函数的概念知识点总结

抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数. 知识点七 求抽象函数或复合函数的定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:
（1）函数 f (x) 的定义域是自变量 x 的范围.
（2）函数 f (g(x)) 的定义域是自变量 x 的范围,而不是 g(x) 的范围.
f (u) 的定义域的交集非空,那么 y 通过 u 的联系也是自变量 x 的函数,我们称 y 为 x 的复
合函数,记为 y f (g(x)) .其中 u 叫做中间变量, u g(x) 叫做内层函数, y f (u) 叫做
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外层函数. 对复合函数概念的理解
由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子 集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域. 例 6. 下列函数中,是复合函数的是【 】
f (a) 表示当 x a 时 f x的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量; f (x)
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表示自变量为 x 的函数,它表示的是变量.
如 f (x) 2x 表示的是一个函数, f 3 6 是它的一个函数值,是常量.
知识点三 具体函数的定义域的确定方法
所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解 析式的特点来确定函数的定义域:
（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即 R. （2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集; （3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数 的实数集; （4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的 实数集. （5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分 有意义的实数集的交集. （6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际. 知识点四 函数的相等 只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.
对函数的相等理解时要注意: （1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个 函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数. （2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等. （3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.
如函数 f (x) x 2 与函数 f (x) 2x 的定义域都是 R,值域都是 R,但它们表示 的不是同一个函数,两个函数不相等. （4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用 什么字母表示因变量没有关系.
作函数值,函数值的集合y y f (x), x A叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的
子集.
对函数的近代定义的理解
（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数 是不存在的.
如 y x 1 就不是函数. 1 x
（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合 A 中的任意一个元素 x 都要考虑到. 存在性:集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都存在对应元素 y . 唯一性:在集合 B 中,与每一个元素 x 对应的元素 y 是唯一的.
x0 1 x
0
,即
x x
1 0
,解之得:
x
≤1
且
x
0
.
∴函数 y 3 的定义域为x x 1且x 0;
1 1 x
（4）由题意可知:
x2 3
5
x
2
0 0
,即
x
5
3或x x
5
3
解之得: 5 ≤ x ≤ 3 或 3 ≤ x ≤ 5 .
∴函数 y x2 3 5 x2 的定义域为 x 5 x 3或 3 x 5 .
题意可知:
x 2x 20 3x20,即
x x
0 2且x
1 2
,
解之得:
x
≤
0
且
x 1 . 2
∴函数
y
2x2
x 3x
2
的定义域为 xx
0且x
1
;
2
（2）由题意可知:
x 1 1 x
0 0
,解之得:
x
1.
∴函数 y x 1 1 x 的定义域为x x 1;
（3）由题意可知:
1
1
注意:
（1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式. （2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集 在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.
知识点五 区间的概念及其表示
设 a,b 是两个实数,且 a b ,规定:
（1）满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数 x 的集合,叫做闭区间,表示为 a,b;
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1,2,3 就不能用区间来表示.
（2）区间的左端点必须小于右端点. （3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开. （4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用 小括号表示. （5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点. （6）若 a 为区间的左端点, b 为区间的右端点,则把 b a 叫做区间的长度.区间的 长度必须大于 0.（因为 b a ） （7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示. 例 5. 函数 f (x) x 3 的定义域是【 】
6
,解之得:
x
≥3
且
x
4
.
∴函数 f (x) x 3 的定义域用集合表示为 x x 3且x 4,用区间表示为
x 1 5
3, 4 4,.
选择【 B 】.
知识点六 复合函数与抽象函数 复合函数的概念
如果 y 是 u 的函数,记为 y f (u) , u 又是 x 的函数,记为 u g(x) ,且 g(x) 的值域与
（A） f (x) x 2 x3
（B） f (x) x 1
（C） f (x) x
（D） f (x) 2 x
分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的.
解:函数 f (x) x 1 是由函数 y u 和 u x 1两个函数复合而成的,是复合函
数.选择【 B 】.
（2） y x 1 1 x ;
（3） y 3 ; 1 1 x
（4） y x 2 3 5 x 2 .
分析:例 4 给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数 解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.
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解
:
（1
）由
为 R,函数 g(x) x 的定义域为 x x 0,它们的定义域不相同,所以它们不是同一
x 函数;
（D）选项中,函数 f (x) x 与函数 gx x 的定义域均为 R,但二者的对应关系不
相同,它们不是同一函数. 选择【 B 】. 例 4. 求下列函数的定义域:
（1） y
x ;
2x2 3x 2
2
解 : （ A ） 选 项 中 , 函 数 f (x) x 的 定 义 域 为 R, 函 数 g(x) x 的 定 义 域 为
x x 0,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;
（B）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪 个字母表示自变量没有关系; （C）选项中,函数 f (x) 1为常数函数,其图象为一条平行于 x 轴的直线,其定义域
例 3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】
2
（A） f (x) x , g(x) x
（B） f (x) x2 1 , gt t 2 1
（C） f (x) 1, g(x) x x
（D） f (x) x , gx x
分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时, 这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只 要有一个不相同,两个函数就不相等.
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（3）集合 B 不一定是函数的值域,值域是集合 B 的子集. 在集合 B 中,可以存在元素在集合 A 中没有与之对应者.
例 1. 讨论二次函数的定义域和值域.
解:二次函数的一般式为 y ax2 bx ca 0 ,为整式函数,所以其定义域为 R,其
值域的确定分为两种情况:
一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.
区间的数轴表示（几何表示）
定义
x a x b
名称
闭区间
符号
a, b
数轴表示
a
b
x a x b
开区间
a, b
a
b
x a x b 半开半闭区间 a,b
a
b
x a x b 半开半闭区间 a,b
a
b
实数集 R 可以用区间表示为 ,.“ ”读作“无穷大”,“ ”读作“负无穷
和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量 x 施以某种运算,类似于程序的作
用.
值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.
例 2. 讨论反比例函数 y k k 0 的定义域和值域.
x
解:反比例函数 y k k 0 的定义域为x x 0,值域为y y 0.
x
f aa A与 f x 的区别与联系
函数的近代定义
设 A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任
意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f x和它对应,那么就称 f : A B 为
从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y f (x) , x A .
其中, x 叫作自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫
知识点二 函数的三要素
函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.
在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了.
定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的 x 的取值范围.
确定函数定义域时,要从两个方面考虑:
（1）使函数解析式有意义;
（2）符合客观实际.
对应关系 用 f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域
①当
a
0
时,函数的值域为
y
y
4ac
b2
;
4a
②当
a
0
时,函数的值域为
y
y
4ac
b2
.
4a
注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集 R 上的,若二次函数的定义域
是 R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过
后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.
（2）满足不等式 a x b 的实数 x 的集合,叫做开区间,表示为 a,b ;
（3）满足不等式 a ≤ x b 或 a x ≤ b 的实数 x 的集合,叫做半开半闭区间,分别
表示为a,b , a,b.
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这里的实数 a,b 叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那
x 1 5
（A）3,
（B）3, 4 4,
（C） 3,
（D）3, 4
分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来
表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,
不包含端点的,用小括号表示.
解:由题意可知:
x
x
3 1
0 5
0
,即
x x
3 4且x
如函数 f (x) x2 1 与函数 f (t) t 2 1 表示的就是同一个函数.
（5）对 f (x) 中 x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但 f 施加关系的对象 不同,两个函数也不相等.
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如函数 f (x) x2 和函数 f (x 1) x2 表示的就不是同一个函数.
函数的概念知识点总结
本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义
一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y ,对于 x 的每一个值, y 都有 唯一的值与之对应,我们就说 x 是自变量, y 是因变量,此时也称 y 是 x 的函数.
大”,“ ”读作“正无穷大”.
把满足不等式 x a , x ≥ a , x b , x ≤ b 的实数 x 的集合,分别表示为 a, , a, , ,b , ,b.
定义
xa
符号
a,
数轴表示
a
x≥a
a,
a
xb
,b
b
x ≤b
,b
b
对区间的概念及其表示的理解:
（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合