2007年湖南高考理科数学试卷及详解
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数2
2i 1+i ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于( )
A .4i
B .4i -
C .2i
D .2i -
2.不等式
2
01
x x -+≤的解集是( ) A .(1)(12]-∞--,,
B .[12]-,
C .(1)
[2)-∞-+∞,, D .(12]-,
3.设M N ,是两个集合,则“M N =∅”是“M N ≠∅”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分又不必要条件
4.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( )
A .⊥a b
B .∥a b
C .||||=a b
D .||||≠a b
5.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ,,已知( 1.96)0.025Φ-=,则(|| 1.96)P ξ<=( )
A .0.025
B .0.050
C .0.950
D .0.975
6.函数2
441()431
x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩, ≤,,的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是
( )
A .4
B .3
C .2
D .1
7.下列四个命题中,不正确...
的是( ) A .若函数()f x 在0x x =处连续,则0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→
B .函数22
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- C .若函数()f x ,()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞
-=→,则lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→
D
.1
1
2
x =→ 8.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ,分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( )
A
.
2
B .1
C
.12
+
D
9.设12F F ,分别是椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点,若在其右准线上存
在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值范围是( )
A
.0⎛ ⎝⎦
B
.0⎛ ⎝⎦
C
.1⎫
⎪⎪⎣⎭ D
.1⎫
⎪⎪⎣⎭
10.设集合{123456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的{}i i i S a b =,,{}j j j S a b =,(i j ≠,{123}i j k ∈、,,,,),都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大值
是( )
A .10
B .11
C .12
D .13
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在横线上.
11.圆心为(11)
,且与直线4x y +=相切的圆的方程是 . 12.在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若1a =,b
,c =π
3
C =
,则B = . 13.函数3
()12f x x x =-在区间[33]-,
上的最小值是 . 14.设集合{()||2|0}A x y y x x =-,≥,≥,{()|}B x y y x b =-+,≤,
A B =∅,
(1)b 的取值范围是 ; (2)若()x y A
B ∈,,且2x y +的最大值为9,则b 的值是 .
15.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图1所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n 次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .
第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 图1
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数2
π()cos 12f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭,1()1sin 22
g x x =+. (I )设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴,求0()g x 的值. (II )求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间. 17.(本小题满分12分)
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(I )任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(II )任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布列和期望.