空间中两直线的位置关系PPT教学课件

高
3
C’
2
2B’
B’
2
2 B’2B’
B’
2
2B’
2B’2 B’B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
定理证明：
V三棱锥＝
1 3
Sh
已知：三棱锥1（1 A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证: V三棱锥＝ 3Sh 证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
空间中两直线的位置关系
1:课本P14------P15页的第1.2,3,6做在书上. 2:课本P14------P15页的第4,5做在作业本上.
棱锥、圆锥的体积
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h 3、柱体体积公式的推导：
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个
放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同
面内，用平行于平面α的任一平面去截截它面们分，别与底面相似，
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，
空间中两直线的平行关系
2、等角定理
定理： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行并且方向相同，那么这两个角相等。
空间中两直线的平行关系
推论: 如果两条相交直线和另两条相交直线公别 对应平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
空间中两直线的位置关系
填空： 1、空间两条不重合的直线的位置关系有__平__行____、 ________、 __相__交____三种。异面 2、没有公共点的两条直线可能是___平__行___直线，也有可能是
（A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行
2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数
是（ ）对。
（A）6
（B）3
（C）8
（D）12
3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ）
平面。
（A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
小结：
一、空间中两直线的位置关系
二、空间直线的平行关系及相关定理
那么 ∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
BБайду номын сангаас
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积1 是
V圆锥＝ 3 πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
1
定理二：如果三棱锥的底面3 积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
练习1： 将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，
这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请
列出三棱锥体积表达式） D’
C’
A’
B’
问问题题12、、你如能果有这几是种一 个解平法行？六面 体呢？或者
C
D
四棱柱呢？
A
B
练习2: 从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
C1 B1
2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
D
∴ ABC1D1为平行四边形
A
故AD1 ∥ BC1
C B
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
空间中两直线的平行关系
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边 形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连 结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。
分证析明：：EF连GH结是B一D 个平行四边形
∵ EH是△ABD的中位线
∴EEHH∥∥FBGD且且EEHH＝=FG12 同理，FG ∥BD且FG
BD
1
=2
BD
∴EHEH∥∥BDF且G且EHEH＝=FGBD
A
H E
D G
2 1 2 1
∴FGEF∥GBHD是且一FG个＝平行四BD边形
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 —连—结解BD立，体E几，何F时，最G，主H要分、别最是常各用边的中一点种方法。
空间中两直线的位置关系
1、平行关系的传递性 公理4： 平行于同一直线的两条直线互相平行。
若a∥b，b∥c， 则 a∥c。
c
a
a
α
bc
空间中两直线的平行关系
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1
与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D1
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， A1 ∴ AB ∥ C1D1
定理三：如果一个锥体（1棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那3么它的体积是 V锥体＝ Sh
推论：如果圆锥的底面1 半径是r，高是h， 那么它的体积3是
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A’
3
C’棱锥1和另两个三棱锥2、3。 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
2 B’ 高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
１
△BCB1、△C1B1C 的面积相等1，高也相等
A
C（顶点都是A1）1 ∵V1＝V2＝V3＝ 3 V三棱锥。 ∵V三棱柱＝ 1 3 Sh。
B
∴V三棱锥＝ 3 Sh。
2、三棱锥体积的证明分两步进行： ⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） ⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成
一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
C
C
△ABA’、△B’A’B
B
的面积相等。 B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
3
C’
2 B’
三棱锥2、3的底 B’
1
△BCB’、△C’B’C
A
C C 的面积相等。
C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’ A’ A’ A’
A’
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’
3
把这个三棱柱
B’
2
１
A
C
分割成三个三 棱就锥是。三棱锥1 和另两个三棱
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
空间中两直线的位置关系
2、异面
不在同一平面内 的两条直线叫做异面直线。
异面直线的直观表示：
m
P
αl
m
α
思考：
m
β
m
l
α
l
空间中两直线的位置关系 由此可见,空间中的两条直线的位置关系有三种:
1、相交
m P
l
2、平行
m l
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
3、异面直线
m
l
P
没有公共点 不同在任一平面
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’
就是三棱锥1
和另两个三棱 C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
几分之几？
A B
E C
问问题题12、、你如能果有改几为种求 棱长解为法a的？正四面 体A-BCD的体积。
解一二三你、能补利将有形用四几，体面种将积体解三公分法棱式割？为 D 锥三V补棱四面成锥体一C＝-个A13BS正E△和方BC三体D·h棱。
锥D-ABE
小结：
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。
5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直
线可以确定一个平面。
（ ）
思考： 1、两条直线不相交则平行。
2、无公共点的两条直线一定平行。
（） （ ）
空间中两直线的位置关系
1:平行与相交
在同一个平面中，两条不重合直线之间有相交与平行 这两种关系。
m
m
P l
l
图1
l 图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。
体 积 相 等
∵V长方体＝abc ∴V柱体＝Sh
V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们
S1 h1
h S
的底面积＋为S，高都是h
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？ A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ
求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
1 13
问题2、解答过程中的 A
3×
2
BC
1
·AEcosθ·AD其中
2 AEcosθ·AD可表示意思？
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE
分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。 结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )
4、过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。( )
5、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定
与另一条直线垂直。
( )
空间中两直线的位置关系
思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
B θ
E
D
＝13
1
×2
BC
·ED
·AD
＝
1 3
×1
2
BC
·AEcosθ·AD
C
＝ 1 S△AB C ·ADcosθ
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
空间中两直线的位置关系
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错：
1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直
线上的所有点都在这个平面内。
（）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所
在平面只有一个公共点。
（ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四
个点必在同一个平面内。
（）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。 （ ）
__异___面___直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系
有__相__交__、__异__面____。 4 、过已知直线上一点可以作_无__数___条直线与已知直线垂直。 5 、过已知直线外一点可以作__无__数__条直线与已知直线垂直。
空间中两直线的位置关系
判断对错： 1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )