2019年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷 解析版

2019年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣4的倒数是（）
A．4B．﹣4C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．（﹣2a）2＝2a2B．a6÷a3＝a2
C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a•a2＝a2
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
4．（3分）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（）
A．0.76×104B．7.6×103C．7.6×104D．76×102
5．（3分）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A．平均数变大，方差变大B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变小，方差变小
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）4是的算术平方根．
8．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
9．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为．
10．（3分）因式分解：a3﹣9a＝．
11．（3分）已知a2﹣2a＝3，则2019+6a﹣3a2＝．
12．（3分）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为°．
13．（3分）已知二次函数y＝x2﹣6x﹣c的图象与x轴的一个交点坐标为（2，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为．
14．（3分）如图，扇形的半径为3，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S
△AGC＝．
16．（3分）如图，点C为的中点，CH⊥AB于H，CH＝1，AB＝2，点P为上一动点，延长BP至点Q，使BP•BQ＝AB2．若点P由点A运动到点C，则点Q运动的路径长为．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：tan45°﹣（）﹣1+
（2）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a＝
18．（8分）为了解我区初中学生课外阅读情况，调查小组对我区这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是；
（2）补全条形统计图；
（3）我区共有18000名初中生，估计我区初中学生这学期课外阅读超过2册的人数．19．（8分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4张（小猪佩奇）角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为．
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐
姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率．
20．（8分）江苏计划5年内全部地级市通高铁．某高铁在泰州境内的建设即将展开，现有大量的沙石需要运输．“泰安”车队有载质量为8t、10t的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输100t沙石．
（1）求“泰安”车队载质量为8t、10t的卡车各有多少辆；
（2）随着工程的进展，“泰安”车队需要一次运输沙石165t以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共7辆，车队有多少种购买方案？请你一一求出．
21．（10分）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于O，且DE∥AC，AE ∥BD．
（1）判断四边形AODE的形状并给予证明；
（2）若四边形AODE的周长为14，求四边形AODE的面积．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM的面积为2.5．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一点P，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆9m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）
24．（10分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲先出发，甲出发0.2小时后乙开汽车前往，设甲行驶的时间为x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为y1（km）与y2（km），如图是y1与y2关于x的函数图象．
（1）求x为何值时，两人相遇？
（2）求x为何值时，两人相距5km？（直接写出结果）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+2的图象与x轴交于A、B两点，过点B的直线BM交抛物线于点C（点C在x轴下方），交y轴于点M．（1）求点A、B的坐标；
（2）若点C为BM的中点，连接AC，求四边形OACM的面积；
（3）在（2）的条件下，将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数图象，若直线BM沿y轴向上平移m个单位与新的函数图象只有2个交点，直接写出m的取值范围．
26．（14分）如图，直线EF与⊙O相切于点C，点A为⊙O上异于点C的一动点，⊙O 的半径为4，AB⊥EF于点B，设∠ACF＝α（0°＜α＜180°）．
（1）若α＝45°，求证：四边形OCBA为正方形；
（2）若AC﹣AB＝1，求AC的长；
（3）当AC﹣AB取最大值时，求α的度数．
2019年江苏省泰州市姜堰区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣4的倒数是（）
A．4B．﹣4C．D．
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数，即可求解．
【解答】解：﹣4的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．（﹣2a）2＝2a2B．a6÷a3＝a2
C．﹣2（a﹣1）＝2﹣2a D．a•a2＝a2
【分析】利用同底数的幂的乘法、除法以及分配律即可求解．
【解答】解：A、（﹣2a）2＝4a2，选项错误；
B、a6÷a3＝a3，选项错误；
C、正确；
D、a•a2＝a3，选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法，分配律，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列后边一个小正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
4．（3分）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（）
A．0.76×104B．7.6×103C．7.6×104D．76×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7600＝7.6×103，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A．平均数变大，方差变大B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变小，方差变小
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】解：原数据的平均数为×（183+187+190+200+210）＝194（cm），
方差为×[（183﹣194）2+（187﹣194）2+（190﹣194）2+（200﹣194）2+（210﹣194）2]＝95.6（cm2），
新数据的平均数为×（183+187+190+200+195）＝191（cm），
方差为×[（183﹣191）2+（187﹣191）2+（190﹣191）2+（200﹣191）2+（195﹣191）2]＝35.6（cm2），
∴平均数变小，方差变小，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．
6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）
A．B．C．D．
【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED＝CDF，设CD＝2，CF＝x，则CA＝CB＝3，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
∴∠BED＝∠CDF，
设CD＝2，CF＝x，则CA＝CB＝3，
∴DF＝FA＝3﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2＝DF2，
即x2+4＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）4是16的算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．
8．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6个数，小于5的有4个，
∴P（小于5）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
10．（3分）因式分解：a3﹣9a＝a（a+3）（a﹣3）．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（3分）已知a2﹣2a＝3，则2019+6a﹣3a2＝2010．
【分析】把2019+6a﹣3a2化成2019﹣3（﹣2a+a2），然后代入求值即可．
【解答】解：∵a2﹣2a＝3，
∴2019+6a﹣3a2＝2019﹣3（﹣2a+a2）＝2019﹣3×3＝2010．
故答案为2010．
【点评】本题考查了代数式求值，对代数式进行适当变形是解题的关键．
12．（3分）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为15°．
【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD＝60°，即可得出∠2的度数．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠1+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∵a∥b，
∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠ACB＝60°﹣45°＝15°；
故答案为：15
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．
13．（3分）已知二次函数y＝x2﹣6x﹣c的图象与x轴的一个交点坐标为（2，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）．
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后利用对称性写出抛物线与x轴的另一个交点的坐标．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
14．（3分）如图，扇形的半径为3，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为1．
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长＝＝2π，
∴圆锥的底面半径为2π÷2π＝1．
故答案为：1．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S
△AGC＝4．
【分析】延长AG 交BC 于E ．易知S △AGC ＝×S △AEC ，由此计算即可解决问题．
【解答】解：延长AG 交BC 于E ．
∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝4，
∴S △ABC ＝•AB •AC ＝12，
∵G 是△ABC 的重心，
∴AG ＝2GE ，BE ＝EC ，
∴S △AEC ＝×12＝6，
∴S △AGC ＝×S △AEC ＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查三角形的面积，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，点C 为的中点，CH ⊥AB 于H ，CH ＝1，AB ＝2，点P 为上一动点，延长BP 至点Q ，使BP •BQ ＝AB 2．若点P 由点A 运动到点C ，则点Q 运动的路径长为 4 ．
【分析】连接AQ ，首先证明△ABP ∽△QBA ，则∠APB ＝∠QAB ＝90°，然后求得点P 与点C 重合时，AQ 的长度即可．
【解答】解：如图所示：连接AQ ．
∵BP•BQ＝AB2，
∴，
又∵∠ABP＝∠QBA，
∴△ABP∽△QBA，
∴∠APB＝∠QAB＝90°，
∴QA始终与AB垂直．
当点P在A点时，Q与A重合，
当点P在C点时，AQ＝2OC＝4，此时，Q运动到最远处，
∴点Q运动路径长为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，证得△ABP∽△QBA是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：tan45°﹣（）﹣1+
（2）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a＝
【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值、计算负整数指数幂、算术平方根、立方根，再计算加减可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝1﹣3+3+2＝3；
（2）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣
＝﹣，
当a＝﹣3时，
原式＝﹣
＝﹣
＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）为了解我区初中学生课外阅读情况，调查小组对我区这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是100；
（2）补全条形统计图；
（3）我区共有18000名初中生，估计我区初中学生这学期课外阅读超过2册的人数．【分析】（1）根据2册的人数除以占的百分比即可得到总人数；
（2）求出1册的人数是100×30%＝30人，4册的人数是100﹣30﹣40﹣20＝10人，再画出即可；
（3）用总人数乘以样本中课外阅读超过2册的人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）40÷40%＝100（册），
即本次抽样调查的样本容量是100，
故答案为：100；
（2）如图：
（3）18000×（1﹣70%）＝5400（人），
答：我区初中学生这学期课外阅读超过2册的人数是5400人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4张（小猪佩奇）角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为．
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率．
【分析】（1）直接利用求概率公式计算即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵姐姐从4张卡片中随机抽取一张卡片，
∴恰好抽到A佩奇的概率＝，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果数为1，所以姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的概率＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）江苏计划5年内全部地级市通高铁．某高铁在泰州境内的建设即将展开，现有大量的沙石需要运输．“泰安”车队有载质量为8t、10t的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输100t沙石．
（1）求“泰安”车队载质量为8t、10t的卡车各有多少辆；
（2）随着工程的进展，“泰安”车队需要一次运输沙石165t以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共7辆，车队有多少种购买方案？请你一一求出．
【分析】（1）根据“‘泰安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；
（2）利用“‘泰安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式求出购买方案即可．【解答】解：（1）设“泰安”车队载质量为8t、10t的卡车分别有x辆、y辆，
由题意，得，
解得，
所以“泰安”车队载质量为8t的卡车有10辆，10t的卡车有2辆；
（2）设载质量为8t的卡车增加了z辆，由题意得
8（10+z）+10（2+7﹣z）＞165，
解得z＜，
因为z≥0且为整数，
所以z＝0、1、2，则7﹣z＝7、6、5．
所以车队共有3种购车
方案：①载质量为8t的卡车不购买，10t的卡车购买7辆；
②载质量为8t的卡车购买1辆，10t的卡车购买6辆；
③载质量为8t的卡车购买2辆.10t的卡车购买5辆．
【点评】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于O，且DE∥AC，AE ∥BD．
（1）判断四边形AODE的形状并给予证明；
（2）若四边形AODE的周长为14，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）证出四边形AODE为平行四边形，由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出结论；
（2）设AO＝x，则OD＝7﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）解：四边形AODE为矩形．理由如下：
∵DE∥AC，AE∥BD．
∴四边形AODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°
∴四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形AODE的周长为14，
∴AO+OD＝7，
设AO＝x，则OD＝7﹣x
在Rt△AOD中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2＝（）2，
∴解得：x＝2或x＝5
∴四边形AODE的面积为2×5＝10．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是关键．
22．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM的面积为2.5．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一点P，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）反比例函数k的几何意义；
（2）作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点．联立方程组解出A、B坐标，利用已知点求出直线BC的解析式，P是直线BC与y轴的交点．
【解答】解：（1）设A（m，n），则
＝2.5，
∵S
△AOM
∴|k|＝2.5，
∵k＞0，
∴k＝5，
∴反比例函数的表达式为y＝．
（2）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P点．∵A，B是两个函数图象的交点，
∴，
解得或，
∴A（1，5），B（5，1），
∴C（﹣1，5），
设y BC＝kx+b，
代入B，C两点坐标得，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴P（0，）．
【点评】考查知识点：反比例函数k的几何意义；一次函数与反比例函数交点的求法；
待定系数法求函数解析式．
23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆9m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）
【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝9，
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH•tan∠CAH，
∴CH＝AH•tan∠CAH＝9tan30°＝9×＝3（米），
∵DH＝1.5，
∴CD＝3 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝6+（米），
答：拉线CE的长约为（6+）米．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
24．（10分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲先出发，甲出发0.2小时后乙开汽车前往，设甲行驶的时间为x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为y1（km）与y2（km），如图是y1与y2关于x的函数图象．
（1）求x为何值时，两人相遇？
（2）求x为何值时，两人相距5km？（直接写出结果）
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以分别求得甲乙对应的函数解析式，然后令两个函数的函数值相等，从而可以解答本题；
（2）根据题意，本题分为四种情况，然后分别计算出各种情况下的x的值即可解答本题．【解答】解：（1）设y1与x的函数关系式为y1＝k1x，
1.2k1＝72，得k1＝60，
即y1与x的函数关系式为y1＝60x，
设y2与x的函数关系式为y2＝k2x+b，
，得，
即y2与x的函数关系式为y2＝80x﹣16，
令60x＝80x﹣16，得x＝，
即当x为时，两人相遇；
（2）当0≤x≤0.2时，
60x＝5，得x＝；
当0.2＜x＜时，
60x﹣（80x﹣16）＝5，
解得，x＝；
当≤x＜1.1时，
（80x﹣16）﹣60x＝5，
解得，x＝；
当1.1≤x≤1.2时，
72﹣5＝60x，
解得，x＝；
由上可得，当x为、、或小时时，两人相距5千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x+2的图象与x轴交于A、B两点，过点B的直线BM交抛物线于点C（点C在x轴下方），交y轴于点M．（1）求点A、B的坐标；
（2）若点C为BM的中点，连接AC，求四边形OACM的面积；
（3）在（2）的条件下，将抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数图象，若直线BM 沿y 轴向上平移m 个单位与新的函数图象只有2个交点，直接写出m 的取值范围．
【分析】（1）令y ＝0，得到
x 2﹣x +2＝0，通过解该方程即可求得点A 、B
的横坐标． （2）过点C 作CH ⊥OB 于H ．利用三角形中位线定理求得CH 的长度，然后结合S 四边形OACM ＝S 四边形OABM ﹣S △ABC 求得答案．
（3）利用待定系数法求得直线BM 的解析式为y ＝
x ﹣．根据平移的性质得到新直线的解析式y ＝x ﹣+m ．当过点B （3，0）、A （1，0）和新抛物线相切时代入时满足题意，可求m 的范围．
【解答】解：（1）由题可知当y ＝0时， x 2﹣x +2＝0，
解得：x 1＝1，x 2＝3，即A （1，0），B （3，0）．
（2）过点C 作CH ⊥OB 于H ，
∵C 为BM 的中点，
∴CH 为△OBM 的中位线．
∴OH ＝．
∴C （，﹣
）． ∴OM ＝．
∴S 四边形OACM ＝S 四边形OABM ﹣S △ABC ＝
．
（3）设直线BM的解析式为y＝kx+b，
把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，
解得：b＝﹣，k＝，
∴y＝x﹣．
设平移后直线为：y＝x﹣+m．
当过点B（3，0）、A（1，0）和新抛物线相切时代入时满足题意，可求m的范围．∴或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．（14分）如图，直线EF与⊙O相切于点C，点A为⊙O上异于点C的一动点，⊙O 的半径为4，AB⊥EF于点B，设∠ACF＝α（0°＜α＜180°）．
（1）若α＝45°，求证：四边形OCBA为正方形；
（2）若AC﹣AB＝1，求AC的长；
（3）当AC﹣AB取最大值时，求α的度数．
【分析】（1）连接AO，CO，可先证四边形OCBA是矩形，再证其为正方形；
（2）连接CO并延长，交⊙O于D，连接AD，证△DAC与△CAB相似，利用相似三角形对应边的比相等即可求出AC的长；
（3）利用第（2）问的相似，可用函数的思想求最大值，再通过解直角三角形等即可求出α的度数．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，OC，
∵∠ACF＝α＝45°，AB⊥EF，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF与⊙O相切于C，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝45°，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝∠CBA＝∠COA＝90°，
∴四边形OCBA是矩形，
∵OA＝OC，
∴矩形OCBA是正方形；
（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于D，边接AD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠D+∠DCA＝90°，
∵∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB，
又∵∠DAC＝∠ABC＝90°，
∴△DCA∽△CAB，
∴＝，
设AC＝a，则AB＝a﹣1，
∵⊙O的半径为4，
∴CD＝8，
∴＝，
解得，a1＝4+2，a2＝4﹣2，
∴AC＝4+2或4﹣2；
（3）由（2）知，＝，
则＝，
∴AB＝a2，
∴AC﹣AB＝a﹣a2
＝﹣（a﹣4）2+2，
根据二次函数的性质可知，当a＝4时，AC﹣AB取最大值2，
如图3，当AC＝A'C＝4时，AB＝2，连接OA，OA'，
则△A'CO与△ACO是等边三角形，
∴∠A'CO＝∠ACO＝60°，
在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝2，
∴∠ACB＝30°，
∴A'CB＝150°，
∴α的度数为30°或150°．
【点评】本题考查了切线的性质定理，相似三角形的性质，用函数思想求最大值等，解题关键是要会灵活运用函数思想求极值．。