人教A版数学选修2-3课件：1.2.2排列(二)

0 不在两端有 A14种排法，从 1，3，5 中任选一个排在个位有 A13种排法，其他各位上用 剩下的元素作全排列有 A44种排法，故共有 A14·A13·A44＝288 个六位奇数．
法三(间接法)
6 个数字的全排列有 A66个，0，2，4 在个位上的排列数为 3A55个，1，3，5 在个位上，0 在十万位上的排列数有 3A44个，故对应的六位奇数的排列数为
殊位置，因此“0”、首位和末位要同时考虑．正面情况较复杂时，可用间接法求解．
链
解析：(1)法一[从特殊位置入手(直接法)]
接
分三步完成．第一步：先填个位，有 A13种填法；第二步：再填十万位，有 A14种填法； 第三步：填其他位，有 A44种填法．
故共有 A13·A41·A44＝288 个六位奇数． 法二[从特殊元素入手(直接法)]
分步计数原理知，共有 A33·A44·A22＝288(种)． (6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排，故 N＝A33·A55＝720(种)．
栏 目 链
(7)(不相邻问题用插空法)先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空隙中安 接
排，有 A35种排法，故
接
(7)全体站成一排，男生不能排在一起；
(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；
(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；
(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
(12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人．
分析：先分析清楚是无限制条件的排列问题，还是有限制条件的排列问题．若是无限制
法二(间接法)
无限制条件的排列数共有 A77，而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有 A66，且甲在左端同时 乙在右端的排法有 A55，
故 N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)． (5)(相邻问题用捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须
站在一起，是女生的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法．由
条件的排列问题，直接利用排列数公式计算；若是有限制条件的排列问题，则要搞清楚限制
条件是对元素还是对位置要求的，再选择是用直接法还是间接法计算．
解析：(1)无限制条件的排列问题，只要从 7 名同学中任选 5 名排列，即可得共有 N＝
A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)(直接分步法)先考虑甲，有 A13种方案，再考虑其余 6 人全排，故 N＝A31·A66＝2 160(种)． 栏 (3)(直接分步法)先安排甲、乙，有 A22种方案，再安排其余 5 人全排，故 N＝A22·A55＝ 目
例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选 5 名同学排成一行；
(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
栏
(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
目
(5)全体站成一排，男、女各站在一起；
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链
(6)全体站成一排，男生必须排在一起；
N＝A44·A35＝1 440(种)．
(8)对比(7)，让女生插空：
N＝A33·A44＝144(种)．
(9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排，故
N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．
(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故
N＝AA7722＝2 520(种)．
240(种)．
链
(4)法一(直接分类法)
接
按甲是否在最右端分两类．
第一类：甲在最右端时，有 N1＝A66， 第二类：甲不在最右端时，甲有 A15个位置可选，而乙只有 A15个位置，而其余全排 A55， ∴N2＝A15·A15·A55，故 N＝N1＋N2＝A66＋A51·A15·A55＝3 720(种)．
接
个位不排 5，有 A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同， 因此需分两类．
第一类：当个位排 0 时，有 A55个． 第二类：当个位不排 0 时，有 A14·A41·A44个． 故符合题意的六位数共有 A55＋A41·A14·A44＝504(个)．
(3)直接法．
①当千位上排 1，3 时，有 A12·A13·A24个．
目只需插入到原 5 个节目之间的空隙(包括两端的两个空位)共 6 个位置上，所以，不同的插
法有 A26＝30 种． ②分两类：第一类是两个新节目不相邻，有 A26＝30 种方法；第二类是两个新节目相邻，
有 6A22＝12 种，所以，共有不同插法有 30＋12＝42 种． 答案：30 种 42 种
题型3 排队问题
1．2.2 排 列 (二)
题型1 数字排列问题
例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是 5 的六位数；
(3)不大于 4 310 的四位偶数．
栏
分析：奇、偶数问题是选特殊位置：对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特 目
不同，且 1，2 相邻，这样的六位数的个数是________．
解析：可分为三步来完成这件事：
栏 目
第一步，先将 3，5 进行排列，并有 A22种排法；
链
第二步，再将 4，6 插空排列，共有 2A22种排法；
接
第三步，将 1，2 放入 3，5，4，6 形成的空中，共有 A15种排法．
由分步乘法计数原理得，共有 A222A22A15＝40(种)不同的排法．
接
440(种)排法．
(2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2
个排唱歌节目，有 A27种插入方法，所以共有 A66·A27＝30 240(种)排法．
(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个 曲艺节目排列共 A44种排法，再将 3
目 链 接
直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去
不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法)．
(2)特别地，关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题，应遵循“先整体，
后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”；不相邻问题，一般用“插空法”；“定
►变式训练
2．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果
栏
将这两个新节目插入原节目单中，若：①两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为______；
目
②两个新节目可以相邻，也可以不相邻，那么不同插法的种数为______．
链
解析：①因为两个新节目不相邻，且 5 个节目已排成节目单，所以，新增加的两个新节 接
A66－3A55－3A44＝288(个)． (2)法一(间接法)
0 在十万位和 5 在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万
位和 5 在个位的情况．
栏
故符合题意的六位数共有
目
A66－2A55＋A44＝504(个)．
链
法二[直接法(个位不排 5 时，排 0 不排 0 分类计算)]
个舞蹈节目插入，共有 A35种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A22种排法，故所
求排法共有 A44·A53·A22＝2 880(种)排法．
规律方法：(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插 入空位，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．
(2)对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先把相邻的若干个元素 “捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
序”问题，一般用排除法：N＝AAmmnn .
►变式训练
3．(2013·陕西宝鸡中学高二期末)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要
求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B)
A．1440 种 B．960 种
C．720 种 D．480 种 解析：先将 5 名志愿者排好，有 A55种排法，2 位老人只能排在 5 名志愿者之间的 4 个 空隙中，先将 2 位老人排好，有 A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有 4 种插法．
答案：40
题型2 排列节目问题
例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求
分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2 个唱歌节目互不相邻；
栏
(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻．
目
链
解析：(1)先排唱歌节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排法，所以共有 A22·A66＝1
栏 目 链 接
∴共有不同排法，4A22A55＝960 种．
接
规律方法：(1)第一问中第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数
字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位．(2)第二问中易忽视 0 不能排首位
而得 A15·A55＝600 个的错误结论．
►变式训练
1．用 1，2，3，4，5，6 组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性
(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的A133，∴N＝AA7733＝840(种)．
(12)直接分步完成，共有 A73·A44＝5 040(种)．
规律方法：(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一 栏
般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或 特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是
②当千位上排 2 时，有 A12·A24个． ③当千位上排 4 时，形如 40××，42××的各有 A31个，形如 41××的有 A12·A13个，
栏 目
形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数，故共有
链
A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．