线性代数 第一章、矩阵

由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)按一 定次序排成 m 行 n 列的矩形数表
a11 a12 L

a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a2n

L
amn
Amn
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 (aij)m×n

bm

零矩阵：元素都是零的矩阵 记作O。
12
a11 a12 L
上三角矩阵：形如

0
a22 L
L L L

0
0L
a1n
a2n

的方阵
L
ann

a11 0 L
下三角矩阵：形如

a21
L
a22 L
L L

an1
an 2
L
0
0 L
的方阵
ann
23
例2
Baidu Nhomakorabea
设
4
A


2
3 0
1
5

,
B


1 1
2 0
0 3
求 A－3B
解：
3 6 0
3B


3
0
9

4 3 1 3 6 0
A

3B


2
0
5


3
0
9



1 5
9 0
1
4

说明：矩阵的加法运算和数乘运算统称为矩阵的
98

89
90 90
87 86
72
98

97 84 75 87


85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
有多少个？它们都 相等吗？
A (a1, a2 , L , an )
b1
B


b2

M

上、下三角矩阵统称为三角矩阵
13
对角矩阵：方阵并且除主对角线上的元素外其余 元素全为零
通常用


diag(1,2 ,
, n
)表示
1
0
0
即 diag(1, 2 , , n ) =
0 0
2
0
0

n

nn
1 0 0
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
E


0
1
L
0

M M O M

0
0
L
1

特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
实际上，一阶矩阵就是一个数。
(3)若两个矩阵行数和列数分别相等，则称这 两个矩阵是同型矩阵，否则称为非同型矩阵。
(4)若两个矩阵不但是同型矩阵，而且对应的元 素也相等，则称这两个矩阵相等。
9
矩阵应用举例：
例1：把下图中四个城市之间的航线用矩阵表示出来
城市2
城市1
城市4
城市3
解:设 aij 10,，从从城城市市ii到到城城市市jj有没一有条航航线线（1 i，j 4）
a1s ais ams

b11 b21 bs1


b1 j b2 j bsj
上述运算也称为两个线性变换的乘积
根据线性变换与矩阵的关系，也可以理解为
b11 b12
矩阵
a11

a21
a12 a22
a13
a23

与

b21
b31
b22

的乘积为
b32
26
？
a11

a21
a12 a22
a13 a23



b11 b21 b31
a12 a22
b21t1 b22t2 b21t1 b22t2
a13 b31t1 b32t2 a23 b31t1 b32t2
25
即：

y1 y2

a11b11 a12b21 a13b31 t1 a11b12 a12b22 a13b32 t2 a21b11 a22b21 a23b31 t1 a21b12 a22b22 a23b32 t2
1 0 L 0
如：单位矩阵
En


0
M
1 M
L
0

M

0
0
L
1

对应的线性变换为
y1 x1

y2 L
x2
称为恒等变换
yn xn
18
再如: 线性变换
y1 1 x1 ,

y2

2

x2
,
yn n xn .
对应n阶系数矩阵为
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A


a21
a22
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。

am1
am 2
L
a1n
a2n

L
amn

可以看出给定一个矩阵必定对应于一个线性变换
加法满足运算规律: (1) A+B= B + A; (2) (A + B)+C= A +(B +C) .
(交换律) (结合律)
特别的: (3) A + O = O + A = A
(4) A + (-A) = (-A) + A = O
A是A的负矩阵
A (aij )mn
21
类似的，也可以定义矩阵的减法。
线性运算
24
三. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法)
引例 设变量 x1, x2 , x3 到变量 y1, y2 的线性变换为

y1 y2

a11x1 a21x1
a12 x2 a13x3 a22 x2 a23x3
变量 t1, t2到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为

1
§1 矩阵的概念
背景： 数的发展：自然数 整数 有理数
实数 复数 对于这些数一般用集合的观点讨论,通常只 是研究它们的一些运算法则和运算规律。例 如加、减、乘、除等。
2
在研究某些问题时，常常和所研究对象的取值范围 有关。
如求方程 x2 1 0 的根，
此方程不仅在有理数范围内无解，就是在实数范围 内也无解，只在复数范围内有解。
为了在以后的讨论中能把具有共同运算性质的数集 统一处理
下面引入一个一般的概念
3
定义1.1
设F是复数集C的一个子集合，如果F满 足下列两个条件： （1）0和1都在 F 中 （2） F 中任意两个数(可以相等)的和、差、积、 商（除数不为零）仍然在该集合中
则称集合 F 构成一个数域
例如: 有理数集、实数集、复数集都构成数域。 但整数集不构成数域。
0 1 1 0
则得到邻接矩阵
A4


1
0
0 1
1 0
1

0


0 0 1 0
10
例2：把下列成绩统计表用矩阵表示出来 姓名 高数 英语 邓论 普物
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
注意: （1）本书中涉及到的数都是指某个数域中的数 （2）若没有特别说明涉及到的数域一般是指实数域
6
引例: 例1 设某种物资，如煤炭等，有m个产地， A1, A2,L , Am，n个销地，B1, B2,L , Bn，如果以
aij表示由第i个产地销往第 j个销地的数量，
则这类物资的调运方案，可用一个数表表示如下：
一般用大写字母 A，B，…表示，m行n列的矩阵A也
记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，
而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。
8
注意：
(1)如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就 称A为实(复)矩阵。一般的，仅讨论实矩阵。
m (2)如果矩阵的行数等于列数 n，
则称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵，记做 An
第一章 矩阵
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，是线性代 数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题 都可以用矩阵表示并且可以运用有关理论得到解决。 例如 ：学生各科考试成绩，企业销售产品的数量和 单价，超市物品配送路径等。本章就是讨论最简单的 由数形成的矩形数表—矩阵及其运算。
1.1 矩阵的概念 1.2 矩阵的运算 1.3 可逆矩阵 1.4 矩阵的初等变换和初等方阵
例如:


diag
(1,
2,
3)


0
2
0 是一个三阶对角矩阵
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0

0
5
0
0

就是一个数量矩阵
0 0 5 0

0
0
0
5

也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
1 0 L 0
A


0
2
L
0

M M
M

0
0L
n

是一个对角矩阵。
也就是说，线性变换和系数矩阵是一一对应的。
19
§2 矩阵的运算
背景: 矩阵之所以有用,不在于把一组数能排成矩形 数表,而在于能进行有实际意义的运算。
一. 矩阵的加法
定义2.1 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij),那么A
A - B = A + (-B) = (aij - bij )m×n
例１：计算下列两个矩阵的和与差
A


1 3
0 2
2 1
,
B


1 2
1 1
0 3
解：
0 1 2
2 1 2
A

B


5
1
2
,
A

B


1
3 4
22
二. 数与矩阵相乘（简称为数乘）
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
即

y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
a11 a12 L

a21
a22
L
a1 j L a2 j L
a1n
a2n

矩阵
L L L L L L

ai1
ai2 L
aij L
ain

L L L am1 am2 L
LL amj L
L amn
aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量 7
定义1.3
与B的和记为C=A+B,规定为
a11 b11
C

A

B


a21

b21
a12 b12 L a22 b22 L
a1n b1n
a2n
b2n

M
M
M


am1 bm1 am2 bm2 L a mn b mn 20
注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算， 其运算法则就是把它们的对应元素相加。
x1 x2

b11t1 b12t2 b21t1 b22t2
x3 b31t1 b32t2
那么，变量 t1, t2到变量 y1, y2 的线性变换应为



y1 y2

a11 a21
b11t1 b12t2 b11t1 b12t2
b12 b22 b32




a11b11 a21b11

a12b21 a22b21

a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12

a22b22

a23b32

按上述方法定义的矩阵乘法有实际意义。 由此推广得到一般的定义：
27
定义2.3 设A=(aij)ms，B=(bij)sn ，那么规定矩阵A与
B的乘积是C=(cij) m n,
s
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1
并把此乘积记作C=AB。
a11


ai1


a
m1
a12 ai2 am2
4
定义1.2
如果一个数集 F 中任意两个数经过某一种
运算后所得结果仍在该数集中,则称数集 F 对该运算封闭.
例如: 整数集对加法运算封闭，但对除法运 算不封闭。
因此,要证明一个数集是否构成数域只要能证明该数 集中含有数0和1,并且对加、减、乘、除四种运算 都封闭即可。
5
例1 设 F {a b 3, a,b Q} 则F 是一个 数域。
定义2.2 数与矩阵A的乘积记作 A,规定为
a11 a12 L

A


a21
M
a22
M
L


am1
am 2
L
a1n
a2n

M

a
mn

数与矩阵相乘满足运算规律:
(1)()A (A)
(2)( )A A A
(3)( A B) A B