11氦原子基态能级要点

第一章绪论1.1引言对氦原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氦原子基态能级的求解。

变分法是解决氦原子和类氦离子基态问题的强有力工具，到目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数千，在忽略核质量的情况下，它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到10」〜10」°和10 19，这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。

在量子力学教科书中，一般介绍的近似求解法是微扰法和变分法，而变分法中选择的尝试波函数一般是一个参数型的，例如周世勋编《量子力学》、曾谨言著《量子力学教程》等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氦原子体系基态能级。

1.2选题的依据和意义1.2.1选题的依据在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很少的。

在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。

微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。

用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的，但是遇到比氢原子稍微复杂一点的氦原子时，微扰法就不及变分法容易和求解精确。

用一参变分法即选用含一个参数的尝试波函数，这种波函数形式简单，其物理意义清晰，物理模型简单，适用于教育教学，但精确度比较低。

选用含二参数的尝试波函数，这样的模型相对于更多参数的波函数要简单，又比一参变分法求解精确度高很多，这样既有利于理解怎样用变分法求基态能级，可适用于教学，又能求得比一参法更为精确的数值，因而具有重要的物理意义。

1.2.2选题的意义氦原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子，研究氦原子这种简单的多粒子体系，对于研究更复杂的多粒子体系具有重要的意义。

变分法是解决氦原子和类氦原子的强有力工具，只要选择合适的试探波函数，对于提高求解能级近似值有很大的帮助。

1.3本文的主要研究内容本文主要研究氦原子的基态能级，通过应用双参数变分法，选择适当的试探波函数，求出氦原子基态能级的能量，并将计算值与试验值进行比较，再与用微扰法求出的氦原子基态能量结果进行对比，通过对比体现出用变分法求氦原子基态能级的优越性。

第二章变分法介绍2.1变分法原理A A已知量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系的哈密顿算符H可以分为H °和AH两部分：A A AH =H° + H ，A A其中H 0的本征值与本征函数是已知的，而 H •很小。

如果这些条件不能满足，微扰法就A不能应用。

因而在遇到H •不是很小的情况下，就需要寻找另外的求解方法，量子力学中求解问题的又一种简单方便的方法一一变分法的应用不受上述条件的限制。

A设体系哈密顿算符H的本征值由小到大的顺序排列为：E°, E i, E2 厂，E n, (1) 与这些本征值对应的本征函数是：■。

，「，'二,...，'" (2)AE°和10是基态能量和基态波函数。

为简单起见，我们假定H的本征值E n是分立的，本征函数t n组成正交归一系。

于是有AH n 二 E?；n ⑶设.是任意一个归一化的波函数，将■按n展开：'■八a/-n ⑷n在屮所描写的状态中，体系能量的平均值是AH 二'* H d ⑸将(4)式代入⑸式，得__ A H 八 a m a nm,nn=送 a ； 3 E ^V d Tm,nm, n=V |a n |2E nn由于E o 是基态能量，所以E o :：: E n (n=1,2,…)，在上式中用E 。

代替E n ，则H — E ° ' |a “ |2n最后一步用了・的归一化条件'Tk I 2=1。

n(6)式和(7)式给出:AE o 「- * H'- d.这个不等式说明，用任意波函数算出H 的平均值总是大于体系基态能量，而只有当A恰好是体系的基态波函数’5时，H 的平均值才等于能量E o 。

上面讨论中曾假定是归一化的，如果‘-：不是归一化的，那么(5)式应该写为:A*H-d.H*(9)(8)式应写为A严*H 屮diE o-——: (10)0 ■- ^dAA根据波函数算出H 的平均值总是不小于E o ，我们可以选取很多的■-并算出H 的平均值，这些平均值中最小的一个最接近于 E o 。

应用(3)式有八 a m a n E n :. mn(8)2.2变分法求体系基态能量的步骤2.2.1选取一个参量的尝试波函数选取含有一个参量，的尝试波函数’「C)代入⑸式和(9)式，算出平均能量H(.)，然后由d H( ■)(11)d，求出H (•)的最小值。

所得结果就是E o的近似值 2.2.2选取两个参量的尝试波函数选取含有两个参量:、1的尝试波函数(二J代入(5)式和(9)式，算出平均能量H C , ■)，然后由d H (a B) dH P):)=°，(「)=° (12)求出H (：•, J的最小值，所得结果就是E o的近似值。

第三章氦原子基态能量的变分计算根据第二章变分法原理可知，氦原子的基态能量可由下式计算得到:AE 0 {min ' * H d }A其中，H 为哈密顿算符，屮为归一化的试探波函数。

若波函数未归一化，氦原子的基态能量可由下式计算得到:|啓*H 屮d j 氦原子有一个原子核和两个电子，它们都处于运动状态。

由于原子核的质量相对于 电子非常大，核的运动比电子的运动要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈 密顿算符可写为：H —二。

2、2)-施-2eSeS(14)2® A「2 「12其中，J 是电子质量，*与“分别代表第一、第二个电子到核的距离； L 为两个电子之间的距离。

2为方便计算，米用原子单位（其中能量单位为哈特利，即— 2 13.6eV ），氦原子体a o系的非相对论哈密顿算符可写为：A1 2 2 2 2 1 H = C 2 I 2）+ （14.1）2「1 血「123.1尝试波函数的选择用变分法求近似解的关键在于选择合适的尝试波函数，尝试波函数选得好，可以 在很大程度上提高计算结果的精度。

对类氢离子，电子的基态波函数为（取原子单位，以下暂不考虑归一化常数）e 习，它(13)(13.1)E o min -------I 胖屮dw j所表示的状态有这样一个特点：电子的最概然半径为1 z,电子在半径为1 z的球壳附近分布的概率较大。

对于类氦离子，如果不考虑两个电子相互排斥作用，则基态波函数为e^1“2,二电子的最概然半径皆为1 z,但若考虑两电子的相互作用，利用单参数变分法求得基态近似波函数为[1,8]:(15)(15)式中匚=516.在这种模型下，由于排斥作用，两个电子的最概然半径增长到1 z -二.我们认为这个模型仍然比较粗糙，二电子之间的关系考虑得不够，现将试探波函数改进为如下形式：假如二电子可以区分即存在某种差别，我们设想由于二电子的径向排斥作用，电子1的最概然半径为1：且处于形式为e®的波函数描述的状态，电子2 的最概然半径为1「且处于形式为e"的波函数描述的状态，则两个电子的基态波函数可写作：才怙"乂心5 (16)1为变分参数。

:-,显然,上述说法不满足全同粒子波函数交换对称性的要求，事实上我们不能说清某个电子处于哪个状态•由于基态为1S o态,波函数的自旋部分是反对称的，空间部分要求是对称的，因此，满足交换对称性要求的波函数为：'■ (r1,r2^ A[e^：r1® e"2叨] (17)值得强调,如果:• = 1 ,则式(17)退化为单参数的.它们究竟会不会相等不是由想象而是由变分原理一一能量平均值取极小值条件来决定.在计算时，需注意以上波函数是未归一化的。

3.2氦原子能量平均值的计算A利用(14.1)式和(16)式，我们先计算严*戒山，然后计算胖也。

有：A■- *Hd二 A[e4：r1 飞)T)] _丄(、2 辽)_2_2 .丄A[e«i r2) /「2=1)0.心2IL 2 「1 「2 「12=A[e" r 2)e" 2-?)A[e ，e J ：r^:q)]d ..d ., (18.1)」」2 r .A[e1：r^r 2)eJ ：r2 }1)]^!\ 2 --)A[e J ：r ^'r 2)e J ：r2 r 1)]d.1d.2”2 r 2+ AfedefT 〉] — Afe^1叨飞丄弋 r 1)]d.1d .2‘‘ ％首先，求解(18)式中的(18.1)式，有A[e —eS ")](丄、2 _2)A[e'：r 1" e'"r 1)]d .1d .2 z 2 r 1A /_r22dr/ (： 2『-25怡《“ 92 0J"叨飞心"d -1d-2(18.1-1)-2A 2[e" ® e" % 1 [e“ ® e" T)]d k .2 r 1(18.1-2)先求解(18.1)式中的(18.1-1)式，有 」A 22[e«r1"e"「r 1)]丄上£丄)[e» ：“ rr 14：.->2) ■e^：r ^-r1)]d.1d 2「A 22[e 4 丁 1 血)e 4血 i r 1)]卜2_空)e 七用)d 1d 2r1-丄A 22[e4 丁 1 =2). e4：r^ :r1)(18.2)(18.3)16 二 2dr 1od o d2 2 2 2 2 2A r 2 dr 2 [( -. r1 -2：rj ( » 0 0|-^_-^1乂2 |-^T —23} ](2a)3(2a)2一(2P )3](20)3(20)2一(2o( )3,接着求解(18.1)式中的(18.1-2)式，有-2A 2[e 心切 飞宀切]1 [/"旳 屮込5工.心2 … 「1= -32「：2A 2上忑-；2)-e"(：r^'r1)- 2e" u )r2]仙16 二22A 2)2dJC 2r i 20 0-2^r 1)e^(：r 2'ri)dr 116 二2""T"°° _2 2 2A D{:0 IL2 21c y(2)16 二 2_ 2°° -A 2 r22:0 --2：-22 - )31e如型鼻 c「)2dr 216二2A 2二 16 兀2=一 22- 2- 2-(_：: i >')3(_：: i >')2(_：: ■ ■.-■)3A 21 丄 4(a 2+P 2) 4 〕 8(3B (G +B )6(a+P )416二22A 21一 16 厂 16^(18.1-1.1)216 二2-2'r 1)]e J ：ri "516二 A 2{ 2= _2A 1:卜e'G G 川,2e'：r= r 2)4：r2「r1)] 1r 1d 1d 2- 2 丄2 丄41_(2： )2(2 J 3(2：站)2(：「)5然后，求解(18)式中的(18.2)式，有*—)(丄八)](丄、2 一勻心心旳ed r 1)]d.1d.2z2 r 2= _2A 2jj[e 七诡)+e 如枷]&£(r 22-^)"『8电)壮❻強阴旺 (18.2-1)2 '' r 2 厅2 c r 2-2A 2[e"1e5 % 丄[e""％ .紀显r 2先求解(18.2)式中的(18.2-1)式，有[e —2)飞小 叩][2「「)][e^1叨• e£r —J ]d .g 边r 2 厅2 tr 2iA 2“2dr i f 2『-2 叽)e%" Fda 2o o=一32叫需+冷］(18.1-2.1)2 2= —32 二2：r2 卜 2C 」")2e ，：：T)r2仙2(18.2-2)」A 2e(八)][(：•2—)e 4：r 2■r i )]d-1d 2「216 二2 2= —32 二Re」A 22A 2『dr , ［（: 2r ；—2: r 2） C 2r 22- 2 十2）上心 ®"2T ）dr 20 0A 2r 12dr 1 （〉2r ； -2_汕2怡'（厂 r ，）dr 2 o o16： 2八2「2 2 2 1 2 2 1 A-：兀」A 2r 12：■ 3 -2 2 -23 _2 2 e - 2 0 |L （二-.-'）3（一八*）2（一：匚 ' ■■■■） （二 心）216二2八2「 2： 22： 2 2 22M 丨 2 .2 { _（2 ）3（2 ）2（2：） （2：）3（2：）2（2： ）'伽,亠一丄+丄一丄+叱也厶J2 1创B3 316t 30 8口3B（G +0）6（a +B ）4接着求解（18.2）式中的（18.2-2）式，有-2A 2心5旳e" T ）］丄［e"1旳e"叩疋品.2=-2A 2I i ［e^（：r 1 r 2）• e'g T）• 2e«r 1T ）心 T ）］丄 d 川 2r 2= -32"A 2.『dr 1 ［「⑺旳 e*2 F ）. 2e« f 儿回“216 216二216：22A 2『｛o-2：2 22（很亠『；）2©亠）21】：丨、 2_ 一（二-■■■'）2（二 ）16二2A 21 1IL16：川 316 ㈡ M'）6（18.2-1.1）爲A 2-0 0- 2 丄2 丄41_（^ ）2（2：）3（2：站）2（：「）5最后，求解(18)式中的(18.3)式，这里根据参考文献⑴，有^飞“⑴］丄HeSiMe'—Fdid.ri2■'r 22dr/. r i 2［e'（：r i如. Qe"1®） g q 10 0 *2 Idjrjle"1M • e'G " 2e“ ""）］1 dn0 0r2旦—丄 _rL . r 21 ）e ^r--）r 22：2「4： 3「21 _2l 2-,3）e2 2= —32 二 A，=丄e"丄e0 _（2 ） （2：）e 」：凸》r=一32叫需+冷］（18.2-2.1）+ 16二2A 2］知2 .『［e*1 ；2）- eg 切0 r 22e“ 亠,H ） •（:r 2 U］1dr 1r 12 2+ 16 二Ar2dr2占"1-2：七、尸 )2 2+ 16 二A 2r ； （::£亠卩） 4「（二'■■.-■）24〔e-2（a 刑2一心）3f 0+ 16「：2A 24e7：T r 2「）3e2 2= —32 二 2 2=16 二2 2 =16 二co= 16「：2A 2r 2dr 2（2「22丄工丄2「2 . 2 2（：..恥4-：：2 2 - 4 '■2（很亠.）（很亠.）22 22-f 县）（=16-2八召*召*）（-£-占怡+16”伞严4「（二亠”）3）詁：」仇dr2dr?2 2 =16 二A1 2 1 1|| 4 28（用亠,）34 34（：丄亠”）2|+16二2A21 2 1 1|| 4 28（用亠『'）3434（用亠『'）2]+16二2A22 2 4 1I __________ _____________ X_ _________ _____________ x _IL （J ■ ■.-■）28（二1'.-'）3（二1'.-'）34（一八 J）22 2 + 16 二A [丄沢丄+丄汽丄过4口3 4$2 4$3 4^2（a +B）3（a +B）22 2 =16 二 A-2' 2■ 3I- 3 5 I」1少30316（。