2007年湖南高考理科数学试卷及详解

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2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数2

2i 1+i ⎛⎫

⎪⎝⎭

等于( )

A .4i

B .4i -

C .2i

D .2i -

2.不等式

2

01

x x -+≤的解集是( ) A .(1)(12]-∞--,,

B .[12]-,

C .(1)

[2)-∞-+∞,, D .(12]-,

3.设M N ,是两个集合,则“M N =∅”是“M N ≠∅”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分又不必要条件

4.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( )

A .⊥a b

B .∥a b

C .||||=a b

D .||||≠a b

5.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ,,已知( 1.96)0.025Φ-=,则(|| 1.96)P ξ<=( )

A .0.025

B .0.050

C .0.950

D .0.975

6.函数2

441()431

x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩, ≤,,的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是

( )

A .4

B .3

C .2

D .1

7.下列四个命题中,不正确...

的是( ) A .若函数()f x 在0x x =处连续,则0

lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→

B .函数22

()4

x f x x +=

-的不连续点是2x =和2x =- C .若函数()f x ,()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞

-=→,则lim ()lim ()x x f x g x ∞

=→→

D

.1

1

2

x =→ 8.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ,分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( )

A

2

B .1

C

.12

+

D

9.设12F F ,分别是椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左、右焦点,若在其右准线上存

在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围是( )

A

.0⎛ ⎝⎦

B

.0⎛ ⎝⎦

C

.1⎫

⎪⎪⎣⎭ D

.1⎫

⎪⎪⎣⎭

10.设集合{123456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的{}i i i S a b =,,{}j j j S a b =,(i j ≠,{123}i j k ∈、,,,,),都有

min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪

≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭

,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大值

是( )

A .10

B .11

C .12

D .13

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在横线上.

11.圆心为(11)

,且与直线4x y +=相切的圆的方程是 . 12.在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若1a =,b

,c =π

3

C =

,则B = . 13.函数3

()12f x x x =-在区间[33]-,

上的最小值是 . 14.设集合{()||2|0}A x y y x x =-,≥,≥,{()|}B x y y x b =-+,≤,

A B =∅,

(1)b 的取值范围是 ; (2)若()x y A

B ∈,,且2x y +的最大值为9,则b 的值是 .

15.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n 次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .

第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 图1

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数2

π()cos 12f x x ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭,1()1sin 22

g x x =+. (I )设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴,求0()g x 的值. (II )求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间. 17.(本小题满分12分)

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(I )任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

(II )任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布列和期望.

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