7.2上极限和下极限解析

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证明：设liman =a ， limbn =b, a b
n n
a b 取 0, 则a b 4 an中大于a 的项有无数多项，
而bn an , 所以bn中大于b 的项也有无数多项，由于b为上极限，(由定理7.7）矛盾。
2019年1月8日2时34分
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4
一上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
2019年1月8日2时34分
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5
一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
2019年1月8日2时34分
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6
一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
2019年1月8日2时34分
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26
四非正常上极限与下极限
2019年1月8日2时34分
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27
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18
二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
特别地，对子列有如下性质： liman limank limank liman
n k k n
2019年1月8日2时34分
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19
二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
2019年1月8日2时34分
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20
二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
类似地，对下极限有lim （an +bn ) liman +limbn ( p176 # 2(2)
n n n
若{an }{bn }之一收敛，如{bn }收敛，则 liman + lim bn lim （an +bn） lim （an +bn） liman + lim bn
2019年1月8日2时34分
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12
二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设limxn = A ， limxn = A
n n
) 同理，小于A 的项也至多只有有限多项，从而(A , A )之外含数列至多有限项，由数列极限的定义，得证。
2019年1月8日2时34分
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7
一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义 P175#1
2019年1月8日2时34分
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8
一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义求数列上下极限的一般方法：
找出数列所有可能的收敛子列的极限，再比较它们的大小
2019年1月8日2时34分
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13
二上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
2019年1月8日2时34分
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14
二上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
2019年1月8日2时34分
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一上极限与下极限的定义 1 数列的聚点
2019年1月8日2时34分
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2
一上极限与下极限的定义 2 数列的聚点与点集的聚点的区别
2019年1月8日2时34分
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3
一上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
2019年1月8日2时34分
n n n n n n
2019年1月8日2时34分
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21
二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
例（ 3 p175# 2)
2019年1月8日2时34分
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22
ຫໍສະໝຸດ Baidu
二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
例（ 3 p175# 2)
2019年1月8日2时34分
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23
三上极限与下极限的其它定义形式
2019年1月8日2时34分
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三上极限与下极限的其它定义形式
2019年1月8日2时34分
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三上极限与下极限的其它定义形式
2019年1月8日2时34分
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9
二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
2019年1月8日2时34分
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设limxn = A ， limxn = A
n n
) lim xn A, 则xn的任意子列都收敛于A,
n
而A ，为收敛子列的极限，所以 A A= A
2019年1月8日2时34分
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
) A A, 则{xn }只有一个聚点，由A为上极限，知对任意 >0,大于A 的项至多只有有限项，（否则，在[ A , M ]( M 为xn的一个上界）中又有一个聚点）.
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二上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
2019年1月8日2时34分
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
2019年1月8日2时34分
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质