全国卷河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题 【含答案】

（全国卷）河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．设集合A ＝，B ＝，则A B ＝

{}2430x x x -+≤{}15x Z x ∈<< A ．{2} B ．{3} C ．{2，3} D ．{1，2，3}

2．若复数，则＝1i z =-1z z

-

A ．1

B

C ．．4

3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为

A ．19

B ．38

C ．55

D ．65

4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为

A ．505

B ．673

C ．674

D ．10105．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为

a b a b = 2a b a b +=- a b A ． B ． C ． D ．23π2π3π6

π6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为 A ． B ． C ． D ．12011()20-12111()20-12011(21-12111()21

-7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男G e bx a =性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69)

A ．155cm

B ．150cm

C ．145cm

D ．135cm

8．已知正方体ABCD—

A 1

B 1

C 1

D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM⊥A 1N ．则△ABN面积的最小值为

A ．1 D ．5二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中

，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．已知，则＝3cos(55πα+=

3sin(2)5

πα- A ． B ． C ． D ．2425-1225-1225242510．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(，)，B(1x 1y 2

x ，)两点，则下列说法定正确的是

2y A ．的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切

AB C ．为定值 D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF＝∠BMF

12x x 11．已知是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则

()f x A ． B ．在区间(﹣2，0)上单调递增

(4)()f x f x +=()f x C ．有最大值 D ．是满足条件的一个函数()f x ()sin

2x f x π=12．若存在实数t ，对任意的x (0，s ]，不等式恒成立．则s 的

∈2(2)(1)0x x t t x ----≤值可以为

A C D 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知F 1，F 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且2

2

14y x -=，则△PF 1F 2的面积为 ．

12PF 2PF =

14．已知实数a ，b ，)，且满足

，则a ，b 的大小关系是 ∈+∞2211ln b a b a ->．

15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的

得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．

16．在三棱锥P—ABC 中，PA⊥AB，PA ＝4，AB ＝3，二面角P—AB—

C 的大小为30°，在侧面△PAB内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面AB

C 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

在①对任意n ＞1，满足，②，③112(1)n n n S S S +-+=+12n n n S S a +-=+1n n S na +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

(1)n n +问题：已知数列的前n 项和为，，

{}n a n S 24a =，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说{}n a {}n a {}n a 明理由．

（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）

18．（本小题满分12分）

振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：制造电子产品的

件数

[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)

工人数

（1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）

（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．

附：若X~N(，)，则P()≈0.68，P()≈0μ2σx μσμσ-<≤+22x μσμσ-<≤+.96．19．（本小题满分12分）

如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB·sin∠ABD＝OD·sin∠ADB，∠ABC＝，AB ＝3BC ＝3．

3π

（1）求sin∠DAC；

（2）若∠ADC＝，求四边形ABCD 的面积．23

π