空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1．异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。

⑵特点：既不相交，也不平行。

⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。

②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。

③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．2．空间两条直线的位置关系⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点；⑵平行——在同一平面内，没有公共点；⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案：③④例2、异面直线是指____．①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．知识点二平行直线1．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1.a∥bb∥ca∥cCDBA1CB1DCD变式1、如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH 的形状还是平行四边形吗？例4、如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1、E分别为A1D1、AD的中点，求证：∠C1E1B1=∠CEB．知识点三异面直线1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。

画平面衬托时，通常画成下图中的情形。

2、异面直线的判定⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：①定义法：不同在任一平面内的两条直线．②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线．③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，ABCDEF GHABCDEF GH 折EEACBDCD3、异面直线所成的角a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′//b ，直线a ′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．如下图所示．⑴异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°；(2)为了求异面直线a ，b 所成的角，可以在空间中任取一点O ，为了简便，点O 常常取这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点或异面直线连线中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点. 将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小，若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，便易求此角的大小.(3)我们规定：两条平行直线所成的角为0°角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0°，90°]；特别地，若两异面直线所成角为90°，则称两异面直线互相垂直；(4)求异面直线所成角的一般步骤是：①构造 恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角．②证明 证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角，③计算 通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求①中所构造的角的大小，④结论 假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°，则180°－α即为所求。

例5、已知平面l =βα ，直线,,P l a a =⊂ α直线l b b //,β⊂，求证：直线a 和b 是异面直线．例6、如图所示，正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN ∥A1C1.又∵A1A D1D ，而D1D C1C ，∴A1A C1C ，A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，∴假例7、如图2．1．2—18，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD和BC是异面直线．证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面相矛盾．∴AD与BC是异面直线．证法二：（直接用判定定理）：∵a∩c＝P，∴a和c确定一个平面，设为β，巳知C∉平面β，B∈平面β，AD⊂平面β，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．变式1、如图2．1．2—19，a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，E、F分别为线段AC 和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论．答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明．例8、正方体AC l中，E，F分别是A1B1，B1Cl的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小。

变式1、空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC＝AD＝2EF，求直线EF与直线AD所成的角。

例9、直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°解：C变式1、已知空间四边形ABCD各边长相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：∴异面直线AB、CD成90°角.巩固练习：一、判断题1. 若三条直线两两平行，则这三条直线必共面．( )2. 互不平行的两条直线是异面直线．( )二、单选题1. 关于异面直线，有下列3个命题：①分别在两个不同平面内的两直线是异面直线②平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线③都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．32. 直线a、b是两条异面直线，A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点，则直线AC与BD的关系是A．可能相交B．可能平行C．异面D．相交或异面3. 两条异面直线指的是A．在空间不相交的两条直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线4. 下列命题中，真命题的是A．两两相交的三条直线共面B．两两相交且不共点的四条直线共面C．不共面的四点中可以有三点共线D．边长相等的四边形一定是菱形5. 空间两条互相平行的直线，指的是A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平行平面内的两条直线C．位于同一平面内且没有公共点的两条直线D．分别与第三条直线成等角的两条直线6. 平面M、N相交于EF，分别在平面M、N内作∠EAC=∠FBD，则AC和BD的关系是A．异面B．平行C．相交D．不确定7. 直线a和b是异面直线，直线c∥a，那么b与cA．异面B．不异面C．相交D．异面或相交8. 如果一条直线和两条异面直线都相交，那么它们可确定A．4个平面B．3个平面C．2个平面D．1个平面9. 若m和n是异面直线，n和l也是异面直线，则A．当m∩l=φ时，m与l异面B．m∩l=φC．当m与l共面时，m∥l D．m与l相交、异面、平行都可能10．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面11．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )A．1条B．2条C．3条D．4条三、填空题1. “直线a、b异面”的否定说法是“__________”．2. 不平行的两条直线的位置关系是_________．3. “直线a、b相交”的否定说法是“__________________________”．4. 过已知直线外一点，可以作_____条直线与已知直线垂直．5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_____________________．6. 已知直线a和b是异面直线，直线c和a平行而不和b相交，则c和b的位置关系是_________．7. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系是________________．8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不______，又不______”．9. 空间有三条直线a、b、c，如果b⊥a，c⊥a，那么直线b、c的位置关系是_________________．10. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是______________．11. 已知直线a、b、c满足a∥b，b与c是异面直线，则a与c的位置关系是____________．12. 正方体ABCD─A1B1C1D1中，与侧面对角线AD1成异面直线的棱共有_____条，它们分别是___________________________．13. 正方体ABCD─A1B1C1D1中，与棱AB成异面直线的棱共有_____条，它们分别是____________________．14. 正方体的12条棱中，互为异面直线的有________对.答案一、判断题1. ×2. ×二、单选题1. A2. C3. D4. B5. C6. D7. D8. C9. D 10.B 11.D三、填空题1. a、b共面2. 相交或异面3. a、b不相交或a、b无公共点4. 无数5. 平行或相交或异面6. 异面7. 相交或平行8. 相交，平行9. 平行或相交或异面10. 相交或平行或异面11. 相交或异面12. 6；BC，B1C1，BB1，CC1，DC，A1B1 13. 4；A1D1，B1C1，CC1，DD114. 24空间两条直线的位置关系1. 已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是（ ）A ．αα////,//a b b a ⇒B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥C ．b a b a ////,//⇒ααD ．b a b a //,⇒⊥⊥αα【答案】C2. 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，在平面α内C ．有两条，不一定都在平面α内D ．有无数条，不一定都在平面α内 【答案】B3. 下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C4. 下列四个条件中,能确定一个平面的是（ ）A. 一条直线和一个点B.空间两条直线C. 空间任意三点D.两条平行直线【答案】D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线() A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直【答案】D6. 平行于同一平面的两条直线的位置关系（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面【答案】D7. 下列命题中，错误的是( )A ．三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面．B ．平面 α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有惟一的一条直线b ，使b ∥a .C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d .D ．一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行．【答案】D8. 直线m 不平行于平面α，且m α⊄，则下列结论成立的是（ ）A ．α内所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交【答案】B9. 正三棱锥P-ABC 的高为2，侧棱与底面所成的角为450，则点A 到侧面PBC 的距离是（） A.5 B. 22 C.2 D.556【答案】D10. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．23B ．1010C ．53D ．52【答案】D11. 已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B12. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题： ①若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥； ②若a α⊥，a β⊂，则αβ⊥；③若m α⊥，n α⊥，则//m n ； ④若m α⊂，n β⊂，//αβ则//m n ．其中真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】B13. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11A C 异面 A B C 1A 1C1D1B DEF【答案】D14. 异面直线a 、b ，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 成角的范围是( )A.B. C.D. 【答案】A15. 在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D16. 已知空间直角坐标系中，O 为原点，A （0，0，3），B （0，4，0），C （5，0，0）则经过O 、A 、B 、C 四点的球的体积为 （ ）A ．π50B ．π32125C ．π321000D ．π425 【答案】B17. 设m,n 是两条不同直线,βα,是两个不同的平面,给出下列四个命题①若n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且④若βαβα//,,则⊥⊥m m 其中正确的命题是( )A.①B.②C.③④D.②④【答案】D18. 已知直线l 和平面βα,，（ ）A ．若l ∥α，βα⊥，则β⊥lB ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βC ．若l ∥α，β⊂l ，则α∥βD ．若l ⊥α，β⊂l ，则βα⊥【答案】D 19. 在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是（ ）A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β【答案】D20. 设,m n是空间两条不同直线，,αβ是空间两个不同平面，当,m nαβ⊂⊂≠≠时,下列命题正确的是A．若m n，则αβB．若m n⊥，则αβ⊥C．若mβ⊥，则m n⊥D．若nα⊥，则mβ⊥【答案】C21. 已知直线、,平面，则下列命题中：①．若，,则②．若，,则③．若，,则④．若，, ,则，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B22. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有( )．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A23. 如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C24. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:l mβα、βα//α⊂lβ//lβα⊥α⊥lβ//lα//lα⊂m ml//βα⊥l=⋂βαlm⊥β⊥m①AA 1⊥MN ②异面直线AB 1,BC 1所成的角为60°③四面体B 1-D 1CA 的体积为13④A 1C ⊥AB 1,A 1C ⊥BC 1,其中正确的结论的个数为 （ ）A ．4 B]3 C ．2 D ．1【答案】A25. 已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定【答案】B26. 已知两个不重合的平面,αβ，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m 是α内的两条直线，且//,//l m ββ；③,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l l m m αβαβ；其中可以判定//αβ的是 （ ）A ．①B ．②C ．①③D ．③【答案】D27. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和AC的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD .【答案】∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC .∴AC ⊥平面BGD .又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD .又EF ？平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .28. 已知三条不重合的直线,,m n l ，两个不重合的平面,αβ，有下列命题：①若//,//l m αβ，且//αβ，则//l m ②若,l m αβ⊥⊥，且//l m ，则//αβ③若,m n αα⊆⊆，//,//m n ββ，则//αβ ④若,,,m n n m αβαββ⊥=⊆⊥，则n α⊥其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C29. 若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β的位置关 系是（ ）A.MN ∥βB.MN 与β相交或MN ⊂≠βC. MN ∥β或MN ⊂≠βD. MN ∥β或MN 与β相交或MN ⊂≠β【答案】C30. 空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或3【答案】C31. 已知两个不同的平面α，和两条不重合的直线m,n ，则下列四种说法正确的为( )A 、若m ∥n,n α，则m ∥αB 、若m ⊥n,m ⊥α，则n ∥αC 、若m α，n ，α∥，则m,n 为异面直线D 、若α⊥，m ⊥α，n ⊥,则m ⊥n【答案】D32. 直径为32的球的内接正方体的棱长为( )A ．2B ．2C ． 3D ． 5【答案】B33. 在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使（ ）A ．B 间的距离为则 M 到面 ABC 的距离为（ ）A ．12 BC ．1D ．32【答案】A【答案】由已知得AB=2,AM=MB=MC=1,BC=由△AMC 为等边三角形,取CM 中点,则AD ⊥CM,AD 交BC 于E,β⊂⊂⊂ββββ则AD=. 折起后,由BC 2=AC 2+AB 2,知∠BAC=90°,又cos ∠ECA=∴AE 2=CA 2+CE 2-2CA •CEcos ∠ECA=23, 于是AC 2=AE 2+CE 2.∴∠AEC=90°.∵AD 2=AE 2+ED 2,∴AE ⊥平面BCM,即AE 是三棱锥A-BCM 的高,AE=3 设点M 到面ABC 的距离为h,∵S △B C M=4,∴由V A-B C M =V M -A BC , 可得13⨯13⨯12××1×h,∴h=12.故选A ． 34. 设m,n 是异面直线，则（1）一定存在平面α，使m α，且n ∥α；（2）一定存在平面α，使m α，且n ⊥α；（3）一定存在平面γ，使得m,n 到平面γ距离相等；（4）一定存在无数对平面α和β，使m α，n β且α⊥β。