复变函数与积分变换讲义 详细
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复变函数与积分变换第3章 3.1积分的概念
f (i ,i )si
n
n
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
lim[
n
i 1
P(i ,i )xi
i 1
Q(i ,i )yi ]
n
f (x, y, z)dS lim n i1
f (i ,i , i )Si
回顾:（分段）光滑曲线的概念
对于简单曲线C: z x(t) iy(t) t 如果在
复积分计算的 参数变换法
ux '(t)dt vy '(t)dt i vx '(t)dt uy '(t)dt
= β f(z(t))z'(t)dt α
定理 1. 设曲线C的参数方程为:
z=z(t)=x(t)+iy(t) t
2. f(z)沿曲线C连续
C
f
(z)dz
u(t)x(t) v(t) y(t)dt
第一节 复变函数积分的概念 及其简单性质
3.1.1 复变函数的原函数与不定积分 3.1.2 复变函数积分的定义 3.3.3复变函数积分的基本性质 3.3.4 复变函数积分的计算
3.1.1 原函数的定义:
如果函数 (z) 在区域 D 内的导数为f (z),即 (z) f (z),
则称 (z) 为 f (z) 在区域 D 内的一个原函数.
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
16
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
均为第二型曲 线积分
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
复变函数与积分变换课件
9
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
复变函数与积分变换课程教案讲义
《复变与积分变换教案》第一次课1 教学目标： 使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。
2 讲课段落：复数产生的背景，特点； 平面向量和复数的关系； 共轭复数的作用； 三角表示； 复方根求法；复数定义与平面向量变换的内在联系。
3 知识要点：22y x z +=||||,z z z z ==2121z z z z +≤+z z z =22Re ,z z z +=z i z z Im 2=-θθθsin cos i ei +=()θθθθθi re i r ir r z =+=+=sin cos sin cosArg arg 2π,z z k θ==+z z y x yz Im )sin(arg 22=+=212121z z r r z z ==121212Arg()Arg Arg arg arg 2π,z z z z z z k k =+=++∈θϕρi n in n rez w e===nr1=ρ，()2π,k k nθϕ+=∈()nk iner w πθ21+=，1,,2,1,0-=n k4. 例：例1-1 设 ii i i z -+-=11，求z z z ,Im ,Re 。
例1-2 设i z i z 21,4321-=+=，求21z z ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛21z z 例1-3 设1z 及2z 为两个复数，试证：2221212122Re()z z z z z z +=++并用此等式证明三角不等式 推导，当0Im =z ,Re 0arg Re 0;z z z π>⎧=⎨<⎩当0Im >z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0;z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当0Im <z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例1-4 求)22a r g(i -和A r g (34i -+例1- 6（较难） 设,0≠z 则有1||1arg z z z z-≤-+例1-7 试求ii -+11的模和主幅角● 见解， 2i 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转2π度角，从而得到向量{}0,1-，而此向量对应复数1-，这也可解释i 为012=+z 的根。
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换全套精品课件
复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
全套课件
§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换讲义详细讲课文档
3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: zr(co issin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei (rz,Arzg)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
pp
1 )z 1 2 2 i; 2 )z sin ic o s . 55
建立和发展。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
第五页，共21页。
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，
热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复
数领域的推广和发展。
第六页，共21页。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到
yy 12
x 2
i
xy 21 x2
x y 12
x 2
(z 2
0)
2
1
2
1
2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
复变函数与积分变换第1章函数与复变函数
题。
04
幂级数与泰勒级数
幂级数展开
幂级数展开
将一个函数表示为幂级数的形式， 即$f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + cdots$，其中$z$是复数。
幂级数展开的收敛
域
幂级数展开的收敛域是指在这个 区域内，级数收敛并可以表示该 函数。收敛域的大小取决于函数 的性质和幂级数的系数。
03
复变函数的积分
复变函数的积分定义
实数范围内函数的积分
实数范围内函数的积分是数学分析中的基础概念，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来计算。
复数范围内函数的积分
复数范围内函数的积分是实数范围内函数的积分的扩展，需要考虑到复数范围内函数的解析性、奇偶性、周期性 等特点。
柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中一个重要 的公式，它给出了在单连通区域内解 析的函数f(z)的积分与边界上的值之间 的关系。
柯西积分公式的应用：柯西积分公式 可以用于求解一些复杂的积分问题， 例如计算某些函数的原函数、求解某 些微分方程等。
积分定理与路径无关性
积分定理
复变函数中的积分定理包括线积分定理和面积分定理，它们分别描述了函数在曲线和曲 面上的积分与边界上的值之间的关系。
路径无关性
在复变函数中，如果一个函数的积分与路径无关，则称该函数是某个变量的全纯函数或 解析函数。路径无关性是全纯函数的一个重要性质，它可以用于求解一些复杂的积分问
图像处理
在图像处理中，复变函数主要用于图像的频 域处理。通过快速傅里叶变换（FFT），可以 将图像从空间域转换到频域，实现图像滤波、
边缘检测、频域增强等操作。
在物理和工程中的应用
物理
在物理学中，复变函数被广泛应用于量子力学、电磁 学等领域。例如，在量子力学中，波函数通常被描述 为复数形式的函数。
04
幂级数与泰勒级数
幂级数展开
幂级数展开
将一个函数表示为幂级数的形式， 即$f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + cdots$，其中$z$是复数。
幂级数展开的收敛
域
幂级数展开的收敛域是指在这个 区域内，级数收敛并可以表示该 函数。收敛域的大小取决于函数 的性质和幂级数的系数。
03
复变函数的积分
复变函数的积分定义
实数范围内函数的积分
实数范围内函数的积分是数学分析中的基础概念，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来计算。
复数范围内函数的积分
复数范围内函数的积分是实数范围内函数的积分的扩展，需要考虑到复数范围内函数的解析性、奇偶性、周期性 等特点。
柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中一个重要 的公式，它给出了在单连通区域内解 析的函数f(z)的积分与边界上的值之间 的关系。
柯西积分公式的应用：柯西积分公式 可以用于求解一些复杂的积分问题， 例如计算某些函数的原函数、求解某 些微分方程等。
积分定理与路径无关性
积分定理
复变函数中的积分定理包括线积分定理和面积分定理，它们分别描述了函数在曲线和曲 面上的积分与边界上的值之间的关系。
路径无关性
在复变函数中，如果一个函数的积分与路径无关，则称该函数是某个变量的全纯函数或 解析函数。路径无关性是全纯函数的一个重要性质，它可以用于求解一些复杂的积分问
图像处理
在图像处理中，复变函数主要用于图像的频 域处理。通过快速傅里叶变换（FFT），可以 将图像从空间域转换到频域，实现图像滤波、
边缘检测、频域增强等操作。
在物理和工程中的应用
物理
在物理学中，复变函数被广泛应用于量子力学、电磁 学等领域。例如，在量子力学中，波函数通常被描述 为复数形式的函数。
复变函数与积分变换第四章ppt课件
定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn
复变函数与积分变换__第3章
二、复积分的性质
(1) (2) (3)
C [ f ( z ) g( z )]dz C f ( z ) dz C g( z ) dz .
C f ( z ) dz C
C f ( z ) dz C
1
f ( z ) dz .
f ( z ) dz ,
f ( z ) dz
C
f (z k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy i
C
vdx udy .
I z dz
C3
i C3 C1 1
C2
( t i t ) d( t i t )
0
1
x
(1 i ) (1 i ) t d t
0
1
1 21 2 t 1. 0 2
注意1 从例题看到, 积分
C
zd z
和 C zdz ,
都是从相同的起点到相同的终点, 沿着两条不 相同的路径进行时,
D C
则有
C f ( z ) d z 0 .
二、闭路变形原理
将柯西积分定理推广到二连域 定理 设二连域 D 的边界为 C C1 C2 (如图)，
C1
D
则 函数 f ( z ) 在 D 内解析，在 D+C 上连续，
C2
b a
C f ( z ) d z 0
C
或
C
1
f (z) dz
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数与积分变换课程教案讲义
《复变与积分变换教案》第一次课1 教学目标： 使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。
2 讲课段落：复数产生的背景，特点； 平面向量和复数的关系； 共轭复数的作用； 三角表示； 复方根求法；复数定义与平面向量变换的内在联系。
3 知识要点：22y x z +=||||,z z z z ==2121z z z z +≤+z z z =22Re ,z z z +=z i z z Im 2=-θθθsin cos i e i +=()θθθθθi re i r ir r z =+=+=sin cos sin cosArg arg 2π,z z k θ==+z z y x y z Im )sin(arg 22=+=212121z z r r z z ==121212Arg()Arg Arg arg arg 2π,z z z z z z k k =+=++∈θϕρi n in n rez w e===nr1=ρ，()2π,k k nθϕ+=∈()nk iner w πθ21+=，1,,2,1,0-=n k4. 例：例1-1 设 iii i z -+-=11，求z z z ,Im ,Re 。
例1-2 设i z i z 21,4321-=+=，求21z z ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛21z z 例1-3 设1z 及2z 为两个复数，试证：2221212122Re()z z z z z z +=++并用此等式证明三角不等式 推导，当0Im =z ,Re 0arg Re 0;z z z π>⎧=⎨<⎩当0Im >z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0;z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当0Im <z ,Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0z z z z z z z π⎧≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例1-4 求)22arg(i -和Arg(34)i -+例1- 6（较难） 设,0≠z 则有1||1arg z z z z-≤-+例1-7 试求ii -+11的模和主幅角● 见解， 2i 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转2π度角，从而得到向量{}0,1-，而此向量对应复数1-，这也可解释i 为012=+z 的根。
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0
a
a a (a 0)
a a (a )
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3 N(0,0,2r)
x3
除了复数的平 面表示方法外, 还可以用球面 上的点来表示 复数.
P(x1,x2,x3)
x2 o
y x2
z(x,y)
扩充复数域---引进一个“新”的数∞:
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞.
约定:
a (a 0), a 0(a n(p ) tan y p arctan y
x
x
p arctan y .
x
3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: z r(cos i sin )
10
cos p
5
sin
p
2
p
5
sin 3 p
10
.
因此
z
cos
3
p
i sin
3
p
i 3p
e 10
10
10
练习： 写出 z 1 i 3 的辐角和它的指数形式。
2
[解]arg z arctan 3 2 p arctan 3 p p p 2p ,
复 变 函 数 与积分变换 电子课件
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
第九讲
目录
复数的代数运算及几何表示 复数的乘幂与方根 区域 复变函数 复变函数及极限与连续 解析函数的概念及充要条件 初等函数 复积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数和调和函数的关系 复数项级数 幂级数
第十讲 泰勒级数 第十一讲 洛朗级数 第十二讲 孤立奇点 第十三讲 留数 第十四讲 留数在定积分计算上的应用 第十五讲 Fourier积分 Fourier变换 第十六讲 Fourier变换的性质 应用 卷积 第十七讲 Laplace变换的概念 性质 第十八讲 Laplace变换的逆变换 卷积
前
言
当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定
arctan
y, x
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限其中
p
2
arctan
y x
p
2
p
arctan
y, x
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
1.点表示 复数z x iy 平面XOY上的点z(x, y)
虚轴 y
y
z(x,y) 复平面
r
0
x
x
实轴
2 向量表示 复数z=x+iy 矢径zr
y
y
zrz=x+iy| x || z |,| y || z |
| z || x | | y |,
zz | z |2 | z2 |
3.共轭复数性质:
i) z1 z2
z1 z2 ,z1z2
z1z2 ,
z1 z2
z1 z2
;
ii) z z; iii) z z [Re(z)]2 [Im(z)]2 ;
iv) z z 2 Re (z),z z 2i Im(z).
§1.2复数的几何表示
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576)在研究
一元二次方程 x10 x 40时引进了复数。他发现
这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表
为 5 15与5 15 。在当时，包括他自己在内，
谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被
Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理
[解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为
x y
x1 y1
t ( x2 t( y2
x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到 建立和发展。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
教学难点： 复球面 突破方法：精讲多练
§1.1复数及其代数运算
1.概念 一对有序实数（ ）构成一个复数，记
为
.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作
x=Re(Z),y=Im(Z),i 1,称
复数。
为 Z 的共轭
yx y 2i
2 O
x
y
3) Im(i z ) 4.
设 z = x + i y , 那么
O
i z x (1 y)i
Im(i z ) 1 y
可得所求曲线的方程为 y 3 .
x y3
5.复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
1 2
3
3
Argz arg z 2kp 2p 2kp , k Z ,
3
r z 1, z ei2p 3 .
4.复数形式的代数方程与平面几何图形
很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.
例2 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.
z=z1+t(z2z1). (0t1)
取
t1 2
得知线段 z1z2
z z1 z2
2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
2) | z 2i || z 2 |;
3) Im(i z ) 4.
y [解]：1) | z i | 2
设 z = x + i y , 方程变为
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei
(r z , Arg z)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin p i cos p .
5
5
[解] 1) r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。
直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，
情况才有所好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，
复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler
公式 ei cos i sin 揭示了复指数函数与三角函
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)
arctan
2 12
p
arctan
3 p 5 p . 因此
3
6
z
4
cos(
5 6
p
)
i
sin(
5 6
p
)
5p i
4e 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又
sin p
5
cos
p
2
p
5
cos 3 p ,
| x ( y 1)i | 2 x2 ( y 1)2 2,
O
x
i
x2 ( y 1)2 4
2) | z 2i || z 2 |
几何上, 该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直
平分线, 方程为 y x , 也可用代数的方法求出。
两个复数相等 他们的实部和虚部都相等
特别地，
与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.
2 .四则运算 设 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
z z (x x ) i( y y );
1
2
1
2
1
2
z z (x x y y ) i(x y x y )
12
12
12
21
12
z xx yy x y xy
1
12
i 1 2
21
1 2 (z 0)
z
x2 x 2
x2 x 2