计量经济学 第五章 异方差讲解

5.5 异方差的修正方法（GLS）
设模型为 Y = X + u 其中 E(u) = 0，Var(u) = E(u u') = 2 。 已知， 与 k 未知。因为 I，违反了假定条件，所以应该对模型进行适当修正。 因为 是一个 T 阶正定矩阵，所以必存在一个非退化 TT 阶矩阵 M 使下式成立。 M M ' = I TT 从上式得 M 'M = -1 用 M 左乘上述回归模型两侧得 MY=MX+Mu 取 Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式变换为 Y* = X* + u* 则 u* 的方差协方差矩阵为 Var(u*) = E(u* u*' ) = E (M u u' M ' ) = M 2 M ' = 2 M M ' = 2 I 对变换后模型进行 OLS 估计，得到的是 的最佳线性无偏估计量。 这种估计方法称作广义最小二乘法。 的广义最小二乘 (GLS) 估计量定义为 ˆ (GLS) = (X*' X*)-1 X*' Y* = (X 'M ' M X ) -1 X ' M 'M Y = (X ' -1X) -1 X ' -1Y
以下讨论都是在模型某一个假定条件违反，而其他 假定条件都成立的情况下进行。分5个步骤。
回顾假定条件。
假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。
定性分析假定条件是否成立。
假定条件是否成立的检验（定量判断）。 假定条件不成立时的补救措施。
第5章 异方差
第5章 异方差
异方差概念 异方差来源与后果 异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验） 异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析
yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut
①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。
②做如下辅助回归式， 2 ˆ u t = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用 u ˆ t 2对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行 OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。 ③White检验的零假设和备择假设是
5.2 异方差来源与后果
异方差后果： 当 Var(ut) = t 2，为异方差时（t 2 是一个随时间或序数变化的量） ， 回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。但是不再具有有效性。
ˆ ) = E[ (X 'X )-1 X 'Y ] = E[ (X 'X )-1 X ' (X + u) ] = + (X 'X)-1 X ' E(u) = E( ˆ ) = E [( ˆ-)( ˆ - )' ] = E [(X 'X )-1 X ' u u' X (X 'X)-1 ] Var(
H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。
5.4 异方差检验
(2) White检验
④在同方差假设条件下，统计量
TR 2 2(5)
其中T表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。 自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数 项）。T R 2属于LM统计量。 ⑤判别规则是 若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）
5.4 异方差检验
（3）Glejser检验（直接拟合法）
ˆ t 是否与解释变量 xt 存在函数关系。若有，则说明存在异方差； 检验 u
若无，则说明不存在异方差。通常应检验的几种形式是
ˆ t = a0 + a1 xt u ˆ t = a0 + a1 xt2 u ˆ t = a0 + a1 xt , …. u
误差项已消除了异方差。
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（2）利用Glejser检验结果消除异方差
假设 Glejser 检验结果是
ˆt = a ˆ0 + a ˆ 1 xt u ˆ0 + a ˆ 1 xt)22。用 ( a ˆ0 + a ˆ 1 xt) 除原模型各项， 说明异方差形式是 Var(ut) = ( a
1.2E+12 1.0E+12 8.0E+11 GDP of Philippin
1.2E+11 RESID 8.0E+10
4.0E+10
6.0E+11
0.0E+00
4.0E+11 2.0E+11 0.0E+00 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-4.0E+10
-8.0E+10 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角 矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。 Var(u) = E(u u' ) = 2I =
0 1 1 σ2 0 1
12 10 8 6 4 2 0 X -2 0 50 100 150 200 Y
28.0 LNGDP OF PHILIPPIN 27.5 27.0 26.5 26.0 25.5 25.0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
6 5 4 3 2 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
4 2 0 -2 -4 -6 -8 400 DJ PY
500
600
700
800
900 1000 1100 1200
5.2 异方差来源与后果
异方差来源： (1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金 融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
7 6 5 4 3 2 1 X 0 0 50 100 150 200 Y Y
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验
②用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。 相对于n2 和n1 分别用SSE2 和SSE1表式。 ③ 构造F统计量。F =
SSE2 /(n 2 k ) SSE2 SSE1 /(n1 k ) SSE1
5.1异方差概念
当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 Var(u) = 2 =
0 11 22 2 σ 0 TT
2 I
当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差 系列存在异方差。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。若 非 主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。 异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回 6 7 归型。 Y
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（1）对模型 yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut 通常假定异方差形式是 Var(ut) = ( xt1)2。
ˆ t = xt1）用 xt1 同除上式两侧得 （因为 Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 u
（第2版教材第115页） （第3版教材第94页）
，（k为模型中被估参数个数）
在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k) ④ 判别规则如下， 若 F F (n2 - k, n1 - k), 接受H0（ut 具有同方差） 若 F > F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型异方差） 注意： ① 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 ② 此法只适用于递增型异方差。
5.5 异方差的修正方法（GLS）
以异方差形式 Var(ut) = 2 xt2 为例，用矩阵形式介绍克服异方差。
x12 0 ... 2 = 2 。定义 M = 2 0 x T
0 1/ x1 ... 1/ xT 0
yt 0 x u = + 1 + 2 t 2 + t xt1 xt1 xt1 xt1 ut ut 1 1 2 2 2 因为 Var( ) = 2 Var(ut) = 2 xt1 = ，随机项 是同方差的。 xt1 xt1 xt1 xt1
OLS 估计后，把回归参数的估计值代入原模型。 对变换式应用 OLS 法估计参数，求 (ut / xt1) 2 最小。其实际意义是 在求 (ut / xt1)2 最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大 的权数。所以此法亦称为加权最小二乘法，是 GLS 估计法的一个特例。
Glejser 检验的特点是： ①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 ②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 ˆ t 拟合成多变量回归形式。 ③当原模型含有多个解释变量值时，可以把 u （4）自回归条件异方差（ARCH）检验（不要求掌握） （5）Spearman 等级相关系数检验（不要求掌握）
= (X ' X)-1 X ' E (u u' ) X (X ' X )-1 = 2 (X 'X )-1 X ' X (X ' X )-1
ˆ 是非有效估计量。 不等于 (X ' X )-1，所以异方差条件下
5.4 异方差检验
5.4.1 定性分析异方差 (1) 宏观经济变量容易出现异方差(自回归条件异方差)。 (2) 利用散点图做初步判断。 (3) 利用残差图做初步判断(以解释变量为横坐标，残差平方 为纵坐标)。
消除了异方差。OLS 估计后，把回归参数的估计值代入原模型。
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（3）通过对数据取对数消除异方差
1.2E+12 GDP OF PHILIPPIN 1.0E+12 8.0E+11 6.0E+11 4.0E+11 2.0E+11 0.0E+00 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
从而使 Var(M u) = E (M u u' M ' ) = M 2 M ' = 2 M M '
0 1/ x1 ... =2 1/ xT 0
x12 0 ... 2 0 x T
0 1/ x1 = 2I ... TT 1/ xT 0
③ 对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值排序。
5.4 异方差检验
(2) White检验
White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不 依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量 进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。
yt 1 = 0 ˆ0 a ˆ1 x t ˆ0 a ˆ1 x t a a
+ 1
xt ut + ˆ0 a ˆ1 x t ˆ0 a ˆ1 x t a a
ut 1 1 2 2 2 ˆ ˆ a a 则 Var( )= Var( u ) = ( + x ) = t 0 1 t ˆ0 a ˆ1 x t a ˆ0 a ˆ1 x t ) 2 ˆ0 a ˆ1 x t ) 2 (a (a
7 6 5 Y
3 Y 2 1
4
0
3 2 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-1 -2 T -3 0 50 1Fra Baidu bibliotek0 150 200
散点图
残差图
5.4 异方差检验
(1) Goldfeld-Quandt 检验 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 ①把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观 测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值 （通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成 容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）