线性代数3.矩阵及其运算

例如
A
6
8
0
是对称矩阵.
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定义 设B为n阶方阵，如果满足 aij a ji i, j 1,2,, n
那末 B 称为反对称(矩)阵.
0 2 1
例如
B
2
0
3
是反对称矩阵.
1 3 0
说明 反对称阵的主对角线上的元素（简称主元）都为0
对于n阶方阵A ，令
f ( A) am Am am1 Am1 a1 A a0En (am 0)
称上式为n阶方阵A的m次多项式. 25
例设
f (x)
x2
5
x
3
，对于A
2 3
，11
求 f ( A).
解
f
(
A)
2 3
1 2
1
3
1
1
5
2 3
1
1
3
1 0
0
1
1 9
3
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
行数等于列数 共有n2个元素
det(aij )或 aij n
a11 a12
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
设 A、B是同型矩阵， , 是数 ()A ( A) ( )A A A (A B) A B
备注 矩阵相加不数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
14
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
AT A
转置矩阵的运算性质
(1) ( AT )T A;
(3) ( A)T AT ;
(2) ( A B)T AT BT ; (4) ( AB)T BT AT .
27
1 7 1
2
例：已知
A
1
解法1
0 3
1
2
,
B
4
2
1 7 1
2 0
3
,
求 ABT .
1
AB
2 1
0 3
a21b11
a22b21
a2sbs1
a21b12 a22b22 a2sbs2
a21b1n
a22b2n
a2sbsn
.
am1b11
am2b21
amsbs1
am1b12 am2b22 amsbs2
am1b1n
am2b2n
amsbsn
mn
17
例
? 2
1
4 2
2
22
3
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
11
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
aaaa1212111
aa1122 aa222
aaaa12123333aaaa1212111
bb1122 bb222
aaaa1212333322aaaa1212111
aa1122bb1122 aa222bb222
aa2212a3a3 1233
aa3311 aa3322 aa333 aa3311 bb3322 aa333 2aa3311 aa3322bb3322 a23a3 33
即：
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
则此方程组可写成简洁的矩阵形式： Ax b
线性方程组的矩阵形式便于有关问题的研究．
21
例2.3
设A
1
0
10 ，B
13
二、数不矩阵相乘
定义：数 不矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为
a11
A
A
a21
数乘矩阵的运算规律
am1
a12 a22
am1
a1n
a2 n
amn
a,b,c R
结合
律 (ab)c a(bc)
分配 (a b) c ac bc 律 c (a b) ca cb
则称方阵 A 与 B 是可交换的．
22
又比如：
2 4 2 4 0 0
3
6
22
1
2
22
0
0
22
结论：
(1) AB O 不能得出 A O或B O
(2)
AB AC
AO
不能得出
BC
23
矩阵乘法的运算规律
(1) 乘法结合律
( AB)C A(BC)
(2) 数乘和乘法的结合律 AB ( A)B （其中 是数）
4
6
22
16 8
32 16 22
18
例
1
A
1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 , 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4
1
, 求AB.
1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
2
3
2
4
6
1
1 2 3
20
对于n元线性方程组：
a11x1 a12 x2
a21x1
a22
x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11
记A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
a11 a12
3 2 1 2
4
1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
19
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
例如
1 2 3
3
5
2 8
1 9
33
1 6
6 0
8
1
23
不存在.
3
1 2 3
2
1
3
2
2
3
1
10
10
1
3
3 6 9
2
1
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0
0
注意：丌同型
0 0 0 0 . 的零矩阵是丌
相等的.
0 0 0 0
10
2.2 矩阵运算
一、矩阵的加法和减法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 不 B 的加法和减法规定为：
a11 b11
A
B
a21
b21
1
2
4 2
2 0
3 1
0
17
14 13
3
10
,
解法2
0
( AB)T
14
3
17
13
.
10
1 4 2 2 1 0 17
( AB)T
BT AT
7
2
0
0
3
再如：
3x1 2x1
2x2 3x2
x3 x3
5, 1.
可简记为：
x1
3
2
1
x2
5
x3
3
2
2 3
1
1
x1 x2 x3
=
5 1
这两个等式的左边可以看成是两个矩阵的乘积．
照此看来，一个 n 维行向量与一个 n 维列向量的乘积是一个数.
1
例如：
1,
2,
3
0
1
1
2
amn
行数丌一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
(aij )mn
4
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 6 2
2 2
2 2
2 2
是一个 3 3 矩阵,
1 2
是一个 31 矩阵,
4
2 3 5 9 是一个1 4 矩阵,
4或4 是一个 11矩阵.
5
三、特殊的矩阵
1. 行数不列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵,可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1,a2, , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
称为列矩阵(或列向量)
.
an
3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O .
例如：
0 0
O22
0
0
O14 0 0 0 0
12
矩阵加法的运算规律
a,b,c R
交
换 律
ab ba
结
合 律
(a b) c a (b c)
设 A、B、C 是同型矩阵 A B B A
(A B) C A (B C)
设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵．
其
他 显然
A ( A) O , A B A (B)
a1n a2n ann
称为上三角阵
a11
方阵
A
a21
0
a22
0 O0
称为下三角阵
an1 an2 ann
上三角不下三角阵统称为三角阵
8
6、对称矩阵不反对称矩阵
定义 设A为n 阶方阵，如果满足 aij a ji i , j 1,2,,n
那末 A 称为对称(矩)阵.
12 6 1
0
31
2
1
16
定义2.4
a11 a12 a1s b11 b12 b1n
a21
a22
a2s
b21
b22
b2n
am1
am2
ams
ms
bs1
bs 2
bsn sn
a11b11 a12b21 a1sbs1 a11b12 a12b22 a1sbs2 a11b1n a12b2n a1sbsn
1
2
1 2
，求乘积AB及BA．
解:
1
AB
0
1 1
0
2
1
2
Biblioteka Baidu
3
0
3 0
，
BA
1
2
1 1
2
0
1 0
1
2
1
2
可见矩阵的乘法不满足交换律．
但也有例外，比如设 A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有
AB 2 2, 2 2
BA 2222
AB BA.
对于两个 n 阶方阵A, B，若 AB BA，
am1
am2
amn
bm
2
二、矩阵的定义
由 m×n 个数排成的 m 行 n 列的数表:
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
am1 am2
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．
记作:
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
简记为 A Amn (aij )mn (aij )
6
1 0
4.形如
0
2
0
0
0
0
的方阵称为对角阵.
n
可记作:
diag(1, 2 ,
, n )
方阵
A
0
0
0 0
全为同一个数 称为数量矩阵.
0
0
1 0
特别的，方阵
0
1
0
0
0
0
称为单位矩阵．
1
记作 En 或 E ．
7
5、方阵
a11 a12
A
0 0
a22 O
0
3 2
10 15
5 5
3 0
0
3
6 2
6
4
.
26
四、矩阵的转置
定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做
A的转置矩阵，记作AT .
1 4
比如
1
A
4
2 5
2
8
,
AT
2
5
;
2 8
B 18 6 ,
BT
18
6
.
n 阶方阵A为对称阵
AT A
n 阶方阵A为反对称阵
9
7、同型矩阵不矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如
5
6
与
8
4 为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵 A (aij ) 不 B (bij )为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 则称矩阵 A 不 B 相等，记作 A = B .
(3) 分配律
A(B C) AB AC (B C)A BA CA (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即
Em Amn Amn En A
数量矩阵丌 同于对角阵
推论：矩阵乘法丌一定满足交换律，但是数量矩阵 E 不任
何同阶方阵都是可交换的.
24
(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义 Ak AA A (k为正整数）
第二章D第二矩章阵
1
2.1 线性方程组不矩阵的定义
一、矩阵概念的引入
1. 线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1 a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
对应于数表：
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
15
三、矩阵乘法 为便于研究线性方程组，我们引进矩阵乘法的定义．
例如： 3x1 2x2 x3 5． 可简记为：
k
显然 Ak Al Akl , (Ak )l Akl (k, l为正整数）
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k Ak Bk ( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2
A、B可交换时成立
方阵的多项式：已知x的m次多项式:
f ( x) am xm am1 xm1 a1 x a0 (am 0)