数学中考专题复习锐角三角比

至善教育
讲义
学生姓名：王益斌
授课老师：付老师
科目：初三数学
授课时间：10:10 —12:10
课次：第13 次
教研组长：
教务主任签字：
实际时间： 5 月 6 日
报名地点：萧山区北干街道工人路897号（新白马公寓旁）
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专题复习：锐角三角函数
一、【知识梳理】
1.直角三角形的边角关系（如图） （1）边的关系（勾股定理）：a 2+b 2=c 2； （2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系：
①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭
②：锐角三角函数：
∠A 的正弦=A a sin A=c
∠的对边，即斜边
；∠A 的余弦=A b cos A=c
∠的邻边，即斜边 ,
∠A 的正切=A a tan=A b
∠的对边，即∠的邻边
2.特殊角的三角函数值．
3.三角函数的关系
互为余角的三角函数关系．
（90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA
同角的三角函数关系．
①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×tanB =1 (A+B=90) ③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A A A A A
A
==
4.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较
①正弦、正切函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。

(2) 异名函数的大小比较,先转化为同名函数再比较
α 30 45 60 sin α cos α tan α
二：【课前练习】
1.点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是：
2.在 △ABC 中，已知∠C ＝90°，sinB=0.6，则cosA 的值是（ ）
3443
.
. . .4355
A B C D
3.已知∠A 为锐角，且cosA ≤0.5，那么（ ） A ．0°＜∠A ≤60° B ．60°≤∠A ＜90° C ．0°＜∠A ≤30° D ．30°≤∠A ＜90°
三：【历年中考考题剖析】
要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题
1.在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1
3
，则sin B ＝（ ）
A ．
1010 B ．23
C ．
3
4
D ． 31010
2.如图O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为
3
2
，2AC =，则sin B 的值是（）
A ．
23 B ．32 C ．34 D ．43
3.在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）
A ．3sin A =
B ．1
tan 2
A = C ．3cos
B = D ．tan 3B = 二、填空题
4.在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，5
3
sin =
A ，则A
B 的长是 cm ． 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则
sin α= ．
6.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，
3
sin
5
A=，则这个菱形的面积= cm2．
三、解答题
7.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，
且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =12
13
．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
8.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE BC
=，DF AE
⊥，垂足为F，连接DE．（1）求证：ABE
△DFA
≌△；
（2）如果10
AD AB
=，=6，求sin EDF
∠的值．
9.在△ABC中，AD是BC上的高，tan cos
B DAC
=∠，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若
12
sin
13
C=，BC=12，求AD的长．
D
A
B C
E
F
A
O
E
C D
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题
1.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）
A ．(21)，
B ．(12)，
C ．(211)+，
D ．(121)+，
2.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米
B ．83米
C ．
833
米 D ．43
3米
3.A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）
A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
C ．1323⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
， 二、填空题
4.
10
4cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______． 5.如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的
夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．
6.计算
sin 60tan 45cos30︒
-︒︒
的值是 。

7.计算：3－1+(2π－1)0－3
3
tan30°－tan45°
要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
一、选择题
1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就
有危险，那么梯子的长至少为（）
A．8米 B．83米 C．
83
3
米 D．
43
3
米
2.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树
在坡面上的距离AB为（）
A. α
cos
5 B.
α
cos
5
C. α
sin
5 D.
α
sin
5
3.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30
BAD
∠=°，在C点测得60
BCD
∠=°，又测得50
AC=米，则小岛B到公路l的距离为（）米．A．25 B．253 C．
1003
3
D．25253
+
二、填空题
4.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5
2米，则这个坡面的坡度为_________.
5.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时
间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为
_____________海里（结果保留根号）．
α
5米
A
B
6.小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安
全。

他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈
0.97）
三、解答题
7.如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角 为30，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）
8.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

9.如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为
i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．
10.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板
AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449=== )
四、练习巩固：
一、选择题：
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4
3
tan =
A ，则sinA ＝（ ） A 、34
B 、43
C 、35
D 、5
3
2、已知cos α＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）
A 、600＜α＜900
B 、00＜α＜600
C 、300＜α＜900
D 、00＜α＜300
3、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是（ ）
A 、200
B 、300
C 、400
D 、500 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，下列式子不一定成立的是（ ）
A 、cosA ＝cos
B B 、cosA ＝sinB
C 、cotA ＝tanB
D 、2
cos 2sin B
A C +=
5、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，3
1
tan =
A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6
B 、5
C 、4
D 、2
6、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ）
A 、
βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β
cos 100
米 D 、βcos 100米 7、计算0030cot 3
3
60cos +
的值是（ ） A 、
27 B 、65 C 、2
3
D 、223+
二、填空题：
1、若α为锐角，化简αα2sin sin 21+-＝ 。

2、已知135cot cot 0=⋅β，则锐角β＝ ；若tan α＝1（00≤α≤900）则)90cos(0α-＝ 。

3、计算020*******sin 21cot 90cos 48tan 42tan 27sin +⋅-⋅+＝ 。

4、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若AC ∶AB ＝1∶3，则cotB ＝ 。

5、△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则cosB ＝ 。

6、已知，在△ABC 中，∠A ＝600，∠B ＝450，AC ＝2，则AB 的长为 。

三、计算与解答题：
1、000000090cot 0cos 45tan 60cos 0tan 30sin 90sin ⋅-⋅+++；
2、△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，试确定△ABC 的形状。

3、已知060sin =a ，045cos =b ，求a
b b
b a b a -+-+2的值。

10CB
CD
A 、cotA
B 、tanA
C 、cosA
D 、sinA
2、如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A 、αsin 1
B 、αcos 1
C 、αsin
D 、1 α
3、已知m
=
+α
αcos
sin，n
=
⋅α
αcos
sin，则m与n的关系是（）
A、n
m= B、1
2+
=n
m C、1
2
2+
=n
m D、n
m2
1
2-
=
4、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足0
2
2=
-
-b
ab
a，则tanA等于（）
A、1
B、
2
5
1+
C、
2
5
1-
D、
2
5
1±
五、课后作业：
1.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8
AB=，10
BC=，AB=8,则tan EFC
∠的值为 ( )
Ａ．
3
4
Ｂ．
4
3
Ｃ．
3
5
Ｄ．
4
5
A D
E
C
B
F
2.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在
1
A处，已知3
OA=，1
AB=，
则点
1
A的坐标是
3.如图，在等腰直角三角形ABC
∆中，90
C
∠=︒，6
AC=，D为AC上一点，若
1
tan
5
DBA
∠=，则AD的长为( )
A．2 B．2 C．1 D．22
4.如图，Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒,D是直角边AC上的点，且2
AD DB a
==,15
A
∠=︒，则BC边的长为．
5.如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若
4
tan
3
AEH
∠=，四边形EFGH的周长为40，则矩形ABCD的面积为 ______．
6.如图12所示，ABC
∆中，AB AC
=，BD AC
⊥于D，
6
BC=，
1
2
DC AD
=，则cos C=____．
7.等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______.
8.等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
9.ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是
A.23 cm2
B.43 cm2
C.63 cm2
D.12 cm2
10.在菱形ABCD中，60
ABC
∠=︒，AC=4,则BD的长是（）
83
A、43
B、23
C、8
D、
11.在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东600方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西300方向走了500米到达目的地C点.（1）求A、C两地之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向.
12.已知，如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区.一艘货轮由东向西航行，在B处测得岛A在北偏西︒
60，航行24海里后到C处，测得岛A在北偏西︒
30.请通过计算说明，货轮继续向西航行，有无触礁危险？
A
30
60
13.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线
AD =3
316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
D A
B C
14.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．
（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈2
1）.
15.在一次公路改造的工作中，工程计划由A 点出发沿正西方向进行，在A 点的南偏西60︒ 方向上有一所学校B ，如图，占地是以 B 为中心方圆100m 的圆形，当工程进行了200m 后到达C 处，此时B 在C 南偏西30︒的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．。