复变函数与积分变换讲义 详细

0

a
a a (a 0)
a a (a )
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3 N(0,0,2r)
x3
除了复数的平 面表示方法外, 还可以用球面 上的点来表示 复数.
P(x1,x2,x3)
x2 o
y x2
z(x,y)
扩充复数域---引进一个“新”的数∞:
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞.
约定:
a (a 0), a 0(a n(p ) tan y p arctan y
x
x
p arctan y .
x
3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: z r(cos i sin )
10
cos p
5

sin

p
2
p
5


sin 3 p
10
.
因此
z

cos
3
p
i sin
3
p
i 3p
e 10
10
10
练习： 写出 z 1 i 3 的辐角和它的指数形式。
2
[解]arg z arctan 3 2 p arctan 3 p p p 2p ,
复 变 函 数 与积分变换 电子课件
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
第九讲
目录
复数的代数运算及几何表示 复数的乘幂与方根 区域 复变函数 复变函数及极限与连续 解析函数的概念及充要条件 初等函数 复积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数和调和函数的关系 复数项级数 幂级数
第十讲 泰勒级数 第十一讲 洛朗级数 第十二讲 孤立奇点 第十三讲 留数 第十四讲 留数在定积分计算上的应用 第十五讲 Fourier积分 Fourier变换 第十六讲 Fourier变换的性质 应用 卷积 第十七讲 Laplace变换的概念 性质 第十八讲 Laplace变换的逆变换 卷积
前
言
当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定
arctan
y, x
z在第一、四象限
arg
z

p


arctan
y x
,
z在第二象限其中
p
2

arctan
y x

p
2
p
arctan
y, x
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
1.点表示 复数z x iy 平面XOY上的点z(x, y)
虚轴 y
y
z(x,y) 复平面
r

0
x
x
实轴
2 向量表示 复数z=x+iy 矢径zr
y
y
zrz=x+iy| x || z |,| y || z |
| z || x | | y |,

zz | z |2 | z2 |
3.共轭复数性质:
i) z1 z2

z1 z2 ,z1z2

z1z2 ,
z1 z2

z1 z2
;
ii) z z; iii) z z [Re(z)]2 [Im(z)]2 ;
iv) z z 2 Re (z),z z 2i Im(z).
§1.2复数的几何表示
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576)在研究
一元二次方程 x10 x 40时引进了复数。他发现
这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表
为 5 15与5 15 。在当时，包括他自己在内，
谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被
Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理
[解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为

x y

x1 y1

t ( x2 t( y2

x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到 建立和发展。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
教学难点： 复球面 突破方法：精讲多练
§1.1复数及其代数运算
1.概念 一对有序实数（ ）构成一个复数，记
为
.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作
x=Re(Z),y=Im(Z),i 1,称
复数。
为 Z 的共轭
yx y 2i
2 O
x
y
3) Im(i z ) 4.
设 z = x + i y , 那么
O
i z x (1 y)i
Im(i z ) 1 y
可得所求曲线的方程为 y 3 .
x y3
5.复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
1 2
3
3
Argz arg z 2kp 2p 2kp , k Z ,
3
r z 1, z ei2p 3 .
4.复数形式的代数方程与平面几何图形
很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.
例2 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.
z=z1+t(z2z1). (0t1)
取
t1 2
得知线段 z1z2
z z1 z2
2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
2) | z 2i || z 2 |;
3) Im(i z ) 4.
y [解]：1) | z i | 2
设 z = x + i y , 方程变为
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei
(r z , Arg z)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin p i cos p .
5
5
[解] 1) r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。
直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，
情况才有所好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，
复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler
公式 ei cos i sin 揭示了复指数函数与三角函
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)


arctan

2 12


p
arctan
3 p 5 p . 因此
3
6
z

4
cos(
5 6
p
)

i
sin(
5 6
p
)

5p i
4e 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又
sin p
5

cos

p
2
p
5


cos 3 p ,
| x ( y 1)i | 2 x2 ( y 1)2 2,
O
x
i
x2 ( y 1)2 4
2) | z 2i || z 2 |
几何上, 该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直
平分线, 方程为 y x , 也可用代数的方法求出。
两个复数相等 他们的实部和虚部都相等
特别地，
与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.
2 .四则运算 设 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
z z (x x ) i( y y );
1
2
1
2
1
2
z z (x x y y ) i(x y x y )
12
12
12
21
12
z xx yy x y xy
1
12
i 1 2
21
1 2 (z 0)
z
x2 x 2
x2 x 2
2
2
1
2
1
2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
z 0zr r
xx
x2 y2 ----复数z的模
z与x轴正向的夹角弧度 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)