高中数学：空间中直线与直线之间的位置关系

F B
3：如图：等腰直角三角 形⊿ABC中,∠A＝ 90o,BC= 2 ,DA⊥AC, DA ⊥AB,若DA＝1,且E为 DA的中点,求异面直线BE 与CD所成的角的余弦值 B
D E
A F C
②平行直线 --------在同一平面内,没有公共点
③异面直线 -------不同在任何一个平面内,没有公共点
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点 ---------相交直线
平行直线
没有公共点---------
②从是否共面的角度
异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线
在同一平面内--------
变式、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形,Ｅ、Ｈ
分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点,Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、 ＣＤ上的点,且 Ｃ ＣＦＢ＝ ＣＣＧＤ＝ ２３。 求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等
AБайду номын сангаас
F
E
D
H
B
G
c
题2、如图,Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点,Ｄ、Ｅ分
别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。 求证：ＤＥ∥ＡＣ,ＤＥ＝ １３ＡＣ
5:三个平面两两相交,所得的三条交线（ ）
Ａ、交于一点
Ｂ、互相平行
Ｃ、有两条平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
6：在长方体ABCD－
A1B1C1D1中与ＡＣ构成 异面直线的棱有———— 条,面对角线有————条
A
D
7：在长方体ABCD－ A1B1C1D1中所有棱能构 成————对异面直线
A
D
BC
BC
A1
l2
平面内两条直线相交成4个角,
其中不大于90o的角为夹角
l1
想 一 想
问题：异面直线有没有夹角？若有,在哪？ ？
如图：
b
a
P
α
图1
定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任 一点作直线a’ ∥a,b’ ∥b,把a’与b’ 所成的锐角（或）直角叫做异面直线与所 成的角（夹角）
问题2：异面直线a与b所成的角
想
的范围是多少？
一 想
0o＜ ≤90o 当 为90o时;叫a与b垂直 ？
记为a⊥ b
问题3：异面直线所成的角如何求？
平移法
b
b
a
α
平移两条
a
α
平移一条
1：如图：已知正方体ABCD－A’B’C’D’ （1）哪些棱所在直线与已知直线BA’是异面直线？ （2）直线BA’和CC’的夹角是多少？ （3）哪些棱所在直线与已知直线AA’是垂直？
回
1：异面直线的定义：
顾
(1)不同在任何一个平面内,没有公共点
一 下
(2)既不平行又不相交
2、空间中两条直线的位置关系
①相交直线 ---------有且仅有一个公共点
②平行直线 --------在同一平面内,没有公共点
③异面直线-------不同在任何一个平面内,没有公共点
3、平面中两条直线的夹角
（4）直线BA’与直线AD’夹角是多少？
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
1：两条异面直线所成的角是60o,那么过
空间任意一点与ab都成60o角的直线
有————条
A：两条 B：三条 C：四条
D：无数条
P C
2：已知P为⊿ABC所在平面 E 外一点,ＰＣ⊥ＡＢ,ＰＣ＝ ＡＢ＝２,Ｅ,Ｆ分别为PA和 A BC的中点,求EF与PC所成的 角
D1
B1 c1
A1
D1
B1 c1
回
小结 空间直线
顾 一
①从有无公共点的角度：
下
有且仅有一个公共点---------相交直线
平行直线 没有公共点---------
②从是否共面的角度 异面直线
不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线
在同一平面内-------平行直线
公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行
的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线 4、下列命题中,其中正确的序号是————
（１）若两条直线没有公共点,则这两条直线 互相平行,（２）若两条直线都和第三条直线 相交,那么这两条直线互相平行,（３）若两条 直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行,（４）若两条直线都和第三条直线异 面,那么这两条直线互相平行
平行直线
异面直线的画法
b
a
α
图1
β
b
α
a
图2
b
a
α
图3
想
一
这样表示a、b异面正确吗？
想 ？
β
b
α
a
如图:AA1与CC1在同一平面吗?
直观上 理论上
D1
A1
在图中找出另外的一些 异面直线
D
想 一 想 ？
C1 B1
C
A
B
BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1与DD1平行吗?
2、平行直线
公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行.
(空间平行线的传递性)
符
a
号
语 设a,b,c为直线
b
言
c
a∥b
a∥c
c∥b
a,b,c三条直线两两平行,可以记为a∥b∥c
题１、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形,Ｅ、 F 分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点,Ｇ、H分别是 边ＣＢ、ＣＤ上的中点,
求证：四边形ＥＦＧＨ是平行四边形.
A
F
E
D
H
B
G
c
问题：若题目加一个条件“BD=AC” 则四边形ＥＦＧＨ是什么图形？
Ｐ
Ｄ
Ｅ
Ａ Ｍ
Ｃ Ｎ
Ｂ
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交, 那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行
Ｂ、相交
Ｃ、异面
Ｄ、可能平行、可能相交、
可能异面
2：（1）垂直同一条直线的两条直线互相垂
直吗？（2）若两条平行直线中的一条与第三
条直线垂直,那么另一条也与它垂直吗？
3、两条异面直线指的是（ ） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外
空间中直线与直线之间的位置关系
问题：如图在长方体ABCD－
A
A1B1C1D1中 直线 ＡＣ与直线
Ａ１Ｃ１,直线ＡＣ与直线ＢＤ,
直线ＡＣ与直线Ｂ１Ｄ１的位 置关系怎样？
A1
ＡＣ与Ｂ１Ｄ１既不相交也不平行
1、空间两条直线的位置关系
D
B
C
D1
B1 c1
异面
①相交直线 ---------有且仅有一个公共点