2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案

2015年广东省高考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）

A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅

2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）

A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i

3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x

4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1

5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0

C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0

6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．

7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5

二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）

9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．

10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．

12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）

13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．

14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．

15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．

三、解答题

16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．

（1）若⊥，求tanx的值；

（2）若与的夹角为，求x的值．

17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：

工人编号年龄工人编

号

年龄工人编

号

年龄工人编

号

年龄

1 2 3 4 5 6 7 8 940

44

40

41

33

40

45

42

43

10

11

12

13

14

15

16

17

18

36

31

38

39

43

45

39

38

36

19

20

21

22

23

24

25

26

27

27

43

41

37

34

42

37

44

42

28

29

30

31

32

33

34

35

36

34

39

43

38

42

53

37

49

39

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；

（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？

18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．

（1）证明：PE⊥FG；

（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；

（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；

（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．

20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．

（1）求a3的值；

（2）求数列{a n}的前n项和T n；

（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．