5.2时变电磁场
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解：（1）由Maxwell第2方程的微分形式
E y H 1 1 E y E ex ez t 0 0 z x
E B t
E y E y H e e dt 0 z x x z 1 E0 cos z cos t x e E sin z sin t x e x 0 z dt 0 d d d E z z 0 cos sin t x ex sin cos t x ez 0 d d d 1
两边同时除 l H1t H 2t＝ lim ls t h =k h0 说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将 发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向 方向是连续的。
I
D
第5章 时变磁场
（2）折射定律
E1sin1 E2sin 2
第5章 时变磁场
（2）两块导电平板表面上的面电荷密度
z 0 处：E 0 H
E0 sin t x ex 0d E0 E 0 H sin t x ex z d 处： 0d
E、H都满足理想导体分界面边界条件，两块导电平板表面 没有面电荷存在。 （3）两块导电平板表面上的面电流密度：
在静电场中，能量密度为
wm 1 H B 2
we
1 ED 2
在恒定磁场中，能量密度为
,在时变磁场中，能量密度为
w we wm 1 1 ED H B 2 2
5.4.2 坡印廷定理和坡印廷矢量
由电磁场基本方程的第1、第2方程
H J c D t
E
第5章 时变磁场
5.4.3 恒定电磁场中的坡印廷定理 1. 恒定电磁场中的功率平衡方程
E H dS
S
V
J c Ee dV
Jc2
V
dV
若V中没有外电源，Ee 0
J c2
V
表示导体中的热耗是由导体外部进入导体的电磁能量所补偿的。 没有热耗 若为理想导体，
I2 S1 a 2 3 e 2 a 1
S1
a
长直载流导线内外的恒定磁场
第5章 时变磁场
设导线长为l，由公式计算
J c2
V
dv S1 dS S1 dS S1 dS S1 dS S1 S1下底 S1侧 S1上底
P
n E1 E2 0
H 1 (E1 )
α 1(β 1)
说明：电场强度的切向分量是连续的。
媒质分界面上的场矢量
第5章 时变磁场
3）H的边界条件
与上图类似，由安培环路定律
即 H1t Fra Baidu bibliotekl H 2t l I
l
H dl I
D lim J s ds ds s s t h 0 D lim I s hl h 0 t
1 E1cos1 2 E2cos 2 H1sin1 H 2sin 2 1 H1cos1 2 H 2 cos 2
导出 tg1 1
tg 2
2 tg1 1 tg 2 2
en
2 2 2 1 1 1
α 2(β 2)
H 2 (E 2 )
P
H 1 (E1 )
2
V dV ：区域V中传导电流在导体中引起的热损耗功率；
Jc
V
J v EdV
：区域V中电荷运动所作机械功率；
V
J c Ee dV ：外部电源向区域V中提供的电功率；
S
E H dS ：通过包围V区域的闭合面S向外区域输送的功率
表示单位时间内流出S面的电磁能量。称为电磁功率流
B dS S t
D D ( J v ) t t
S S
B dS 0 D dS q
物质方程：
D 0 E P E B 0 (H M ) H Jc E
第5章 时变磁场
5.2.2 媒质分界面衔接条件
（1）两中媒质分界面边界条件 1) B、D 的边界条件
理想导体与空气相界情况
第5章 时变磁场
例1. 在两块导电平板 z 0 和 z d 之间的空气中传播的电磁波 电场强度为
E E0 sin
d
z cos t x ey
为常数。
试求：（1）磁场强度H；（2）两块导电平板表面上的面 电荷密度σ；（3）两块导电平板表面上的面电流密度k。
Ee
坡印廷定理 的积分形式
第5章 时变磁场
若V空间中还包含真空，存在有运流电流
J v v
坡印廷定理为
S
Jc2 W E H dS dV J v EdV J c Ee dV V V V t
W t
：区域V中电磁场能量的增加率；
α 1(β 1)
媒质分界面上的场矢量
第5章 时变磁场
（3）理想导体表面处的边界条件 在导体侧
H 2t k E2t E1t 0 B2 n B1n 0 D2 n
B2 , H 2
E1 D1 0 H1 B1 0
en
E 2 , D2
2 1
k
P
E1 D1 H 1 B1 0
B1n B2 n
D1n D2n s
2）E 的边界条件
由
l
E dl
B ds s t
2 2 2 1 1 1
en
α 2(β 2)
H 2 (E 2 )
B E dl E l E l lh 1t 2t 可得 l t
因此
E1t E2t
w dV E J c dV V t V W E H dS E J c dV V t
如果V中包含有外电源，有局外场强Ee存在
J c E0 E Ee
E
Jc
代入上式有： S
J c2 W E H dS dV J c Ee dV V V t
E
D 1 w E E E2 e t t t 2 t
有
E H
wm we w E Jc E Jc t t t
对上式两端作体积分
V
E H dV
S
第5章 时变磁场
5.3电磁场的基本方程•分界面边界条件
5.2.1 电磁场的基本方程组
l H dl E dS v dS S S l E dl
D dS S t
H Jc E B 0 D B t
B t
（2）式乘以 H 减去（1）式乘以 E
H E E H E H H
坡印廷定理 的微分形式 S E H 称其为坡印廷矢量或电磁能流密度矢量
B D E Jc E t t
第5章 时变磁场
又
H
B 1 w H H H 2 m t t t 2 t
z 0 处：k1 en H 2 ez H
E0 sin t x ey 0d
E0 z d 处： k2 en H 2 ez H sin t x ey 0d
第5章 时变磁场
5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
5.4.1 电磁场的能量密度
dV
S
E H dS
E H dS 0
S
表明流入S面的电磁功率等于流出S面的电磁功率
第5章 时变磁场
2. 长直圆柱载流导体中的功率损耗和功率传输问题
（1）ρ < a
I J c1 e a2 z
I E1 e 1 a 2 1 z
I
2
J c1
z
0 0
由全电流定理
I l H1 dl 2 H1 a 2 I H1 e 2 2 a
1 1 1
E1 H2 H1 S 2（ n e ） E 2n e
S 2t e z
E2t,ez
导体中的坡印廷矢量
I 2 S1 E1 H1 2 4 e 2 a 1
I2 0 0 2 3 e e dS 2 a 1 S1 I2 l 2 3 2 al 2 I 2 I 2 R P 2 a 1 a 1
E y H 1 1 E y E ex ez t 0 0 z x
E B t
E y E y H e e dt 0 z x x z 1 E0 cos z cos t x e E sin z sin t x e x 0 z dt 0 d d d E z z 0 cos sin t x ex sin cos t x ez 0 d d d 1
两边同时除 l H1t H 2t＝ lim ls t h =k h0 说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将 发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向 方向是连续的。
I
D
第5章 时变磁场
（2）折射定律
E1sin1 E2sin 2
第5章 时变磁场
（2）两块导电平板表面上的面电荷密度
z 0 处：E 0 H
E0 sin t x ex 0d E0 E 0 H sin t x ex z d 处： 0d
E、H都满足理想导体分界面边界条件，两块导电平板表面 没有面电荷存在。 （3）两块导电平板表面上的面电流密度：
在静电场中，能量密度为
wm 1 H B 2
we
1 ED 2
在恒定磁场中，能量密度为
,在时变磁场中，能量密度为
w we wm 1 1 ED H B 2 2
5.4.2 坡印廷定理和坡印廷矢量
由电磁场基本方程的第1、第2方程
H J c D t
E
第5章 时变磁场
5.4.3 恒定电磁场中的坡印廷定理 1. 恒定电磁场中的功率平衡方程
E H dS
S
V
J c Ee dV
Jc2
V
dV
若V中没有外电源，Ee 0
J c2
V
表示导体中的热耗是由导体外部进入导体的电磁能量所补偿的。 没有热耗 若为理想导体，
I2 S1 a 2 3 e 2 a 1
S1
a
长直载流导线内外的恒定磁场
第5章 时变磁场
设导线长为l，由公式计算
J c2
V
dv S1 dS S1 dS S1 dS S1 dS S1 S1下底 S1侧 S1上底
P
n E1 E2 0
H 1 (E1 )
α 1(β 1)
说明：电场强度的切向分量是连续的。
媒质分界面上的场矢量
第5章 时变磁场
3）H的边界条件
与上图类似，由安培环路定律
即 H1t Fra Baidu bibliotekl H 2t l I
l
H dl I
D lim J s ds ds s s t h 0 D lim I s hl h 0 t
1 E1cos1 2 E2cos 2 H1sin1 H 2sin 2 1 H1cos1 2 H 2 cos 2
导出 tg1 1
tg 2
2 tg1 1 tg 2 2
en
2 2 2 1 1 1
α 2(β 2)
H 2 (E 2 )
P
H 1 (E1 )
2
V dV ：区域V中传导电流在导体中引起的热损耗功率；
Jc
V
J v EdV
：区域V中电荷运动所作机械功率；
V
J c Ee dV ：外部电源向区域V中提供的电功率；
S
E H dS ：通过包围V区域的闭合面S向外区域输送的功率
表示单位时间内流出S面的电磁能量。称为电磁功率流
B dS S t
D D ( J v ) t t
S S
B dS 0 D dS q
物质方程：
D 0 E P E B 0 (H M ) H Jc E
第5章 时变磁场
5.2.2 媒质分界面衔接条件
（1）两中媒质分界面边界条件 1) B、D 的边界条件
理想导体与空气相界情况
第5章 时变磁场
例1. 在两块导电平板 z 0 和 z d 之间的空气中传播的电磁波 电场强度为
E E0 sin
d
z cos t x ey
为常数。
试求：（1）磁场强度H；（2）两块导电平板表面上的面 电荷密度σ；（3）两块导电平板表面上的面电流密度k。
Ee
坡印廷定理 的积分形式
第5章 时变磁场
若V空间中还包含真空，存在有运流电流
J v v
坡印廷定理为
S
Jc2 W E H dS dV J v EdV J c Ee dV V V V t
W t
：区域V中电磁场能量的增加率；
α 1(β 1)
媒质分界面上的场矢量
第5章 时变磁场
（3）理想导体表面处的边界条件 在导体侧
H 2t k E2t E1t 0 B2 n B1n 0 D2 n
B2 , H 2
E1 D1 0 H1 B1 0
en
E 2 , D2
2 1
k
P
E1 D1 H 1 B1 0
B1n B2 n
D1n D2n s
2）E 的边界条件
由
l
E dl
B ds s t
2 2 2 1 1 1
en
α 2(β 2)
H 2 (E 2 )
B E dl E l E l lh 1t 2t 可得 l t
因此
E1t E2t
w dV E J c dV V t V W E H dS E J c dV V t
如果V中包含有外电源，有局外场强Ee存在
J c E0 E Ee
E
Jc
代入上式有： S
J c2 W E H dS dV J c Ee dV V V t
E
D 1 w E E E2 e t t t 2 t
有
E H
wm we w E Jc E Jc t t t
对上式两端作体积分
V
E H dV
S
第5章 时变磁场
5.3电磁场的基本方程•分界面边界条件
5.2.1 电磁场的基本方程组
l H dl E dS v dS S S l E dl
D dS S t
H Jc E B 0 D B t
B t
（2）式乘以 H 减去（1）式乘以 E
H E E H E H H
坡印廷定理 的微分形式 S E H 称其为坡印廷矢量或电磁能流密度矢量
B D E Jc E t t
第5章 时变磁场
又
H
B 1 w H H H 2 m t t t 2 t
z 0 处：k1 en H 2 ez H
E0 sin t x ey 0d
E0 z d 处： k2 en H 2 ez H sin t x ey 0d
第5章 时变磁场
5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
5.4.1 电磁场的能量密度
dV
S
E H dS
E H dS 0
S
表明流入S面的电磁功率等于流出S面的电磁功率
第5章 时变磁场
2. 长直圆柱载流导体中的功率损耗和功率传输问题
（1）ρ < a
I J c1 e a2 z
I E1 e 1 a 2 1 z
I
2
J c1
z
0 0
由全电流定理
I l H1 dl 2 H1 a 2 I H1 e 2 2 a
1 1 1
E1 H2 H1 S 2（ n e ） E 2n e
S 2t e z
E2t,ez
导体中的坡印廷矢量
I 2 S1 E1 H1 2 4 e 2 a 1
I2 0 0 2 3 e e dS 2 a 1 S1 I2 l 2 3 2 al 2 I 2 I 2 R P 2 a 1 a 1