线性代数正交矩阵

sT 1 sT 2 s s T 1 T 2 1 1 2 2
sT 来自百度文库 1 T s 1 s 1 s 1
iT k 即 i i T k k 1 k k 则 1 , 2 , , s 是与 1 , 2 ,
一、 R n 的标准正交基 n 定义1 R 中的 n 个向量 1 ,2 , ,n 满足 T (1) 两两正交 i j 0 (i j ) (2) 都是单位向量, 即 i 1, i 1,2, , n 则称 1 ,2 ,
,n 为 R n 的一组标准正交基.
【注】 1°标准正交基不唯一； 例如 1 (cos ,sin )T , 2 ( sin ,cos )T n , , , 2°特点: 设 1 2 n 是 R 的一组标准正交基, 设 (1 2 n ), 则
1 2 1 Q 2 0 1 6 1 6 2 6 1 3 1 , 3 1 3
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
T = QTT Q ,
又因为 1 , 2 , 所以 故
, n 与 1 ,2 ,
,n 均为标准正交基,
T = E, T = E, QT Q E .
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
i 1
i 2, 3,
,s
, s等价且两两正交
的向量组.
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0 是 R 3 的一组基， 例4 已知1 0 , 1 , 2 3 1 1 0 1
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;
(4) Q为正交矩阵, 则 | Q | 1.
定理 设 Qn (1 2
1T T 2 n ) , 则 Qn 为正交矩阵 T n
列向量组 1 ,2 , ,n 为R n 的一组标准正交基. n R 为 的一组标准正交基. 行向量组 1 , 2 , , n
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法 设 1 , 2 , , s 是 Rn 中一组给定的基,
T 2 1 2 2 T 1 , 令 1 1 , 1 1 T T 3 1 3 2 …… , 3 3 T 1 T 2 , 1 1 2 2
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
【注】设 , 为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下 ||A|| = || || , 且T = (A)T (A) . 向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.
E
二、两组标准正交基间的过渡矩阵 设 1 , 2 , , n 与 1 ,2 , ,n 是 R n 的两组标准 正交基, 令 (1 2 n ), (1 2 n ) , 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
1
1 2 1
1
1 2 1
2 ,
2
1 3
1 6
1
1 6
2
2 6
3 ,
3
3
1
3
2
3
是一组标准正交基 . 证明：设 1 2 3 , 1 2 3 , Q,
T 1 T 2 T 1 2 T n
1T1 1T2 T T 2 1 2 2 n T T n 2 n 1
T n n
1Tn T 2 n