材料力学72平面应力状态应力分析主应力

平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
a x
y
y
c
x
a
x
x
b
y
n
c
y
Fn 0 F 0
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
x y
dA x dAcoscosx 2x dyAcosxs2inycoysd2Asin cxossin 2y dAsin sin 0
sin 2
max
x y sin 2
2
x cos 2
cos 2
450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
应力圆
一、应力圆的方程式
x y
300 600 x y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x
x
2
y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x y sin 2
2
x cos 2
轴向拉伸压缩
x (1 cos 2)
1
x
y
2
x
2
y
2
2 x
2
切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力
2
x
y
2
x
2
y
2
2 x
tg2(0 900 ) tg20
tg20
2 x x
y
已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出 表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
1 30MPa 2 0 3
3点 (一般平面状态)
Fs
S
* z
3 My
Iz
15005M001P0a31024 5
Izb
1 58.6MPa
2122.05M1P0a3 60 2537.5 500104 60
2 0 3 8.6MPa
2
cos 2
x y sin 2
2
x cos 2
x
2
sin
2
450
x
2
450
x
2
max
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现 滑移线，是由最大切应力引起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样 扭转破坏的主要原因。
min
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
力圆半径。
３、几种对应关系 y
y
x D
x
o
c
A
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某 一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两 倍。
点面对应
y
y A x
x
a
c
转向对应、二倍角对应
50
x
d 50, y
c
100
o
x y
a
2
100, x
x
2
y
2
2
x
x
2
y
2
2 x
x
2 max
2
y
2
2 x
x
100 100 50
2
x 40MPa
2
2 x
852
主应力和主平面
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 x
2
c 20
a (x ,x)
o
d
1
(y ,y) x y
dA
x dAcos
sin
x
x dAycossin
2
cos 2
y dAsin sin
x cos 2
y
dAsin
cos
0
二、符号规定：
α角
由x正向逆时针转到n正向
者为正；反之为负。
n x
正应力 y
x
x
拉应力为正
压应力为负
切 应 力
x
使单元体或其局部顺时 针方向转动为正；反之为
负。
y
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x 轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
b=60mm,h=100mm. 1、画各点应力状态图
13
x
y 2
1 2
x
y
2
4
2 x
b
M1
z
25mm
3
2
2
h
1
3
Fs 4
2、计算各点主应力
1点
Iz
bh3 12
500cm4
2点 (处于纯剪状态)
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
1 4 3
1 2 0 3 100MPa
n
b
a
c
试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中应
力的单位为MPa。
e 2.2 4.4 300
f
n
a
c 600
o
d
300 5.2MPa 300 0.8MPa
对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力
τmax＜85MPa，试求τx的取值范围。图中应力的单位为
MPa。
2
x y cos 2
2
x sin 2
x y sin 2
2
x cos 2
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 x
(x a)2 y2 R2
二.应力圆的画法
y
y
x
D
x
c
A
o
d
(y ,y)
x y
2
a (x ,x)
在τα－σα坐标系中，标定与微元垂直 的A、D面上 应力对应的点a和d
连ad交 σα轴于c点，c即为圆心，cd为应
30MPa
4点
1 100MPa
2 0
3 0.试求此点 的主应力及主平面.
a
ay
ad面,db面是该点的主平面.
c 600
x
600 b
d
x
b
Fx 0
Aab sin 300 x Aab cos 300 0
3
x 3 3
1 2 0 3 3
构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所 示。试用应力圆求主应力和最大切应力
100
A
50
200
100
在应力圆上量取
1 235MPa
2 0
100, 50
oc
200, 100
3 110MPa
max 172.5MPa
平面应力状态的几种特殊情况
x y
a
3 20MPa
c
30MPa
n1
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
600
10MPa
10
30 2300
1012032030
1c0os3012c0os062000si2n0sin1260000
2
422..3322MMPPaa
b n2
x y sin 2
2
x cos 2
600 30100213002si3n0s1in2060002200ccooss60120 010.33M1.3P3aMPa