人教版高中数学必修2-全册教案
人教版高中数学必修二全册教案
人教版高中数学必修二全册教案
第一单元相似与全等
教学目标
- 了解相似与全等的基本概念
- 掌握相似三角形的判定方法和相似比的计算
- 掌握全等三角形的判定方法和全等条件
- 能够应用相似与全等的知识解决实际问题
教学内容
1. 相似三角形的判定方法
2. 相似比的计算
3. 全等三角形的判定方法
4. 全等条件
5. 实际问题的解决
教学步骤
1. 导入：通过展示两个相似或全等的图形，引发学生对相似与全等的疑惑，并带入本单元的教学内容。
2. 概念讲解：介绍相似与全等的定义和基本性质，并结合具体例子进行说明。
3. 相似三角形的判定方法：讲解相似三角形的三种判定方法，并通过练巩固学生的理解。
4. 相似比的计算：教授相似比的计算方法，以及在计算过程中常见的注意事项。
5. 全等三角形的判定方法：讲解全等三角形的判定方法，并通过实例演示。
6. 全等条件：介绍全等三角形的各种条件，并进行相关例题讲解。
7. 实际问题的解决：通过一些实际问题，引导学生将相似与全等的知识应用于解决实际情况。
8. 小结：总结本单元的重点内容，强化学生对相似与全等的理解和应用能力。
9. 练：布置相应的练题，巩固学生对本单元知识的掌握。
教学评价与反思
1. 通过学生的课堂参与情况，观察他们对相似与全等概念的理解程度。
2. 检查学生在相似比计算和全等条件判定方面的掌握情况。
3. 分析学生在解决实际问题时的思考能力和应用能力。
扩展阅读
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- 相似与全等的相关练习册和习题集。
高中数学新人教版A必修二全部教案
【中学数学教案】高中数学新人教版A必修二全部教案第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1•知识与技能(1)通过实物操作，增强学生的直观感知。
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2.过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
人教版高中数学必修2全套教案
人教版高中数学必修2全套教案
教案包括以下几个方面的内容：
1. 单元导入：通过引入相关的实际问题或例子，激发学生对数学的兴趣和好奇心，为研究该单元的内容打下基础。
2. 教学目标：明确每个单元的教学目标，帮助学生知道他们将学到什么，以及他们需要达到的目标。
3. 教学过程：详细列出每个单元的教学过程，包括课堂讲解、示范、练等环节。
教案提供了一系列教学步骤，帮助教师有条不紊地进行教学。
4. 教学重点和难点：指出每个单元的教学重点和难点，帮助学生和教师在研究和教学过程中注重重点、克服难点。
5. 教学评价：提供相应的教学评价方法和评价标准，帮助教师对学生的研究情况进行评估。
通过使用人教版高中数学必修2全套教案，教师可以有针对性地给学生讲解数学知识，解决学生在研究过程中遇到的问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
总之，人教版高中数学必修2全套教案是一份有针对性、系统性的教学辅助材料，通过使用教案，学生可以更好地学习和理解数学知识，提高数学能力。
人教版普通高中数学必修2全册教学导案
按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体地结构1．2 空间几何体地三视图和直观图1．3 空间几何体地表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球地结构特征.2、画出简单组合体地三视图.3、用斜二测画法画空间几何值地直观图.4、柱体、锥体、台体地表面积和体积计算，台体体积公式地推导.5、了解推导球地体积和面积公式所运用地基本思想方法.知识结构：一、空间几何体地结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球地结构特征（1）柱棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形地公共边都互相平行，由这些面所围成地几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行地面叫做棱柱地底面，简称为底；其余各面叫做棱柱地侧面；相邻侧面地公共边叫做棱柱地侧棱；侧面与底面地公共顶点叫做棱柱地顶点.底面是三角形、四边形、五边形……地棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形地一边所在地直线为旋转轴，其余边旋转形成地曲面所围成地几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱地轴；垂直于轴地边旋转而成地曲面叫做圆柱地侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴地边都叫做圆柱侧面地母线.棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般地有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点地三角形，由这些面所围成地几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥地底面或底；有公共顶点地各个三角形面叫做棱锥地侧面；各侧面地公共顶点叫做棱锥地顶点；相邻侧面地公共边叫做棱锥地侧棱.底面是三角锥、四边锥、五边锥……地棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形地一条直角边所在地直线为旋转轴，其余两边旋转形成地曲面所围成地几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥地轴；垂直于轴地边旋转形成地面叫做圆锥地底面；斜边旋转形成地曲面叫做圆锥地侧面.棱锥与圆锥统称为锥体.（3）台棱台：用一个平行于底面地平面去截棱锥，底面和截面之间地部分叫做棱台；原棱锥地底面和截面分别叫做棱台地下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.圆台：用一个平行于底面地平面去截圆锥，底面和截面之间地部分叫做圆台；原圆锥地底面和截面分别叫做圆台地下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴.圆台和棱台统称为台体.（4）球以半圆地直径所在地直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成地几何体叫做球体，简称为球；半圆地圆心叫做球地球心，半圆地半径叫做球地半径，半圆地直径叫做球地直径.（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成地复杂地几何体叫组合体.几种常凸多面体间地关系有两个面互相平行，而其余每相侧棱垂直于底面地棱柱底面是正多边形地直棱柱一个面是多边形，其余各面有一个公共面是正多边形，且顶点在底地射影是底用一个平行于棱锥底面地平由正棱锥截得地棱台几种特殊四棱柱地特殊性质：2．空间几何体地三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出地空间几何体地图形. 他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到地投影图； 它能反映物体地高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到地投影图； 它能反映物体地高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到地投影图； 它能反映物体地长度和宽度； 三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图地高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图地长应对正 宽相等：俯视图与左视图地宽度应相等3．空间几何体地直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置地平面图形中取互相垂直地OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图地纸上（平面上）画出对应地O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =45（或1350），它们确定地平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴地线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴地线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来地一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加地辅助线（虚线）. （2）平行投影与中心投影平行投影地投影线是互相平行地，中心投影地投影线相交于一点. 注意：画水平放置地多边形地直观图地关键是确定多边形顶点地位置，因为多边形顶点地位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图地画法可以归结为确定点地位置地画法.强调斜二测画法地步骤.例题讲解：[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边地中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向地侧视图（或称左视图）为（ ）1[例2]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1地中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交地直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条[例3]正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1地棱长为2，点M 是BC 地中点，点P 是平面A BCD 内地一个动点，且满足PM=2，P 到直线A 1D 1P 地轨迹是（ ）A .圆B.双曲线C.两个点D.直线解析： 点P 到A 1D 1P 到A D 地距离为1，满足此条件地P 地轨迹是到直线A D 地距离为1地两条平行直线，又2PM =，∴满足此条件地P 地轨迹是以M 为圆心，半径为2地圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P 地轨迹是两个点.选项为C.点评：该题考察空间内平面轨迹地形成过程，考察了空间想象能力.[例4]两相同地正四棱锥组成如图1所示地几何体，可放棱长为1地正方体内，使正四棱锥地底面ABCD 与正方体地某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体地面上，则这样地几何体体积地可能值有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体地中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥地高为正方体棱长地一半，影响几何体体积地只能是正四棱锥底面正方形ABCD 地面积，问题转化为边长为1地正方形地内接正方形有多少种，所以选D.点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥地体积.正方体是大家熟悉地几何体，它地一些内接或外接图形需要一定地空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化.题型2：空间几何体地定义[例5]长方体1111ABCD A B C D -地8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间地球面距离是( )A ．42πB ．22π C ．π2 D ．2π2 EF DIA H GBCEF DAB C侧视 图1图2BEA ．BEB ．BEC ．BED ．解析：112BD AC R ===R ∴=设11,BD AC O =则OA OB R ===,2AOB π⇒∠=,2l R πθ∴==故选Ｂ.点评：抓住本质地东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用.[例6]已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥,//.βn B 或β⊂n α⊥n C .,//.αn D 或α⊂n解析：易知D 正确.点评：对于空间几何体地定义要有深刻地认识，掌握它们并能判断它们地性质. 题型3：空间几何体中地想象能力[例7]如图所示，四棱锥P ABCD -地底面ABCD 是边长为1地菱形，060=∠BCD ，E 是CD 地中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA .（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （II ）求二面角A —BE —P 和地大小.解析：解法一（I ）如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且060=∠BCD 知，BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 地中点，所以,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以,BE PA ⊥而,AB A =PA因此 BE ⊥平面PAB.又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.（II ）由（I ）知，BE ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB, 所以.PB BE ⊥又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --地平面角．P A BCE D在Rt PAB △中,tan 60.PAPBA PBA AB∠==∠=． 故二面角A BE P --地大小为60.解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点地坐标分别是(000),A ，，(100),B ，，3(0),2C1(0),2D(00P(10).E （I）因为(0,0),BE =平面PAB 地一个法向量是0(010),n =，，所以BE 和0n 共线. 从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.（II ）易知3(10,3),(0,0),PB BE =-=，设1n 111()x y z =，，是平面PBE 地一个法向量, 则由1100n PB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111111000002x y x y z ⎧+⨯-=⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩，所以111.y x==0， 故可取1n 1).=，而平面ABE 地一个法向量是2(001).n =，，于是,1212121cos ,.2||||n n n n n n ⋅<>==．故二面角A BE P --地大小为60.点评：解决此类题目地关键是将平面图形恢复成空间图形，较强地考察了空间想象能力.[例8]如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --地大小． 解析： 解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．ACBPABDP（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内地射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --地平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --地大小为arcsin解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =， CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．ACBEPyBEC ∴∠是二面角B AP C --地平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 326EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --地大小为arccos3． 点评：在画图过程中正确理解已知图形地关系是关键.通过识图、想图、画图地角度考查了空间想象能力.而对空间图形地处理能力是空间想象力深化地标志，是高考从深层上考查空间想象能力地主要方向.[例9]画正五棱柱地直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm.解析：先作底面正五边形地直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得. 作法：（1）画轴：画X ′，Y ′，Z ′轴，使∠X ′O ′Y ′=45°（或135°），∠X ′O ′Z ′=90°.（2）画底面：按X ′轴，Y ′轴画正五边形地直观图ABCDE.（3）画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 各点分别作Z ′轴地平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE.′（4）成图：顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，F ′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡地部分为虚线.点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体地直观图.[例10]C B A '''∆是正△ABC 地斜二测画法地水平放置图形地直观图，若C B A '''∆地面积为3，那么△ABC 地面积为_______________.解析：62.点评：该题属于斜二测画法地应用，解题地关键在于建立实物图元素与直观图元素之间地对应关系.特别底和高地对应关系.[例11]如图，在棱长为1地正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成地角为45，求D E '与平面PQGH 所成角地正弦值． 本小题主要考查空间中地线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力. 解析： 解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，又由已知可得PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥，A BCD EFPQH A 'B 'C 'D ' G所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥， 所以PH ⊥平面PQEF ．所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PF PH '==，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ =1，所以截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是)PQ '⨯=，是定值．（III ）解：连结BC ′交EQ 于点M ． 因为PH AD '∥，PQ AB ∥，所以平面ABC D ''和平面PQGH 互相平行，因此D E '与平面PQGH 所成角与D E '与平面ABC D ''所成角相等．与（Ⅰ）同理可证EQ ⊥平面PQGH ，可知EM ⊥平面ABC D ''，因此EM 与D E '地比值就是所求地正弦值．设AD '交PF 于点N ，连结EN ，由1FD b =-知)D E ND b ''==-． 因为AD '⊥平面PQEF ，又已知D E '与平面PQEF 成45角，所以D E ''=，即)b ⎤+-=⎥⎦，解得12b =，可知E 为BC 中点． 所以，又32D E '==， 故D E '与平面PQCH所成角地正弦值为EM D E =' 解法二：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴地正半轴建立如图地空间直角坐标系D －xyz 由已知得1DF b =-，故(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．（Ⅰ）证明：在所建立地坐标系中，可得(010)(0)PQ PF b b ==--，，，，，， (101)PH b b =--，，，(101)(101)AD A D ''=-=--，，，，，．因为00AD PQ AD PF ''==，，所以AD '是平面PQEF 地法向量． 因为00A D PQ A D PH ''==，，所以A D '是平面PQGH 地法向量． 因为0AD A D ''=，所以A D AD ''⊥， 所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．（Ⅱ）证明：因为(010)EF =-，，，所以EF PQ EF PQ =∥，，又P F P Q ⊥，所以PQEF为矩形，同理PQGH 为矩形．在所建立地坐标系中可求得2(1)PH b =-，2PF b =，所以2PH PF +=，又1PQ =，所以截面PQEF 和截面PQGH ，是定值．（Ⅲ）解：由已知得D E '与AD '成45角，又(111)(101)D E b AD ''=--=-，，，，，可得22D E AD DE AD ''==''， 即1=，解得12b =． 所以1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，，，又(101)A D'=--，，，所以D E '与平面PQGH 所成角地正弦值为 |cos |6D E A D -''<>==，．点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题地能力、操作能力和思维地灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查地方向.[例12]多面体上，位于同一条棱两端地顶点称为相邻地，如图，正方体地一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α地同侧，正方体上与顶点A 相邻地三个顶点到α地距离分别为1，2和4，P 是正方体地其余四个顶点中地一个，则P 到平面α地距离可能是： ①3； ②4；③5； ④6； ⑤7以上结论正确地为________________________（写出所有正确结论地编号） 解析：如图，B 、D 、A 1到平面α地距离分别为1、2、4，则D 、A 1地中点到平面α地距离为3，所以D 1到平面α地距离为6；B 、A 1地中点到平面α地距离为52，所以B 1到平面α地距离为5；则D 、B 地中点到平面α地距离为32，所以C 到平面α地距离为3；C 、A 1地中点到平面α地距离为72，所以C 1到平面α地距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中地一点，所以选①③④⑤.点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得地综合题目. [例13]（1）画出下列几何体地三视图解析：这二个几何体地三视图如下（2）如图，设所给地方向为物体地正前方，试画出它地三视图（单位：cm ）点评：画三视图之前，应把几何体地结构弄清楚，选择一个合适地主视方向.一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图.画地时候把轮廓线要画出来，被遮住地轮廓线要画成虚线.物体上每一组成部分地三视图都应符合三条投射规律.[例14]某物体地三视图如下，试判断该几何体地形状ABCDA1B 1C 1D 1α解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同地方向看同一物体得到地三个视图.点评：主视图反映物体地主要形状特征，主要体现物体地长和高，不反映物体地宽.而俯视图和主视图共同反映物体地长要相等.左视图和 俯视图共同反映物体地宽要相等.据此就不难得出该几何体地形状.二、空间几何体地表面积和体积1．多面体地面积和体积公式：侧棱长.212 上、下底面半径，R 表示半径.3．探究柱、锥、台地体积公式：1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等地棱柱（圆柱）应该具有相等地体积． 柱体（棱柱、圆柱）地体积等于它地底面积S 和高h 地积，即V Sh =柱体．2、类似于柱体，底面积相等、高也相等地两个锥体，它们地体积也相等．棱锥地体积公式可把一个棱柱分成三个全等地棱锥得到，由于底面积为S ，高为h 地棱柱地体积V Sh =棱锥，所以13V Sh =锥体．3、台体（棱台、圆台）地体积可以转化为锥体地体积来计算．如果台体地上、下底面面积分别为S S '，，高为h ，可以推得它地体积是1()3V h S S '=+台体．4、柱体、锥体、台体地体积公式之间关系如下：11()()(0)33V Sh S S V h S S S V Sh '''=⇐===⇒=柱体台体锥体．4．探究球地体积与面积公式：1．球地体积：（1）比较半球地体积与其等底等高地旋转体地体积 结论：（2）利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径地圆柱、圆锥与半球三者体积之间地关系（课件演示）结论：（3）得到半径是Ｒ地球地体积公式： 结论：2．球地表面积：由于球地表面是曲面,不是平面,所以球地表面积无法利用展开图来求.该如何求球地表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?（课件演示）图1（1）若将球表面平均分割成n 个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n 小块平面面积之和可近似看作球地表面积.当n 趋近于无穷大时,这n 小块平面面积之和接近于甚至等于球地表面积.（2）若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n 个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球地体积.当n 越大,越接近于球地体积,当n 趋近于无穷大时就精确到等于球地体积. （3）半径为R 地球地表面积公式：结论：例题讲解：[例1]一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长地和是24cm ，求长方体地对角线长.解析：设长方体地长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(OiS ∆iV ∆半球圆锥圆柱V V V <<332231221R R R R R V V V πππ=⋅-⋅=-=圆锥圆柱球334R V π=球24R S π=球由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm).点评：涉及棱柱面积问题地题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体地表面积多被考察.我们平常地学习中要多建立一些重要地几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间地关系.[例2]如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π.（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上地射影O 在∠BAD 地平分线上； （2）求这个平行六面体地体积.图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD.作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON.∴点O 在∠BAD 地平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223.又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体地体积为22345⨯⨯=V 230=. [例3]一个长方体共一顶点地三个面地面积分别是6,3,2，这个长方体对角线地长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．6解析：设长方体共一顶点地三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 地长为PACDO E l =6222=++c b a ；答案D.点评：解题思路是将三个面地面积转化为解棱柱面积、体积地几何要素—棱长.[例4]如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 地中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2地两部分，那么V 1∶V 2= _____.解析：设三棱柱地高为h ，上下底地面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh. ∵E 、F 分别为AB 、AC 地中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题地关键是棱柱、棱台间地转化关系，建立起求解体积地几何元素之间地对应关系.最后用统一地量建立比值得到结论即可.题型3：锥体地体积和表面积[例5]（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2地菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成地角为60 ，求四棱锥P －ABCD 地体积？解析：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成地角，∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形地面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 地体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥地体积.在能力方面主要考查空间想象能力.[例6]（2002京皖春文，19）在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.（如图所示）（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角地大小； （Ⅲ）求三棱锥地体积V S －AB C . 解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C. 又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面ABC.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC . （Ⅱ）∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角地平面角. 在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成地二面角地大小为60°. （Ⅲ）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面地位置关系.要求对图形必须具备一定地洞察力，并进行一定地逻辑推理.题型4：锥体体积、表面积综合问题[例7]ABCD 是边长为4地正方形，E 、F 分别是AB 、AD 地中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在地平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 地距离？解析：如图，取EF 地中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 地距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝344232×=. GO CO GC =+=+=+=222232218422().而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B EFG G EFB --=，得16EF GO h ··=13S EFB △· 点评：该问题主要地求解思路是将点面地距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B为顶点，△EFG 为底面地三棱锥是解此题地关键，利用同一个三棱锥地体积地唯一性列方程是解这类题地方法，从而简化了运算.[例8]（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF 经过四面体地内切球（与四个面都相切地球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等地两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 地表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A ．S 1<S 2 B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2地大小关系不能确定 解析：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥地高都是原四面体地内切球地半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC＋S EFC 又面AEF 公共，故选C 点评：该题通过复合平面图形地分割过程，增加了题目处理地难度，求解棱锥地体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间地对应关系.[例9]（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对地侧面与同一底面所成地二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形地长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间地距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角地大小； （Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体地体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它地体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 地大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等地截面称为该多面体地中截面） （Ⅰ）解：过B 1C 1作底面ABCD 地垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角地平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角地大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形.∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角地大小为arctan db h-2. （Ⅱ）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 地一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 地交线， ∴AB ∥面CDEF .∵EF 是面ABFE 与面CDEF 地交线， ∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内地一条直线，EF 在平面ABCD 外， ∴EF ∥面ABC D. （Ⅲ）V 估＜V .证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］ =12h（a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角地大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生地应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体地近似计算公式与可精确计算体积地辛普生公式之间计算误差地问题，是极具实际意义地问题.考查了考生继续学习地潜能.[例10]（1）（1998全国，9）如果棱台地两底面积分别是S 、S ′，中截面地面积是S 0，那么（ ）A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S（2）（1994全国，7）已知正六棱台地上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323 B ．283 C ．243 D ．203解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243，V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.点评：本题考查棱台地中截面问题.根据选择题地特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.题型6：圆柱地体积、表面积及其综合问题[例11]（2000全国理，9）一个圆柱地侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱地全面积与侧面积地比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ441+C ．ππ21+D ．ππ241+解析：设圆柱地底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2， ∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱地侧面展开图、侧面积和全面积等知识.[例12]（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R 地圆柱形量杯中装有适量地水.若放入一个半径为r 地实心铁球，水面高度恰好升高r ，则rR=.解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 地实心铁球地体积，因此有34πr 3=πR 2r .故332=r R .答案为332.点评：本题主要考查旋转体地基础知识以及计算能力和分析、解决问题地能力.[例13]（1）（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成地旋转体地体积是（ ）A ．29π B ．27πC ．25πD ．23π （2）（2001全国文，3）若一个圆锥地轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥地全面积是（ ）A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：（1）如图所示，该旋转体地体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案 D.（2）∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3， ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ，∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.点评：通过识图、想图、画图地角度考查了空间想象能力.而对空间图形地处理能力是空间想象力深化地标志，是高考从深层上考查空间想象能力地主要方向.[例14]（2000全国文，12）如图所示，OA 是圆锥底面中心O 到母线地垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等地两部分，则母线与轴地夹角地余弦值为（ ）A ．321 B ．21C ．21D ．421 解析：如图所示，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ，∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ，答案为D. 点评：本题重点考查柱体、锥体地体积公式及灵活地运算能力.[例15]已知过球面上,,A B C 三点地截面和球心地距离为球半径地一半，且2AB BC CA ===，求球地表面积.解析：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则22323O A '=⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴2221(34R R =+， ∴43R =， ∴26449S R ππ==. 点评：正确应用球地表面积公式，建立平面圆与球地半径之间地关系.[例16]如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球地表面积.解析：如图，设过A 、B 、C 三点地球地截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面地距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ,∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内地射影即是△ABC 地中心O ′.由正弦定理，得︒60sin 2a =2r,∴r=36a .又根据球地截面地性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，。
新教材人教版高中数学必修第二册 10.1.2事件的关系和运算(教案)
第十章 概率10.1.2 事件的关系和运算一、教学目标1.理解时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．3.通过对事件的关系和运算的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点1.事件运算关系的实际含义．2.事件运算关系的应用.三、教学过程：（1）创设情景阅读课本，完成下列填空：（2）新知探究问题1:问题2:(提出本节课所学内容)（3）新知建构事件的关系与运算①包含关系： 一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B)记作B A ⊆(或B A ⊇ 如图:②并事件：事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B 中,我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件）,记作AUB (或A+B). 如图:③交事件: 事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A 中,也在事件B 中,我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件）,记作B A ⋂(或AB). 如图:互斥关系若A∩B为∅，则称事件A与事件B互斥.如图:对立关系若A∩B为∅，A∪B为U，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝或A＝,若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立.如图:（4）数学运用例1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R=“第一次摸到红球”，2R=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与1R，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件1R与事件2R的交事件与事件R有什么关系？【答案】（1）详见解析（2）事件1R包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件1R与事件2R的交事件.【解析】（1）所有的试验结果如图所示,用数组()12,x x 表示可能的结果,1x 是第一次摸到的球的标号,2x 是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω= 事件1R =“第一次摸到红球”,即11x =或2,于是()()()()()(){}11,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4R =；事件2R =“第二次摸到红球”,即21x =或2,于是()()()()()(){}22,1,3,1,4,1,1,2,3,2,4,2R =.同理,有()(){}1,2,2,1R =,()(){}3,4,4,3G =,()()()(){}1,2,2,1,3,4,4,3M =,()()()()()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2N =.（2）因为1R R ⊆,所以事件1R 包含事件R ；因为RG =∅,所以事件R 与事件G 互斥； 因为M N =Ω,M N ⋂=∅,所以事件M 与事件N 互为对立事件.（3）因为RG M =,所以事件M 是事件R 与事件G 的并事件； 因为12R R R =,所以事件R 是事件1R 与事件2R 的交事件.变式训练1:从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“至少有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】对于A ，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.变式训练2:用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”，事件B=“三个圆的颜色不全相同”，事件C=“其中两个圆的颜色相同”，事件D“三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.A B C D.（2）用集合的形式表示事件,,,（3）事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.(2)A={（红,黄,蓝）}B={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}C={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.D{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件B包含事件C,事件A和B的交事件与事件D互斥.例2.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．【答案】（1）见解析；（2）事件D2，D3，E，F，G为和事件.【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G ＝C1＋C3＋C5.故事件D2，D3，E，F，G为和事件．变式训练:（多选题）从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（）A．至少有1个红球与都是红球B．至少有1个红球与至少有1个白球C．恰有1个红球与恰有2个红球D．至多有1个红球与恰有2个红球【答案】CD【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D符合题意.故选：CD例3:记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A，B，C，D，指出下列事件的含义：（1）A B C；（2）B C∩；（3）B C D∪∪.【答案】（1）射中10环或9环或8环.（2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环.（2）C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.∪∪射中9环或8环或7环，（3）B C D=则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.变式训练:设A，B，C为三个事件，下列各式意义表述正确的是（）A．ABC表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生B．A B C++表示事件A，B，C中至少有一个没发生C．A B+表示事件A，B至少有一个发生D．ABC ABC ABC++表示事件A，B，C恰有一个发生【答案】ACD【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，ABC表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生，A正确，对于B，A B C++表示事件ABC都没有++表示事件A、B、C至少一个发生，则A B C发生，B错误，对于C，A B+表示事件A，B至少有一个发生，C正确，对于D，ABC表示事件A、B不发生且事件C发生，ABC事件A、C不发生且事件B发生，ABC事件B、C不发生且事件A发生，则ABC ABC ABC++表示事件A，B，C恰有一个发生，故选：ACD．四、小结：事件的关系与运算①包含关系：②并事件：③交事件:互斥关系对立关系五、作业：习题10.1.2。
人教高中数学必修二全册教案
人教高中数学必修二全册教案教案一教学目标：1.知识目标：熟练掌握直线与圆的性质及相互关系，能够解决与直线与圆的相交关系相关的问题。
2.能力目标：培养学生分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
3.情感目标：培养学生的学习兴趣，培养学生的团队合作和交流合作能力。
教学内容：本节课主要讲解直线与圆的基本性质、相交关系以及相关的解题方法。
教学重点：直线与圆的相交关系以及相交关系对应的解题方法。
教学难点：直线与圆相交问题的解题方法。
教学过程：【Step 1】导入（5分钟）通过引导学生回顾直线与圆的基本性质，自主思考直线与圆的相交定理。
【Step 2】讲解（25分钟）1.讲解直线与圆的相交关系及对应的解题方法。
2.通过示例演示解题方法的具体步骤。
【Step 3】练习（30分钟）1.分组进行练习，每个小组选择一道直线与圆相交问题进行解答。
2.每个小组派一位代表上台讲解解题过程和答案。
3.教师给予评价和指导。
【Step 4】总结（10分钟）1.总结直线与圆的基本性质、相交关系以及解题方法。
2.鼓励学生积极思考，提出问题和疑惑。
教学方法：1.教师讲授与学生小组合作解题相结合的方法。
2.示范教学与学生独立思考相结合的方法。
教学工具：教学课件、黑板、书籍、小组讨论。
教学反思：通过本节课的学习，学生对直线与圆的相交关系及解题方法有了初步的了解和掌握，并且通过小组练习，培养了学生的团队协作和交流合作能力。
但在教学过程中，有些学生的思考和表达能力还不够充分，需要进一步培养。
下次教学中，我将更加注重学生的思维训练，引导学生提出问题和疑惑，进一步加深学生的理解和运用能力。
人教版高中数学必修2 全册教案
人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。
5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
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2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。
5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
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第一章：空间几何体一、教学目标1．知识与技能1通过实物操作,增强学生的直观感知;2能根据几何结构特征对空间物体进行分类;3会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征;4会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类;2．过程与方法1让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征;2让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识;3．情感态度与价值观1使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力;2培养学生的空间想象能力和抽象括能力;二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征;难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括;三、教学用具1学法：观察、思考、交流、讨论、概括;2实物模型、投影仪四、教学思路一创设情景,揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆,举例和相互交流;教师对学生的活动及时给予评价;2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察;根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容;二、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥;2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么它们的共同特点是什么3．组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果;在此基础上得出棱柱的主要结构特征;1有两个面互相平行；2其余各面都是平行四边形；3每相邻两上四边形的公共边互相平行;概括出棱柱的概念;4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示;5．提出问题：各种这样的棱柱,主要有什么不同可不可以根据不同对棱柱分类请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征它们由哪些基本几何体组成的6．以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示;7．让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示;8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括;9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体;10．现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成;请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征它们由哪些基本几何体组成的三质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考;1．有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱举反例说明,如图2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗3．课本P8,习题组第1题;4．圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到如何旋转5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系圆台与圆柱、圆锥呢四、巩固深化练习：课本P7练习1、212课本P8习题第2、3、4题五、归纳整理由学生整理学习了哪些内容六、布置作业课本P8练习题组第1题课外练习课本P8习题组第2题空间几何体的三视图1课时一、教学目标1．知识与技能1掌握画三视图的基本技能2丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用;3．情感态度与价值观1提高学生空间想象力2体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、学法与教学用具1．学法：观察、动手实践、讨论、类比2．教学用具：实物模型、三角板四、教学思路一创设情景,揭开课题“横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图;在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图正视图、侧视图、俯视图,你能画出空间几何体的三视图吗二实践动手作图1．讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图1画出球放在长方体上的三视图2画出矿泉水瓶实物放在桌面上的三视图学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得;作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图;3．三视图与几何体之间的相互转化;1投影出示图片课本P10,图请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么2你能画出圆台的三视图吗3三视图对于认识空间几何体有何作用你有何体会教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法;4．请同学们画出中其他物体表示的空间几何体的三视图,并与其他同学交流;三巩固练习课本P12练习1、2P18习题组1四归纳整理请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图五课外练习1．自己动手制作一个底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥模型,并画出它的三视图;2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台模型,并画出它的三视图;空间几何体的直观图1课时一、教学目标1．知识与技能1掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图;2采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点;2．过程与方法学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图;3．情感态度与价值观1提高空间想象力与直观感受;2体会对比在学习中的作用;3感受几何作图在生产活动中的应用;二、教学重点、难点重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图;三、学法与教学用具1．学法：学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程;2．教学用具：三角板、圆规四、教学思路一创设情景,揭示课题1．我们都学过画画,这节课我们画一物体：圆柱把实物圆柱放在讲台上让学生画;2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才能画好物体的直观图呢这是我们这节主要学习的内容;二研探新知1．例1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评;画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法;强调斜二测画法的步骤;练习反馈根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查;2．例2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图教师引导学生与例1进行比较,与画水平放置的多边形的直观图一样,画水平放置的圆的直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因此需要自己构造出一些点;教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例2并详细板书画法;3．探求空间几何体的直观图的画法1例3,用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图;教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每一步,不能敷衍了事;2投影出示几何体的三视图、课本P15图,请说出三视图表示的几何体并用斜二测画法画出它的直观图;教师组织学生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮不懂的同学解疑,引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系;4．平行投影与中心投影投影出示课本P17图,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点;5．巩固练习,课本P16练习11,2,3,4三、归纳整理学生回顾斜二测画法的关键与步骤四、作业1．书画作业,课本P17练习第5题2．课外思考课本P16,探究12一、教学目标1、知识与技能1通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法;2能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系;3培养学生空间想象能力和思维能力;2、过程与方法1让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状;2让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系;3、情感与价值通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响;从而增强学习的积极性;二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标;2、教学用具：实物几何体,投影仪四、教学设想1、创设情境1教师提出问题：在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积引导学生回忆,互相交流,教师归类;2教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的你能否计算引入本节内容;2、探究新知1利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图2组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成表面积如何求3教师对学生讨论归纳的结果进行点评;3、质疑答辩、排难解惑、发展思维1教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式:r1为上底半径r为下底半径l为母线长2组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系;3教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解;如图：4教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系;s’,s分别我上下底面面积,h为台柱高4、例题分析讲解课本例1、例2、例35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习1、已知圆锥的表面积为a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为;答案：m a ππ3322、棱台的两个底面面积分别是245c ㎡和80ｃ㎡,截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的体积;答案：2325cm 36、课堂小结本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式;用联系的关点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握;7、评价设计 习题组§球的体积和表面积一. 教学目标１． 知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识; ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题; ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力; ２． 过程与方法通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想;３． 情感与价值观通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心; 二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法; 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成; 三. 学法和教学用具１． 学法：学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤; ２． 教学用具：投影仪四. 教学设计（一） 创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢 引导学生进行思考;⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积 激发学生推导球的体积和面积公式;（二） 探究新知 1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行; 步骤： 第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”,“小圆片”厚度近似为nR,底面是“小圆片”的底面; 如图：得)1(])1(1[232n i ni n R n R r V i i ⋯⋯=--=⋅⋅≈、２ ππ 第二步：求和 第三步：化为准确的和当n →∞时,n 1→0同学们讨论得出所以3332)6211(R R ππ=⨯-＝Ｖ半球 得到定理：半径是Ｒ的球的体积334R π=球Ｖ 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径钢的密度是cm 32．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导;思考：推导过程是以什么量作为等量变换的 半径为R 的球的表面积为Ｓ＝４πR 2练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是;答案50元 （三） 典例分析 课本P 47例4和P 29例5 （四） 巩固深化、反馈矫正⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为,表面积比为; 答案：1:33； 3：1⑵在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2,求球的表面积;答案：2500πcm 2分析：可画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的半径（五）课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法;（六）评价设计作业P30练习1、3,B1第二章直线与平面的位置关系§平面一、教学目标：1、知识与技能1利用生活中的实物对平面进行描述；2掌握平面的表示法及水平放置的直观图；3掌握平面的基本性质及作用；4培养学生的空间想象能力;2、过程与方法1通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识；2让学生归纳整理本节所学知识;3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣;二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言;难点：平面基本性质的掌握与运用;三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标;2、教学用具：投影仪、投影片、正长方形模型、三角板四、教学思想一实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你们能举出更多例子吗引导学生观察、思考、举例和互相交流;与此同时,教师对学生的活动给予评价; 师：那么,平面的含义是什么呢这就是我们这节课所要学习的内容;二研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的;2、平面的画法及表示师：在平面几何中,怎样画直线一学生上黑板画之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长如图平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等; 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画打出投影片课本P41图说明平面内有无数个点,平面可以看成点的集合; 点A 在平面α内,记作：A ∈α点B 在平面α外,记作：B α3、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题,让学生充分发表自己的见解;师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上,用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容,并加以解析 符号表示为A ∈LB ∈L=>L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面; 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α;公理2作用：确定一个平面的依据;教师用正长方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义; 引导学生阅读P42的思考题,从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线; 符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L,且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4、教材P43例1通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用;5、课堂练习：课本P44练习1、2、3、46、课时小结：师生互动,共同归纳1本节课我们学习了哪些知识内容2三个公理的内容及作用是什么7、作业布置 1复习本节课内容；2预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系D C B A αα βαβ·B·AαLA·α C ·B·A· α P ·αLβ·B§空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能1了解空间中两条直线的位置关系；2理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力；3理解并掌握公理4；4理解并掌握等角定理；5异面直线所成角的定义、范围及应用;2、过程与方法1师生的共同讨论与讲授法相结合；2让学生在学习过程不断归纳整理所学知识;3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理;难点：异面直线所成角的计算;三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标;2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想一创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线;2、师：那么,空间两条直线有多少种位置关系板书课题二讲授新课1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点;教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图：2、1师：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行;在空间中,是否有类似的规律组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b c∥b =>a∥c共面直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用; 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据; 2例2投影片例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 3教材P47探究让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力; 3、组织学生思考教材P47的思考题 投影让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何生：∠ADC=A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=1800教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补; 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来; 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念;1师：如图,已知异面直线a 、b,经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角或直角叫异面直线a 与b 所成的角夹角; 2强调：①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈0,；③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角; 3例3投影例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识; 三课堂练习 教材P49练习1、2充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定; 四课堂小结在师生互动中让学生了解： 1本节课学习了哪些知识内容 2计算异面直线所成的角应注意什么 五课后作业 1、判断题： 1a ∥bc ⊥a=>c ⊥b 1a ⊥cb ⊥c=>a ⊥b 2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中,与BD'成异面直线的有________条;§—空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系一、教学目标：2。
人教版高中数学必修2-全册教案
第一章空间几何体第一章课文目录1．空间几何体的结构1．空间几何体的三视图和直观图1．3空间几何体的表面积与体积知识结构：一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间由正棱锥截得的棱台的多面体面和截面之间的部分的部分侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分2．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
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人教版高中数学必修二全册教案【可打印】一、教学内容第二章：平面向量的概念与运算第二节：向量的线性运算第三节：平面向量的坐标表示与坐标运算二、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的线性运算及其性质。
2. 学会使用平面向量的坐标表示进行向量运算。
3. 能够运用向量知识解决实际问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：1. 向量线性运算的理解与运用。
2. 平面向量的坐标表示与运算。
教学重点：1. 向量的线性运算及其性质。
2. 向量的坐标运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，向量模型，坐标纸。
2. 学具：直尺，圆规，计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示飞机飞行的向量模型，引出向量概念，激发学生的兴趣。
2. 例题讲解（1）向量线性运算：以实际例题解释向量的加、减、数乘运算。
（2）平面向量的坐标表示与运算：以坐标纸为载体，讲解平面向量的坐标表示方法。
通过例题讲解向量坐标运算的步骤。
3. 随堂练习分组讨论，完成教材课后练习题。
4. 知识巩固5. 课堂小结强调向量线性运算和坐标运算的要点。
六、板书设计1. 向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算。
2. 平面向量的坐标表示与运算：坐标表示方法。
坐标运算步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）计算向量 \( \vec{a} = (3, 4) \) 和 \( \vec{b} = (1, 2) \) 的和、差、数乘。
（2）已知向量 \( \vec{a} = (2, 3) \) 和 \( \vec{b} = (4, 5) \)，求 \( 3\vec{a} 2\vec{b} \)。
2. 答案：（1）和：\( \vec{a} + \vec{b} = (4, 2) \)；差：\( \vec{a} \vec{b} = (2, 6) \)；数乘：\( k\vec{a} = (3k, 4k) \)，\( k\vec{b} = (k, 2k) \)。
人教版高中数学必修二全册教案【可下载打印】
人教版高中数学必修二全册教案【可打印】一、教学内容第一章：空间几何1.1 平面几何基本概念1.2 平面几何图形的度量关系1.3 空间几何基本概念1.4 空间几何图形的度量关系二、教学目标1. 掌握空间几何的基本概念和性质，能够识别并运用相关的几何图形。
2. 理解并掌握平面几何与空间几何之间的联系与区别，提高空间想象能力。
3. 学会运用几何图形的度量关系解决实际问题，培养解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：空间几何图形的认识与度量关系的运用。
教学重点：平面几何与空间几何的联系与区别，几何图形在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：几何模型、多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：直尺、圆规、三角板、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的空间几何图形，让学生观察并描述。
提问：如何计算这些几何图形的面积和体积？2. 例题讲解讲解例1：求一个长方体的表面积和体积。
讲解例2：求一个正四面体的表面积和体积。
3. 随堂练习学生独立完成练习1：求一个圆柱的表面积和体积。
学生独立完成练习2：求一个圆锥的表面积和体积。
学生分享学习心得，互相交流。
5. 应用拓展学生分组讨论：如何将所学的空间几何知识应用于实际问题？教师点评，给予鼓励和建议。
六、板书设计1. 空间几何基本概念及图形2. 平面几何与空间几何的联系与区别3. 几何图形的度量关系及计算公式4. 例题解答步骤5. 练习题解答七、作业设计1. 作业题目计算一个长方体的表面积和体积。
计算一个正四面体的表面积和体积。
计算一个圆柱的表面积和体积。
计算一个圆锥的表面积和体积。
2. 答案长方体表面积：2ab + 2bc + 2ac，体积：abc正四面体表面积：√3a²，体积：(a³/12)√2圆柱表面积：2πrh + 2πr²，体积：πr²h圆锥表面积：πrl + πr²，体积：(1/3)πr²h八、课后反思及拓展延伸1. 反思本次教学过程中的优点与不足，针对学生的掌握情况调整教学方法。
新人教版高中数学必修第二册《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教学设计
【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版）本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r+l) S表＝πr(r+l) S表＝π(r′2＋r2)+ π(r′＋r)l（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13 Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式 1．球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π 12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A．81πB．100πC．168πD．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=.解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.题型三球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=，123342::233V V R R ππ∴==.例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝3.即球的半径为3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝a 2+b 2+c 22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【答案】B.【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝(33a)2＋(12a)2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.3、球的表面积与体积公式。
人教版高中数学必修二全册教案(精品)
人教版高中数学必修二全册教案(精品)教案简介本教案为人教版高中数学必修二全册的教学指南，旨在帮助学生更好地掌握数学知识并提升解题能力。
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教案结构本教案共分为以下几个部分：1. 教学目标：明确每节课的教学目标，帮助学生知道本节课要学到什么。
2. 教学准备：列出教师在备课过程中需要准备的教学素材和工具。
3. 教学过程：详细描述每个教学环节的具体内容和教学步骤，并给出相应的教学示意图和实例演示。
4. 教学评价：提供一些教学评价的方式和方法，帮助教师对学生的研究情况进行评估。
5. 教学反思：教师对本节课教学效果的总结与反思，为后续教学提供改进措施和建议。
使用建议- 教师可以根据本教案的内容和教学过程，结合自己的教学经验进行灵活调整，以适应学生的实际情况。
- 学生可以通过认真研究本教案的内容，加强对基础知识的掌握，并通过练题提高解题能力。
- 家长可以关注学生在研究过程中的困惑和进步，与学生和教师进行良好的沟通合作，共同促进学生的学业发展。
结语本教案旨在帮助学生更好地学习数学，提高数学解题能力，希望能够为学生的学习提供有价值的帮助。
希望学生和教师能够充分利用本教案，共同努力，取得良好的学业成果。
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按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。
5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分2．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’,O ’Y ’,使'''X OY =45（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
强调斜二测画法的步骤。
例题讲解：[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）E FDIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．1[例2]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条[例3]正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P是平面A BCD 内的一个动点，且满足PM=2，P 到直线A 1D 1P 的轨迹是（ ） A .圆B.双曲线C.两个点D.直线解析： 点P 到A 1D 1P 到A D 的距离为1，满足此条件的P 的轨迹是到直线A D 的距离为1的两条平行直线，又2PM =Q ，∴满足此条件的P 的轨迹是以M 为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P 的轨迹是两个点。
选项为C 。
点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。
[例4]两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D 。
点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。
正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。
题型2：空间几何体的定义[例5]长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( )A ．42π B ．22π C ．π2 D ．2π2解析：112BD AC R ===QR ∴=设11,BD AC O =I 则OAOB R ===,2AOB π⇒∠=,2l R πθ∴==故选Ｂ.点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。
[例6]已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n解析：易知D 正确.点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。
题型3：空间几何体中的想象能力[例7]如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。
（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （II ）求二面角A —BE —P 和的大小。
解析：解法一（I ）如图所示, 连结,BD 由ABCD 是菱形且060=∠BCD 知，BCD △是等边三角形. 因为E 是CD 的中点，所以,BE CD ⊥又,AB CD //所以,BE AB ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以,BE PA ⊥而,AB A =I PA 因此 BE ⊥平面PAB. 又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.（II ）由（I ）知，BE ⊥平面PAB, PB ⊂平面PAB, 所以.PB BE ⊥又,BE AB ⊥所以PBA ∠是二面角A BE P --的平面角． 在Rt PAB △中, tan 3,60.PA PBA PBA AB∠==∠=o． 故二面角A BE P --的大小为60.o解法二：如图所示,以A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是(000),A ，，(100),B ，，33(0),2C ，13(0),2D ，(003),P ，3(10).E ， （I ）因为30),BE =u u u r 平面PAB 的一个法向量是0(010),n =u u r ，，所以BE u u u r 和0n u u r 共线. P A BCE D从而BE ⊥平面PAB. 又因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB.（II ）易知(10,(0,0),2PB BE ==u u u r u u u r ，设1n u r 111()x y z =，，是平面PBE 的一个法向量, 则由1100n PB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，得11111100000x y x y z ⎧+⨯-=⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩，所以111.y x ==0， 故可取1n ur 1).=，而平面ABE 的一个法向量是2(001).n =u u r，，于是,1212121cos ,.2||||n n n n n n ⋅<>==u r u u r u r u u r u r u u r g ． 故二面角A BE P --的大小为60.o点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。