第五章 时变电磁场.

其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒
质。这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。
3）上面的电流
J 包括传导电流
Jc
E 和运移电流
Jv

v
2 边界条件：
§5.2 时变电磁场的唯一性定理
1 如果 1）一个区域内 t 0 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界
§5 4 正弦电磁场
1 与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以把一般随时间变化的时变电磁场，用傅
立叶变换分解为许多不同时间频率的正弦电磁场（简谐场，也称时谐电磁场）的叠加。
2 时谐电磁场中场量的瞬时表示式：
以余弦函数为基准（工程界惯例。少数也有用正弦函数的），以电场强度矢量为例
E(
x,
y,
损耗，有 j 上式可写成

S
ds
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

(1E 2 1 E 2 1 H 2 )dV j2
( 1 H 2 1 E 2 )dV
s
V2
2
2
V4
4
V (PT Pe Pm )dV j2 V (mav eav )dV
介电质损耗角正切： tan


磁介质损耗角正切： tan


8 复数坡印亭矢量，复数坡印亭定理。 1）即使是时谐电磁场，由于坡印亭矢量是电场与磁场的矢量乘法，其瞬时表示式与其复数 表示式的关系不再是简单的取实部的关系。经推导可得（参考教科书 145－146 页）坡印亭
Re[ (Ee jt )] Re[ (Be jt )] t
复数相等与其实部及虚部分别相等是等效的，故可以去掉上式两边的 Re ，接着可以消去
e jt ，得到
E jB
上面的方程里已经没有时间变量了，因此方程得到了简化。从形式上讲，只有把微分算子 t
Re[Ex
(x,
y,
z)e
j (t x )
]

ay
Re[E y
( x,
y,
z)e
j (t y
)
]

az
Re[ E z
( x,
y,
z)e
j (t z )
]

ax
Re Ex (x,
y, z)e jt

ay
Re Ey (x,
y, z)e jt

az
Re Ez (x,
J(
x,
y,
z
)e
jt
]
上面的表示式建立了时谐电磁场场量的瞬时表示式与复数表示式之间的联系。
4 Maxwell 方程的复数形式
以电场旋度方程


E


B
为例，代入相应场量的复数表示式，可得
t
[Re(Ee jt )] [Re(Be jt )] t
、 可与 Re 交换次序，得 t
§5.1 时变电磁场方程及边界条件
1 1)因为 不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。其基本方程就是 Maxwell 方程。 t
微分形式：


H

J
D

E


t B
t
D

B 0


J


t
矢量 S 的瞬时表示式与电场强度和磁场强度复数表示式之间的关系
S

1
Re[E
H* ]

1
[E
He
j 2t
]
2
2
由上式可计算出 S 在一个时间周期内的平均值
S av

Re[ 1 2
E
H* ]
于是可以定义复数坡印亭矢量
S
1
E
H*
，因此有
S
1
面上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量已知，则该区域内每一点 t 0 时Maxwell
方程组有唯一的确定解。
§5.3 时变电磁场的位函数
1 关于电场的波动方程：
由


E


B
得
t




E



B
t
左边由矢量恒等变换得（考试点）




E

(

E)


积分形式
ccsssEHBDJdddddsslsl0Vs(VsJdBtVt ddDVts)

ds
2）物质（本构）方程：
在线性、各向同性媒质中
D E B H
5 边界条件的复数形式：边界条件由于不含有时间导数，故复矢量形式的边界条件与瞬时表 示式形式的边界条件在形式上完全一样。
6
波动方程的复矢量形式：因为 t

j
，故
2 t 2
2 因此矢量位复数形式的波动方程
是
2 A 2A J
令 k 2 2
波动方程可写成
物理意义：上式右边是体积内的有功功率和无功功率，所以上式左边的面积分是穿过闭合面
的复功率，其实部是有功功率，即功率的平均值。
3）复数坡印亭定理的应用：可以用它计算一个电磁系统（电磁场分布区域）的等效电路参
数 R,C, L 。
6
第五章 时变电磁场
1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的 电磁场。由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。 2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2）电场和磁场共存，不 可分割。3）电力线和磁力线相互垂直环绕。 3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电 场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。第六章以平面波为例，首先研究无限 大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。然后介绍半无限大区域内 的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标 方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐 振特性。第八章介绍了电磁波的产生－天线。 4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。 2）基本方法：复矢量
6 Helmholtz 方程：
在无源区域， 与 J 均为零，上述场量和位函数的波动方程变为齐次波动方程，即 Helmholtz
方程：
2
E

2E t 2

0
2H


2H t 2

0
2
A

2A t 2

0
3
2


2 t 2

0
若静态场， 0 ，上述波动方程退化为相应的泊松方程和拉普拉斯方程。 t
j
虚部表示有能量损耗，从能量损耗的角度， 与 作用一样。考虑上述两种能量损耗，总
的复介电常数是
5
c


j(

)
2 ）同样在磁介质有损耗的情况下，也可以采用复数磁导率，
c j
3） 损耗角正切：表示介质损耗的相对大小。

Re[S]
。
2
2) 复数坡印亭定理：
经推导可得（参考教科书 146－147 页）复数坡印亭定理

(
1
E
H*
)

ds

1E J*dV j (1B H* 1 E D* )dV
s2
V2
V2
2
如果考虑传导电流的焦耳热损耗，有 J E；极化电流的介电损耗，有 j ；磁
2H


2H t 2


J
3 既然 Maxwell 方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要波动方程：答案是求解的需 要。Maxwell 方程里电场和磁场耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它们 有各自的波动方程。后者有时便于求解，但方程的阶数是二阶，比 Maxwell 方程高一阶。 所以也有不用波动方程，直接用 Maxwell 方程求解。现在流行的 FDTD 方法就是直接求解 Maxwell 方程。用于电磁场模拟仿真软件 CST 就是基于 FDTD 方法。

2
E

(

)


2
E

右边


B t

t
(

B)


t
(

H)


t
(J
D ) t


J t


2E t 2
故得关于电场的波动方程：
2 E


2E t 2


J t


2 用类似的方法可以得到关于磁场的波动方程（补充作业）
dl

s( J
jD)

ds
cE
dl


j
sB
ds
积分形式
s s s
D
ds

B ds
J ds
V dV
0
jV dV
线性、各向同性媒质中，有
D E B H J E J v
y, z)e jt

Re[(ax
Ex (x,
y,
z)

ay
Ey (x,
y,
z)

az
Ez
(
x,
y,
z))e
jt
]

Re[ E( x,
y,
z)e
jt
]
E(x, y, z) 称为电场强度的复矢量。同样时谐电磁场的其它场量也可以有类似的表示式，如
J(
x,
y,
z,
t
)

Re[
4 时变电磁场的位函数


1） 矢量磁位的定义（同静磁场定义）： B A
2） 标量电位的定义（不同于静电场）：由于电场的旋度不等于零，不能直接定义。但有

E

B



(
A)


A
t t
t
可得


(E

A)

0
t
我们可以令
(E

A)


t
上面就是标量电位的定义。由上式可得
2
E




A
t
这样我们就实现了用位函数表示电磁场量的目的。
5 位函数的波动方程：
1）矢量位的波动方程

A


B

J

E t

J

t




A t


J
z,
t
)

ax
E
x
(
x,
y,
z)
cos(t


x
)

ay
E
y
(
x,
y,
z
)
cos(t


y
)

az
E
z
(
x,
y,
z
)
cos(t


z
)
注意场量与时间变量 t 的关系非常简单和确定，这是引入复矢量的前提。
3 时谐电磁场中场量的复数表示式
上式可以也表示为
E ( x,
y,
z,t)

ax

t


2A t 2


根据恒等式 A ( A) 2 A
上式可写成：
2
A

2 t
A
2

J
(

A

t
)
由于矢量位 A 的散度尚待规定，从简化角度，我们可以令：

A



0
t
这就是洛仑兹规范（请与库仑规范比较）。由此可得矢量位的波动方程
用 j 代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。如复数
形式的 Maxwell 方程
4
微分形式

DEHJjBjD


B
0



J

j

cH
2 A k 2 A J
7 复数介电常数，复数磁导率：
1） H J jD E jE j( j )E
令 j 为导电媒质的等效复介电常数，则上式可写成
H jE
用途：把导电媒质也视为一种等效的电介质，从而可以统一采用电介质的分析方法。 另外，即使介质不导电，也会有能量损耗，且与频率有关。这时同样可以用复介电常数表示 这种介质损耗，即
2
A

2
A

J
t 2
2） 标量位的波动方程：


E



(

A) t

( 2



A) t

( 2

t
(

A))

( 2


2 t 2
)
同时


E




故得标量位的波动方程 2 2 t 2