信号的统计检测与估计理论

¾
iii)已知在
代价 Cij (θ
)H。j为真时，且实际参数为
θ
时而选择了 Hi 的
目的是寻求一个最佳的判决策略 {πi (v)},i = 1, 2,..., M；
使付出的平均代价最小。
¾ πi (v) 是观测到 v 时判断 Hi 为真的概率；
M
∑ 0 ≤ {π j (v)} ≤ 1
π j (v) = 1
∑ ∫ = i =1
R ωi (v)πi (v)dv
8
复合假设检验观测模型
9
复合假设检验
p j (v /θ ) ～转移概率（决定于干扰和噪声）
v = [v1, v2 ,..., vN ]T ～观测数据, v ∈ R θ = [θ1,θ2 ,...,θk ]T ～随机参数, θ ∈ Η
i =1
ξj
j =1
dv
R
H dθπi (v)Cij (θ )z j (θ ) p j (v /θ )

令ωi (v) 是观测到
v
后选择
H
的警险函数，其定义为
i
M
∑ ∫ ωi (v)
ξj
j =1
H dθ Cij (θ )z j (θ ) p j (v /θ ),
i = 1, 2,..., M
7
复合假设检验: Bayes检验
∑ p0
(v)
=
[2πσ
2 n
−
]
N 2
exp−
1
2σ
2 n
N
vi2
i =1
∑ p1(v)
=
[2π
(σ
2 n
+
σ
2 m
−
)]
N 2
exp−
1
2(σ
2 n
+
σ
2 m
)
N i =1
vi2
18
具有随机参量信号的检测
第一节 复合假设检验 第二节 具有随机相位信号的检测 第三节 二元正交随机相位信号的检测 第四节 Rayleigh衰落信道二元正交随机相位信号
i =1
2 m
−
)
1 2
∞ −∞
exp−
1 2
σ
2 m
+σ
σ
m2σ
2 n
2 n
(m
−
σ
σ
2 m
v2 2
mi
+σ
2 n
)2
dm
⋅
exp
2σ
2 n
σ
2 m
vi2
(σ
2 m
+
σ
2 n
)
1
=
N⎛ Π⎜ i=1 ⎝
σ
2 n
σ
2 m
+
σ
2 n
⎞2 ⎟ ⎠
exp
σ
v2 2
mi
2σ
2 n
(σ
2 m
+
σ
2 n
)
∑
则判决规则为： N
i =1
⎧ ⎨ ⎩
1 2
ln
σ
σ
2 n
2 m
+
σ
2 n
+
2σ
2 n
σ
2 m
(σ
2 m
+
σ
2 n
)
vi2
⎫ ⎬ ⎭
H1
≷
H0
ln
Λ
0
16
例1：复合假设检验: Bayes检验
∑
判决规则为：
N
H1
vi2 ≷l0
i=1 H0
¾ ¾
式请注中意：，l0由=于2σ：n2 (σσn2m2
+
σ
由于 ωi (v)与 πi (v) 均是非负函数，应用完全同于第三 章的方法，可知我们的Bayes判决规则应为
Hj
ω j (v) ≤ ωi (v) ∀i ≠ j ;i, j = 1, 2,..., M
10
复合假设检验: Bayes检验
对于二元检验，Bayes判决规则为:
∫ ∫ Λc (v)
yman-Pearson准则、最小最大准则、最小差错概率准 则等，这些都与第三章中的讨论相一致，不再重复。
13
例1：复合假设检验: Bayes检验
例1： 观测值 vi (i = 1, 2,..., N ) 是一些独立随机变量，
H1 : vi = m + ni H0 : vi = ni i = 1, 2,..., N
¾ 其中：s j (t /θ ) 是第j(j=1,2,…,M)个信号； ¾ θ = [θ1,θ2 ,...,θk ]T 是未知或随机参量矢量；
¾ n(t)是加性随机噪声。 显然，若 θ 在接收机处完全确知，则问题就退化为简
单假设检验问题，否则它就属于复合假设检验问题。
4
复合假设检验
为了简明，从离散观测数据开始;
平均似然比为:
∞
∫ Λ(v) = −∞ p1(v / m)z1(m)dm
p0 (v)
∫ N
Π(2πσ
i =1
2 n
−
)
1 2
=
∞
exp−
−∞
1
2σ
2 n
(vi
−
m)2
⋅
(2πσ
2 m
−
)
1 2
exp−
1
2σ
2 m
m2dm
N
Π(2πσ
i =1
2 n
)
−
1 2
exp−
1
2σ
2 n
vi2
∫ =
N
Π(2πσ
的频率漂移。
21
具有随机相位信号的检测
研究下列形式信号的检测问题，即：
s(t,ξ ) = Re AF (t)e jξ ⋅ e j2π f0t
其中：
¾ 设复信号的包络 F (t )是确知的(这里我们也已将到达时刻t0
视为已知)。
¾ 信号相位 ξ ∈[0, 2π ] 却是一个未知参量。
雷达信号检测问题就成为一个典型的复合假设检验问 题。
z(ξ
)
=
1
2π
,
ξ ∈[0, 2π ]
它暗示 ξ 有具有最大的不定性。因为如果倾向于 ξ 的某些特
定值，就可以采用前章所描述的匹配于这些相位的匹配滤波器， 对这些匹配滤波器的输出进行适当的加权，就可以增大平均检 测概率。当所有信号的相位等可能时，可以肯定对它所知最少。
23
最佳接收机结构
在带通型信号中，检测统计量只决定于信号与噪声的复包络
[2π
(σ
2 n
+
σ
2 m
−
)]
1 2
exp−
1
2(σ
2 n
+
σ
2 m
)
N i =1
vi2
17
例1：复合假设检验: Bayes检验
即在 H1 为真时，{vi} 是一些独立高斯变量，其均值
为零，方差为
σ
2 n
+
σ
2 m
。
上述检验又是 p1 (v) 与 p0 (v)分别为下式的关于方差的
简单假设检验。
所付出的代价与实际参数 θ 无关。
11
复合假设检验: Bayes检验
代价似然比判决准则：
∫∫ Λ(v) =
H H
p1 (v p0 (v
/θ )z1(θ )dθ /θ )z0 (θ )dθ
H1
≷ Λ0
H0
式中：
Λ0
=
ξ0 (C10 − C00 ) (1− ξ0 )(C01 − C11)
称这样的检验为平均似然比检验ALRT(average likelih ood ratio rest)。
信号的统计检测与估计理论
华侨大学信息科学与工程学院 电子工程系
E-mail: edac@ Tel: 22692477
目录
概论 第一章 信号的矢量与复数表示 第二章 噪声和干扰 第三章 假设检验 第四章 确知信号的检测 第五章 具有随机参量信号的检测 第八章 信号的参量估计 第九章 信号参量的最佳线性估计
1 2
exp−
1
2σ
2 n
vi2
p1 (v
/
m)
=
N
Π(2πσ
i =1
)2
−1 2
n
exp−
1
2σ
2 n
(vi
−
m)2
z1 (m)
=
(2πσ
2 m
)
−
1 2
exp−
1
2σ
2 m
m2
¾ 平均似然比为：
∞
∫ Λ(v) = −∞ p1(v / m)z1(m)dm p0 (v) 15
例1：复合假设检验: Bayes检验
5
复合假设检验: Bayes检验
条件： M ∑ ¾ i) 已知 H j 的先验概率为：ξ j , 0 ≤ ξ j ≤ 1, ξ j = 1 ¾ ii) 已知在 H j 为真时，参数 θ 的条件概率密j=1度 z j (θ ) ；
∫ 0 ≤ z j (θ ) ≤ 1; H z j (θ )dθ = 1
2
具有随机参量信号的检测
第一节 复合假设检验 第二节 具有随机相位信号的检测 第三节 二元正交随机相位信号的检测 第四节 Rayleigh衰落信道二元正交随机相位信号
的检测
3
复合假设检验
复合假设是指含有若干未知或随机参数的假设。 例如在信号检测问题中，被检验的假设可以是：