电子科技大学物理电子学院.
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二篇 数学物理方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立 和求解 重点：数学物理方程求解方法中的分离变量 法和行波法. 特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍， 以便充分了解模型的物理意义，有利于根据 数学物理模型建立数学物理方程．
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
根据牛顿第二定律 F ma u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 gds ( ds )utt
作用于小段 ABC 的纵向合力应该为零：
（9.1.1）
T2 cos 2 T1 cos 1 0
(9.1.2)
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos 1 1
sin 1 1
12
2! 13
3!
1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
1 tan 1 ,
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
即为
utt a uxx g
2
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 a 2 T / 讨论： （1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a uxx
变化量
ux
x dx
ux x ) gdx utt dx
(9.1.5)
dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
ux
x
x dx
u x dx u xx dx x
这样，
ABC
段的运动方程(9.1.5)就成为
(9.1.6)
utt Tuxx g 0
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
(9.1.3) (9.1.4)
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 ，弦中张力不随
T T2 T1 故有
x
而变， 可记为
T (ux
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系 泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
根据分析问题的不同出发点， 把数学物理问题分为正向问题 和逆向问题. 正向问题，即 为已知源求场 逆向问题，即 为已知场求源.
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
第九章 数学建模---数学物理定解问题
Baidu Nhomakorabea
9.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动 具有波动方 程的数理方 程的建立 讨 论 定解条 件
杆的纵振动
传输线方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
9.1.1波动方程的建立
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u ( x, t ) 确定 弦的 运动 方程
称为力密度 ，为
t
时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS ux YS ux x YS x dx u x d x ( Sd x) utt x
（9.1.10）
可得
不同出发点
?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容. 后者是高等数学 物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
数学物理方程的类型和所描述的物理规律
振动与波（振动波，电磁波）传 播满足波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方 程 静电场和引力势满足拉普拉斯方 程或泊松方程
ds (dx)2 (du )2 1 (ux )2 dx dx
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
注意到:
u ux tan sin 故由图9.11得 x
ux x tan 1 sin 1 ,
ux
x dx
tan 2 sin 2
这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为
2
（9.1.8）
称式（9.1.8）为弦的自由振动方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t ) 作用，则式(9.1.8)应该改写为
utt a uxx f ( x, t )
2
(9.1.9)
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方 程． 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的 许多物理现象和普遍规律.
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位 移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可 以取除端点之外的任何位置作为考察点．
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 偏微分方程
标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立 和求解 重点：数学物理方程求解方法中的分离变量 法和行波法. 特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍， 以便充分了解模型的物理意义，有利于根据 数学物理模型建立数学物理方程．
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
根据牛顿第二定律 F ma u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 gds ( ds )utt
作用于小段 ABC 的纵向合力应该为零：
（9.1.1）
T2 cos 2 T1 cos 1 0
(9.1.2)
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos 1 1
sin 1 1
12
2! 13
3!
1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
1 tan 1 ,
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
即为
utt a uxx g
2
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 a 2 T / 讨论： （1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a uxx
变化量
ux
x dx
ux x ) gdx utt dx
(9.1.5)
dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
ux
x
x dx
u x dx u xx dx x
这样，
ABC
段的运动方程(9.1.5)就成为
(9.1.6)
utt Tuxx g 0
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
(9.1.3) (9.1.4)
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 ，弦中张力不随
T T2 T1 故有
x
而变， 可记为
T (ux
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系 泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
根据分析问题的不同出发点， 把数学物理问题分为正向问题 和逆向问题. 正向问题，即 为已知源求场 逆向问题，即 为已知场求源.
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
第九章 数学建模---数学物理定解问题
Baidu Nhomakorabea
9.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动 具有波动方 程的数理方 程的建立 讨 论 定解条 件
杆的纵振动
传输线方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
9.1.1波动方程的建立
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u ( x, t ) 确定 弦的 运动 方程
称为力密度 ，为
t
时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS ux YS ux x YS x dx u x d x ( Sd x) utt x
（9.1.10）
可得
不同出发点
?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容. 后者是高等数学 物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
数学物理方程的类型和所描述的物理规律
振动与波（振动波，电磁波）传 播满足波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方 程 静电场和引力势满足拉普拉斯方 程或泊松方程
ds (dx)2 (du )2 1 (ux )2 dx dx
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
注意到:
u ux tan sin 故由图9.11得 x
ux x tan 1 sin 1 ,
ux
x dx
tan 2 sin 2
这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为
2
（9.1.8）
称式（9.1.8）为弦的自由振动方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t ) 作用，则式(9.1.8)应该改写为
utt a uxx f ( x, t )
2
(9.1.9)
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方 程． 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的 许多物理现象和普遍规律.
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位 移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可 以取除端点之外的任何位置作为考察点．
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
电子科技大学物理电子学院 周秀丽
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 偏微分方程
标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数