所以2

02a I u B πρ

ϕ=

当a >ρ时，πρ

ϕ20I

u B =

2.10．求半径为a 的圆形电流回路中心轴上的磁场H ，并给出回路中心的磁场。

y

解：取圆柱坐标，使z 轴与圆环的轴线相合，并使圆环在z=0的平面上，中心轴上任一点的坐标为（0,0,z ），并且ϕa 是ϕ的函数，即ρϕϕ

a a -=∂∂

根据比-萨定理得

⎰⨯=

2

04R a dl I u B R

π (1)

ϕϕad a dl = (2) ααρcos sin z R a a a +-= (3)

22z a R += (4)

（2），（3），（4）代入（1）中得

⎰++-⨯=

220)

cos sin (4z a a a d a Ia u B z ααϕπρϕ =

ϕααπρd a a z a Ia

u z )cos sin ()(4220⎰

++

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰⎰ππρϕαϕαπ20202

204d cos a d sin a )

z a (Ia u z 括号中的第二项积分为零，因为ρa 是φ的函数，在[0，2π]的范围内各个单位矢量互相抵消，积分为零。 =

z a sin )

z a (Ia

u ⋅+αππ242

20

=

z a )

z a (Ia u 2

322202+

在中心点处z=0，所以z a a

I

u B 20=

边界条件：

2.14．在两导体平板（分别位于z=0和z=d 处）之间的空气中 ，已知电场强度为

()()V /m cos sin 0x k t z d

E x y -⎪⎭

⎫

⎝⎛=ωπ

a E ，式中0E 和x k 为常数。试求：（1）磁场强度H ；（2）两导体表面上的电流密度J s 。

解：(1 )将E 表示为复数形式，由复数形式的麦克斯韦方程，得磁场的复数形式：

磁场的瞬时表达式为：

（2）z=0处的导体表面的电流密度为：

z=d 处的导体表面的电流密度为

电磁场的能量：