人教版高中数学总复习[知识梳理函数的基本性质(基础)

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函数的基本性质（基础）
【考纲要求】
1.会求一些简单函数的定义域和值域；
2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
3.会运用函数图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】
函数的基本性质
奇偶性单
调
性
周
期
性
【考点梳理】
1．单调性
（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x，当x<x时，若都有f(x)<f(x)，那么就说函数在区间D上单调递增，若都有f(x)>f(x)，12121212
那么就说函数在区间D上单调递减。

（2）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格
的单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像
定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设x,x∈D，且x<x；②作差f(x)-f(x)；③变
121212
形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断f(x)-f(x)的正负符号；⑤根据定义下结论。

12
复合函数分析法
设y=f(u)，u=g(x)x∈[a,b]，u∈[m,n]都是单调函数，则y=f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减
性相反，复合函数为减函数。

如下表：
u=g(x)
增
增y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减减精品文档用心整理
增
减
减
增
导数证明法
设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f'(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f'(x)>0(f'(x)<0)，则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数（减函数），则f'(x)≥0(f'(x)≤0)。

图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

2、奇偶性
(1)定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.
理解：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断.
(Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x)⇔f(-x)
f(x)=-1(f(x)≠0)
②f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x)⇔f(-x)
f(x)=1(f(x)≠0)
(2)奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;(Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.【典型例题】
类型一、求（判断）函数的单调区间
a
例1.证明函数f(x)=x+(a>0)在区间(a,+∞)是增函数。

x
解：设a<x<x，
12
a a x2x+ax-x2x-ax f(x)-f(x)=x+-x-=21112 2121
21122
x x x x
1 1
(2)定义域为 - ∞, ⎪ ⋃ ,+∞ ⎪
，设u = 2x - 1, y =⎛ 与(0，+∞)为减函数，则 y = 1
在 - ∞, ⎪, ,+∞ ⎪ 上为减函数；
1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ , x ≥
2 ⎩
= x 1 x 2 ( x 2 - x 1 ) - a( x 2 - x 1 ) x x
1 2
= ( x - x )( x x - a) 2 1 1 2
x x 1 2
a < x < x
∴ x - x > 0
1 2 2 1
x x > a ∴ f ( x ) - f ( x ) > 0 1 2 2 1
∴ 函数 f ( x ) = x + a (a > 0) 在区间 ( a , +∞) 是增函数。

x
举一反三：
【变式】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；
(2) y = ； (3) y = 2 x - 1 x 2
.
⎧x + 1(x ≥ -1)
解：(1) y = ⎨
⎩ - x - 1(x < -1)
画出函数图象，
∴函数的减区间为 (- ∞,-1] ，函数的增区间为(-1，+∞)；
1 ⎫ ⎛ 1 ⎫
⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 1 ，其中 u=2x-1 为增函数， y = 在(-∞，0) u u
⎛ ⎫ 2 x - 1 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， y =
1
x 2
单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).
类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
3
例 2. 已知函数 f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较 f(a 2-a+1)与 f ( ) 的大小.
4 解： 1 3 3
a 2 -a+1=(a- )2 + ≥ >0
2 4 4
3
又 f(x)在(0，+∞)上是减函数，则 f (a 2 - a + 1) ≤ f ( ) .
4
例 3. 已知二次函数 f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间 (
的取值范围.
1 2
,1) 上是增函数，求：(1)实数 a 的取值范围；(2)f(2)
解：(1)∵对称轴 x = a -1 2
是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知
只需 a -1 1
≤ ∴ a ≤ 2 ；
2 2
(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 ∴ f (2) ∈ [ 7,+∞ ) .
举一反三：
⎧ 2
【变式】已知函数 f ( x ) = ⎨ x ，若关于 x 的方程 f ( x) = k ⎪( x - 1)3, x < 2
有两个不同的实根，则实数 k 的
1 + x
x -1
(6) f ( x ) = ⎨
(7) f ( x ) = [ g ( x ) - g (- x )]( x ∈ R)
⎪⎩ x 2 + x( x < 0)
(5) ⎨
∴⎨
∴ x ∈ [-1,0) ⋃ (0,1]
⎪ + f (-x) = {g (-x) - g [-(-x)]} = 即 y=-x -x 又 f(0)=0，∴ f(x)= ⎨
取值范围是________.
解： f ( x ) = 2 x
( x ≥ 2) 单调递减且值域(0,1]， f ( x ) = ( x - 1)3( x < 2) 单调递增且值域为 (-∞,1) ，由图
象知，若 f ( x ) = k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（0,1）.
类型三、判断函数的奇偶性
例 4. 判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x ) = ( x + 1)
1- x
(2) f ( x ) =
(3)f(x)=x 2-4|x|+3
(4)f(x)=|x+3|-|x-3|
(5) f ( x ) =
1- x 2
| x + 2 | -2
⎧- x 2 + x( x ≥ 0) 1 2
解析：(1)∵f(x)的定义域为 ( -1,1 ] ，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；
(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域 [1，
∞ ) 不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)对任意 x ∈R ，都有-x ∈R ，且 f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x 2-4|x|+3 为偶函数 ；
(4)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
⎧1-x 2 ≥ 0
⎧-1 ≤ x ≤ 1 ⎩x+2 ≠ ±2
⎩x ≠ 0且x ≠ -4
1- x 2 1- x 2
∴ f ( x ) = =
( x + 2) - 2 x
1- (-x)2 1- x 2
∴ f (-x) =
= - = - f ( x ) ，∴f(x)为奇函数；
-x x (6)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x
∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(7)
1
1
[ g (- x ) - g ( x )] = - f ( x ) ，∴f(x)为奇函数.
2 2
举一反三：
【变式】已知 f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶
函数.
证明：设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例 5. f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x<0 时，f(x)=x 2-x ，求当 x ≥0 时，f(x)的解析式，并画出函 数图象.
解析：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x>0 时，-y=(-x)2-(-x)
2 ⎧⎪-x 2 -x x ≥ 0 ⎪⎩x 2 -x x<0
，如图
∴⎨-1<4a-5<1解之得1≤a<⎩
0<2a-1<2，即a-1<1
0+
举一反三：
【变式】定义在[－1，1]上的函数y＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2－a－1)＋f(4a－5)＞0，求实数a的取值范围.
解析：
由题得f(a2-a-1)>-f(4a-5)
函数f(x)是奇函数
∴f(a2-a-1)>f(-4a+5)
⎧-1<a2-a-1<1⎪
⎪a2-a-1<-4a+5-3+33
2
∴a的取值范围为1≤a<-3+33。

2
例6.（2016天津）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足
f(2a-1)>f(-2)，则a的取值范围是______.
13
答案：(,)
22
解析：因为f(x)在且在区间（-∞，）上单调递增，所以f(x)在（0，∞）上单调递减，且f(-2)=f(2).
又因为2a-1>0，f(2a-1)>f(-2)，即f(2a-1)>f(2).而f(x)在（0，+∞）上单调递减，所以
13
，解得<a<
222
【总结升华】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确
把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．。