地下水动力学中Matlab的运用(井函数与贝塞尔函数)

地下水动力学中Matlab的运用

一、越流含水层中贝塞尔函数的实现

越流含水层中地下水向承压水井运动的问题中，贝塞尔函数大量运用，其中精确解中运用了零阶第二类虚宗量Bessel函数，一阶第二类虚宗量Bessel函数。

经简化后的Hantush-Jacob公式中也零阶第二类虚宗量Bessel函数。

在配线法中使用的是Hantush-Jacob公式，需要在双对数纸上绘制曲线，

而这在Matlab中很容易实现。Matlab中内置大量函数，其中包括五类Bessel函数，即besselj(nu,Z)、bessely(nu,Z)、besselh(nu,Z)、besseli(nu,Z)、besselk(nu,Z)，分别对应第一类贝塞尔函数，诺依曼函数，汉克尔函数，第一类修正贝塞尔函数以及第二类修正贝塞尔函数。而我们利用的即为第二类修正贝塞尔函数，相应的语句及图像如下：

x=0::10;

y0=besselk(0,x);

y1=besselk(1,x);

loglog(x,y0,x,y1);

grid on;

二、井函数的实现

地下水向完整井的非稳定运动中需要运用井函数，其指数积分式为

在Matlab中利用quad或quad8等积命令可实现求其近似值。但Matlab中内置的Maple函数库中包含Ei函数，但不可直接显示其函数值，可直接利用mfun函数调用Matlab中的Maple函数库，以达到求值的要求。相应的语句及图像如下：for i=1:160

u(i)=10^(-15+i/10); %生成等比数列，便于画双对数坐标图像

end

for i=1:160

w(i)=mfun('Ei',1,u(i));

end

loglog(u,w);

grid on;

井函数数值的验证：

U10-1510-1410-1310-1210-1110-10

W(u)

U10-910-810-710-610-510-4

W(u)

U10-310-210-1100101

W(u)

三、利用非线性规化获得Theis解析模型数值解

Theis公式既可以用于水位预测，也可以用于求含水层参数。而在解决后者这一逆问题时，传统的方法是配线法或Jacob直线图解法，其精度不高且随意性较大。利用Matlab中非线性规化函数fmincon的功能实现统一的评判标准，保证解的唯一性与可靠性。由于我们在上面已经解决了井函数的求值问题，故只需编写非线性规划的目标函数即可。

此处最优解的原则是使目标函数值最小，也即目标函数决定了整体的优化评判标准。常见的方法是使理论值与实际值的方差最小，并认为此时函数曲线最契合实际数值点。所以Theis模型的目标函数如下

其中表示权数，代表数据的可信度，一般设为1。与分别表示某时

刻某一点水位值的理论值与实际值。Matlab语句编写如下：

function E =fune(x)

t=T; %调用时间点的M文件

s=S; %调用降深值的M文件

r=R; %调用观测距离的M文件

Q=q; %调用流量的M文件

E=0;

for n=1:length(r)

for m=1:length(t)

a=r(n)^2*x(2)/(4*x(1)*t(m));

E=E+(Q/(4*pi*x(1))*mfun('Ei',1,a)-s(n,m))^2;

end

end

目标函数实现后即可在非线性规划函数中调用，fmincon中变量很多，但一般Theis 模型没有对应的线性不等约束或者线性等式约束，故只需限定上下限即可，而初值可根据经验取得相应的数量级即可。具体实现代码如下：

function [x fval]=funm

[x,fval] = fmincon('fune',[300;],[],[],[],[],[1;],[10000;]);

四、验证与计算

利用上述函数可根据所测得的数据计算得含水层的导水系数T与贮水系数，而所需要提供的数据包括观测时间，观测点与井的距离以及观测点的降深。由于编写的fune函数中可直接调用上述数据，故使用时只需将对应的数据矩阵导入文件夹即可。

现利用课本上的习题进行验证结果的可靠性。

（1）利用《地下动力学》课本中100页中观2与观15的两个孔的数据进行测试，结果如下：

目标函数值E=

书上利用配线法的计算结果如下：

目标函数值E=

（2）利用所提供的PDF文件中观测数据，上述Matlab程序计算结果如下：

目标函数值E=

PDF文件中自身程序计算结果为：

目标函数值E=

两者的区别源于井函数的求值部分的差异，本报告使用的是Matlab内置的Maple 函数库，而PDF中利用的quad8积分函数。但两者计算结果相差不大，且理论上讲利用内置函数库的方法更加精确。

通过上述验证我们可以确定Matlab的数值方法可靠度高，且计算过程简便。现计算所提供的两道习题：

习题1.在某均质、各向同性的承压含水层中，有一完整抽水井，其抽水量为1256 m3/d，已知含水层的导水系数为100 m2/d，导压系数为100 m2/min。试求：（1）抽水后10min、100min、1000min时，距抽水井10m处的水位降深，以及所反映水位降深的分布规律；（2）抽水后90min后距水井3m、30m、300m处的水位降深，以及所反映水位降深的分布规律。

解：由题知导水系数T=100 m2/d，导压系数a=100 m2/min，流量Q=1256 m3/d

Theis降深公式

其中

（1）将t=10min、100min、1000min以及r=10m代入可得

u=、、

再代入前面的井函数程序中可得

W(u)= 、、

再代入Theis公式中即可求得降深

S=、、

由此可知同一观测点的水位降深随时间增加而增大，但增大的速率逐渐减小。（2）将r=3m、30m、300m以及t=90min代入可得

u=、、

再代入前面的井函数程序中可得

W(u)= 、、

再代入Theis公式中即可求得降深

S= m、 m、 m

由此可知同一时刻，观测点与抽水井的距离越大，其水位降深越小。

习题2. 在承压含水层中有一完整井，以抽水量Q= m3/s进行抽水试验，在距抽水井10 m处有一观测孔，其观测资料如下表所示。试用配线法求该承压含水层的导水系数T和

累加时间/min水位降深/m累加时间/min水位降深/m

15

220

30

350