华科土木弹性力学试题

华中科技大学土木工程与力学学院

《弹性理论》考试卷（闭卷）

成绩

学号 专业 班级 学生姓名

1.图示曲梁受纯弯曲作用，试写出应力边界条件。（10分）

2.无体力情况下平面问题的应力分量)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，

Cxy xy =τ是否可能在弹性体中存在。其中，常数A ，B ，C 不全为零。

（10分）

解：为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

3.已知在直角坐标系中，物体内某一点的应力分量为20x σ=，0y σ=，

10z σ=-，40xy τ=，0yz τ=，30zx τ=，试求过此点方程为2260

x y z ++-=的平面上的正应力。（10分）

解：13l =

=

，2

3m n ===， []26028.99x xy xz n xy y yz xz yz z l l

m n m n σττστστττσ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

4.在板内距边界较远的某一点处有一半径为a 小圆孔，在垂直于x 轴的板边受均布拉力，另两对边受均布压力，四边均受有均布切向力，这些面力的集度均为q ，试求孔边的最大正应力。（10分） 己知在没有四周切向力作用时板的应力分量为：

2222cos 2113a a q ρσϕρρ⎛⎫⎛⎫

=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

44cos 213a q ϕσϕρ⎛⎫

=-+ ⎪⎝

⎭

2222sin 2113a a q ρϕ

τϕρρ⎛⎫⎛⎫

=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝

⎭

解：1σ

，2σ=，

孔边应力0ρρϕστ==

，cos2ϕσϕ=- 孔边最大应力(

)max ϕσ=

5.试考察应力函数()223342F

xy h y h

φ=-在图示矩形边界中能解决什么问题。（15分）

xy h F y x 32212=∂Φ∂=σ 0

22=∂Φ∂=σx y )123(22232y h h F y x xy --=∂∂Φ∂-=τ

上边界的面力：

)

(2

=τ-=-

=h

y xy x f

)

(2

=σ-=-

=h y y y f 下边界的面力：

)

(2

=τ==

h

y xy x f

)

(2

=σ==

h y y y f

左边界的面力： 0)(0=σ-==x x x f )123(2)(2

230y h h F f x xy y -=

τ-==

y 方向的合力F

dy f F h h y y

==⎰

∑-22

（方向向下）

右边界的面力：

ly h F f l x x x 312)(=

σ== )123(2)(2

23y h h F f l x xy y --=τ==

y 方向的合力

F

dy f F h

h y y

-==⎰

∑-22

（方向向上）

x 方向面力的主矩

Fl

dy yf M h h x -==∑⎰

-22

（顺时针方向）

根据上述面力分布特点，可以判断题中所给应力函数能解决图示矩形板如下问题：左端受向下的集中力F ，右端为固定端的悬臂梁问题。

6. 图示挡水墙的密度为1ρ，厚度为b ，水的密度为2ρ，试求应力函数的具体形式（不需要求出其中的待定系数）。（15分）

解：根据面力特点，假设()0

==y xf y

σ，得到：

由相容方程得

22

2

1(), ()() , 2y Φσxf y x Φx f y f y x ∂==∂∂=+∂432

4

425432

1142

432

224

d 0 , ;d d d 20, ;d d 106d 0, .d f f Ay By Cy D y

f f A B f y y Gy Hy Iy y y f f Ey Fy y

==++++==--+++==+得得得

7. 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试求位移和应力分量，不计体力。（15分）

附：平面极坐标问题的基本方程如下

平衡方程 01=+ρσ-σ+ϕ∂τ∂ρ+ρ∂σ∂ρϕρρϕρ

f ； 021=+ρτ+ρ∂τ∂+ϕ∂σ∂ρϕρϕ

ρϕϕf

几何方程

ρ∂∂=

ερρu ；

ϕ∂∂ρ+

ρ=

εϕ

ρϕu u 1 ；

ρ-

ρ∂∂+ϕ∂∂ρ=γϕϕρρϕu u u 1 解：根据题中所给条件可知位移为轴对称，即0

=ϕu ，

)

(ρ=ρρu u 代入

几何方程得

ρ=

ερρd du ，

ρ=

ερ

ϕu ，0=γρϕ

由物理方程得到

)(1)(12

2ρμ+ρ

μ-=με+εμ-=σρρ

ϕρρu d du E E )(1)(12

2ρμ+ρ

μ-=με+εμ-=

σρρ

ρϕϕd du u E E ， 0=τρϕ 代入平衡方程，得 0122

2=ρ-ρρ+ρρ

ρρ

u d du d u d ，

解此欧拉方程得到 ρ

+ρ=-ρC A u 1

于是，应力分量为

[]

C A E )1()1(12

2

μ++ρμ--μ-=

σ-ρ，

[]

C A E

)1()1(122

μ++ρμ-μ-=

σ-ϕ

应力有限值条件

)(=ρρσ和

)(=ρϕσ均为有限值要求0=A

应力边界条件 q f r -=σ==ρρρ)(，

q E C μ

--

=1；0)(=τ==ρρϕϕr f ，满足