人教版高中数学总复习[知识梳理函数的基本性质(基础)

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函数的基本性质（基础）

【考纲要求】

1.会求一些简单函数的定义域和值域；

2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

3.会运用函数图象理解和研究函数的性质．

【知识网络】

函数的基本性质

奇偶性单

调

性

周

期

性

【考点梳理】

1．单调性

（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x，当xf(x)，12121212

那么就说函数在区间D上单调递减。

（2）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格

的单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像

定义法

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设x,x∈D，且x

121212

形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断f(x)-f(x)的正负符号；⑤根据定义下结论。

12

复合函数分析法

设y=f(u)，u=g(x)x∈[a,b]，u∈[m,n]都是单调函数，则y=f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减

性相反，复合函数为减函数。如下表：

u=g(x)

增

增y=f(u)

增

减

y=f[g(x)]

增

减

减减精品文档用心整理

增

减

减

增

导数证明法

设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f'(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f'(x)>0(f'(x)<0)，则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数（减函数），则f'(x)≥0(f'(x)≤0)。

图像法

一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。

2、奇偶性

(1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.

理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:

①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断.

(Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x)⇔f(-x)

f(x)=-1(f(x)≠0)

②f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x)⇔f(-x)

f(x)=1(f(x)≠0)

(2)奇(偶)函数图像的特征

(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;(Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.【典型例题】

类型一、求（判断）函数的单调区间

a

例1.证明函数f(x)=x+(a>0)在区间(a,+∞)是增函数。

x

解：设a

12

a a x2x+ax-x2x-ax f(x)-f(x)=x+-x-=21112 2121

21122

x x x x

1 1

(2)定义域为 - ∞, ⎪ ⋃ ,+∞ ⎪

，设u = 2x - 1, y =⎛ 与(0，+∞)为减函数，则 y = 1

在 - ∞, ⎪, ,+∞ ⎪ 上为减函数；

1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ , x ≥

2 ⎩

= x 1 x 2 ( x 2 - x 1 ) - a( x 2 - x 1 ) x x

1 2

= ( x - x )( x x - a) 2 1 1 2

x x 1 2

a < x < x

∴ x - x > 0

1 2 2 1

x x > a ∴ f ( x ) - f ( x ) > 0 1 2 2 1

∴ 函数 f ( x ) = x + a (a > 0) 在区间 ( a , +∞) 是增函数。

x

举一反三：

【变式】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；

(2) y = ； (3) y = 2 x - 1 x 2

.

⎧x + 1(x ≥ -1)

解：(1) y = ⎨

⎩ - x - 1(x < -1)

画出函数图象，

∴函数的减区间为 (- ∞,-1] ，函数的增区间为(-1，+∞)；

1 ⎫ ⎛ 1 ⎫

⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 1 ，其中 u=2x-1 为增函数， y = 在(-∞，0) u u

⎛ ⎫ 2 x - 1 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， y =

1

x 2

单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).

类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

3

例 2. 已知函数 f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较 f(a 2-a+1)与 f ( ) 的大小.

4 解： 1 3 3

a 2 -a+1=(a- )2 + ≥ >0

2 4 4

3

又 f(x)在(0，+∞)上是减函数，则 f (a 2 - a + 1) ≤ f ( ) .

4

例 3. 已知二次函数 f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间 (

的取值范围.

1 2

,1) 上是增函数，求：(1)实数 a 的取值范围；(2)f(2)

解：(1)∵对称轴 x = a -1 2

是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知

只需 a -1 1

≤ ∴ a ≤ 2 ；

2 2

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 ∴ f (2) ∈ [ 7,+∞ ) .

举一反三：

⎧ 2

【变式】已知函数 f ( x ) = ⎨ x ，若关于 x 的方程 f ( x) = k ⎪( x - 1)3, x < 2

有两个不同的实根，则实数 k 的