点到直线的距离公式(最新课件)

(x,0),x∈y( a , a
B(0,b)
)
可求得lAB:(
bx ay ab 0
)
lCB:( bx ay ab 0 )
F
|PE|=( bx ab
)
E
a2 b2
x C(-a,0) O P A(a,0)
|PF|=( bx ab
)
2ab a 2 b2
A到BC的距离h=(
)
a2 b2
（其中A、B不同时为0）的距离为
d Ax0 By0 C A2 B2
注： A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0 时一般不用此公式计算距离。
例1:求点P(-1，2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解：①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
y
22 12
d
Q·
O
x
·S
l : Ax By C 0
过 程 设 计：
过点P作 x 轴、y 轴的垂线 l 交于点S、R
用 x0、y0 表示点 S、R的坐标
方法②
利用直角三角形面 积公式的算法框图
求出 PR 、PS
利用勾股定理求出 RS
根据面积相等知 d RS PR PS 得到点 P 到 l 的距离 d PQ
（A ）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D ）
A.4
B.ห้องสมุดไป่ตู้2 3
C.5 3
D.7 13
13
26
26
5.完成下列解题过程：
⑴P在x轴上，P到直线l1: x - 3 y +7=0与直线
l2: 12x-5y+40=0的距离相等，求P点坐标。 解：设P(x,0),
y P（x0,y0)
Q
O
x
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尝试
合作 思考：最容易想到的方法是什么？
交流
思路①. 依据定义求距离，其流程为：
求l 的垂线l 1的方程
解方程组，得交点Q的坐标 求P Q
反思：这种解法的 优缺点是什么？
y P（x0,y0)
Q
O
x
l
还有其 它方法 吗？
思路② 利用直角三角形的面积 公式的算法
y
R·
·P x0, y0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 Q 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ
C2 C1 A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为
点到直线的距离公式
点到直线的距离
点到直线的距离
点到直线的距离公式的推导过程
y
点到直线的距离的定义
过点 P 作直线 l 的
Q
垂线，垂足为 Q点，线
O
段 PQ 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离。
P（x0,y0)
x
l
创设情境
已知点P（x0,y0）和直线l
Ax+By+C=0, (假设A、B≠ 0)
求点P到直线l 的距离。
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
x l:3x=2
d 2 (1) 5
3
3
用公式验证，结果怎样？
例2：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2xx-7y-6=0
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3，0)
根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x 307
=
12 ( 3)2
12x 5 0 40 122 (5)2
解得： x 1 或 x 171
所以P点坐标为：
(1,0)
37 或
(
171
,0)
37
⑵ 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两
腰的距离之和等于一腰上的高。
证明:建立如图直角坐标系,设P
思路② ：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
Q AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作y轴的平行线,交l与点S x0, y2
Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
d Q
x1
By0 C A
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
尝试回忆
要记牢 哦！很 重要的！
1.点 到 直 线 的 距 离: d Ax0 By0 C A2 B2
2.两平行线间的距离公式: d | C2 C1 | A2 B2
对应相同的形式。
小结
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式；
5.用此公式时直线要先化成一般式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少
Q 呢l2？ 任意两条平行直线都可
O
x
以写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
则m等于
（D ）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
A
B
l
y
R
Q
O
P
d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
辨析反思
反思1：在使用该公式前，须将直线方程化为 一般式。
反思2：前面我们是在A，B均不为零的假设下推导 出公式的， 若A，B中有一个为零，公式 是否仍然成立？
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点到直线距离公式
点 P(x0, y0 ) 到直线 Ax By C 0