北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习

数

学 2020. 01

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}

（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}

（2）抛物线2

4y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)

（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-

（3）下列直线与圆22

(1)(1)2x y -+-=相切的是

（A ）y x =- （B ）y x =

（C ）2y x =- （D ）2y x =

（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）

11a

b <

（B ）sin sin a b >

（C ）1

1

()()33

a

b

<

（D ）22a b >

（5）在5

1()x x

-的展开式中，3

x 的系数为 （A ）5-

（B ）5

（C ）10-

（D ）10

（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为

（A ）12

-

（B ）

12

（C ）32

-

（D ）

32

（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =下列结论中错误

的是

（A ）2BD

CD

= （B ）

2ABD

ACD

S S ∆∆= （C ）

cos 2cos BAD

CAD

∠=∠ （D ）

sin 2sin BAD CAD ∠=∠

（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12

()10lg

110x f x -=⨯⨯.

喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍

（B ）810倍

（C ）1010倍

（D ）1210倍

（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如

图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面

11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与

C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：

①线段2PQ 长度的取值范围是12

[2；

②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③

（B ）②③

（C ）①③

（D ）①②

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）在等差数列{}n a 中， 25a =，52a =，则7a =_________. （12）若复数1i i

z +=

，则||z =_________.

（13）已知点A 3)，点B ,C 分别为双曲线

222

13

x y a -

= (0)a >的左、右顶点. 若△ABC

为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. （14）已知函数()a f x x x

=+

在区间(1,4)上存在最小值，则实数a 的取值范围是_________.

（15）用“五点法”作函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象时，列表如下：

A 1

B 1

C 1

B

C

D

则(1)f -=_________，1

(0)()2

f f +-=_________.

（16）已知曲线C ：44221x y mx y ++=（m 为常数）.

（i ）给出下列结论：

①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；

③当1m =-时，若点(,)P x y 在曲线C 上，则||1x ≥或||1y ≥.

其中，所有正确结论的序号是 .

（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是 .（写出一个即可）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （17）（本小题共13分）

已知函数2

1()cos 3cos 2

f x x x x =+-.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1，求m 的最小值.

（18）（本小题共13分）

如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M ，N 分别为VA , VB 的中点. （Ⅰ）求证：AB //平面CMN ； （Ⅱ）求证：AB VC ⊥；

（Ⅲ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.

（19）（本小题共13分）

某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分

x

14-

12 54 2

114

x ωϕ+

0 2

π

π

32

π

2π ()f x

2 0 2-

N

M