Banach空间集值映射的度量正则性与变分方程的Lipschitz稳定性
Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近
Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。
Banach空间中强伪压缩算子的Ishikawa迭代过程
Banach空间中强伪压缩算子的Ishikawa迭代过程
杨永琴
【期刊名称】《西南师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(023)006
【摘要】在一般的Ｂａｎａｃｈ空间中，研究了非线性强伪缩算子的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列收敛问题，推广和改进了近期的一系列相应结果。
【总页数】5页(P642-646)
【作者】杨永琴
【作者单位】重庆交通学院计算机系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Banach空间中强伪压缩算子带误差的 Ishikawa迭代过程 [J], 杨永琴
2.关于强伪压缩算子与强增生算子的Ishikawa型迭代序列收敛性的特征 [J], 曾六川
3.q一致光滑Banach空间中非线性Ф-强伪压缩映射和强增生映射的Ishikawa迭代过程 [J], 范瑞琴;薛志群
4.强伪压缩算子带误差的Ishikawa迭代的强稳定性 [J], 金茂明;邓磊
5.任意Banach空间强伪压缩算子的Ishikawa迭代程序的稳定性 [J], 薛志群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Banach空间上的不动点理论及其应用
Banach空间上的不动点理论及其应用Banach空间是数学中的一个重要概念，它在函数分析领域具有广泛的应用。
不动点理论是研究映射在自身上是否存在不动点的数学理论。
本文将介绍Banach空间上的不动点理论，探讨其应用领域和意义。
一、Banach空间的定义和性质Banach空间是一个完备的向量空间，具有一个范数，使得该空间中的任意Cauchy序列收敛于该空间中的某一元素。
Banach空间的一个重要性质是完备性，即任意柯西序列在该空间内收敛。
Banach空间的完备性对于不动点理论的推导和证明至关重要。
二、不动点理论的基本概念在Banach空间上，给定一个映射F，若存在一个元素x使得F(x) = x，则称x为F的不动点。
不动点理论研究的是映射在自身上是否存在不动点，并通过各种方法寻找和证明不动点的存在性和唯一性。
三、不动点理论的证明方法1. 压缩映射原理：若存在一个常数k (0<k<1)，使得对于任意x和y，有d(F(x),F(y)) ≤ kd(x,y)，其中d为Banach空间中的距离函数。
则F为压缩映射，且存在唯一的不动点。
2. 构造性证明：通过构造合适的映射函数，找到不动点的存在性和唯一性。
3. Brouwer不动点定理：对于n维球面上的连续映射，存在至少一个不动点。
4. Kakutani不动点定理：对于凸紧合集上的凸映射，存在至少一个不动点。
等等。
四、应用领域不动点理论在许多领域具有广泛的应用，包括：1. 微分方程：通过不动点理论，可以证明微分方程存在解，且解的存在是稳定的。
2. 经济学：不动点理论在经济学中的应用较为常见，特别是涉及到均衡分析和最优化问题。
3. 优化问题：通过将优化问题转化为不动点问题，可以使用不动点理论来解决各种优化问题。
4. 图像处理：不动点理论在图像处理中的应用，如图像恢复、压缩感知等方面具有重要意义。
5. 动力学系统：不动点理论在动力学系统中的应用广泛，通过不动点理论可以研究动力学系统的稳定性和渐进行为。
Banach空间中渐近正则的Lipschitz半群的不动点定理
Banach空间中渐近正则的Lipschitz半群的不动点定理曾六川
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1995(001)006
【摘要】本文首先定义了渐近正则的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ半群的概念．其次，证明了ｐ一致凸Ｂａｎａｃｈ空间中渐近正则的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ半群的不动点定理．同时也证明了具有正规结构系数的一致凸Ｅａｎａｃｈ空间中的渐近正则的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ半群的一个新的不动点定理．
【总页数】8页(P744-751)
【作者】曾六川
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.一般Banach空间中渐近非扩张型半群的不动点定理 [J], 朱兰萍;李刚
2.Banach空间中非Lipschitz拓扑半群的不动点定理 [J], 李刚
3.一般Banach空间中非Lipschitzian可逆半群的不动点定理 [J], 朱兰萍; 李刚
4.Banach空间中渐近正则半群的不动点定理 [J], 曾六川
5.一致凸Banach空间中Lipschitz拓扑半群的不动点定理 [J], 曾六川;杨亚立因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Banach空间中一类新的κ-次增生型变分包含问题解的迭代逼近
Banach空间中一类新的κ-次增生型变分包含问题解的迭代逼近谷峰【摘要】本文研究了Banach空间中的一类新的κ-次增生型变分包含问题.使用一些分析技巧,获得了这类变分包含解的存在性、唯一性以及具有混合误差项的Ishikawa迭代程序的收敛性,改进了张石生和曾六川等人的一系列相关结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】10页(P273-282)【关键词】变分包含;κ-次增生映象;m-增生映象;具混合误差项的Ishikawa迭代程序【作者】谷峰【作者单位】杭州师范大学应用数学研究所,浙江,杭州,310036【正文语种】中文【中图分类】O177.91设X 是实Banach空间,X∗是其对偶空间,h·,·〉表X 与X∗间的配对，D(T)与R(T)分别表映象T的定义域与值域.映象J:X→2X∗称为正规对偶映象，如果设T,A:X→X,g:X→X∗是三个映象，ϕ:X∗→R∪{+∞}为真凸的下半连续泛函.1999年，张石生教授[1]引入与研究了下列Banach空间中的变分包含问题VIP(T,A,g,ϕ):对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ϕ表ϕ的次微分.在文献[1，定理2.1]中，作者在X 是实的一致光滑Banach 空间的框架下，建立并证明了变分包含问题(1.1)解的存在唯一性及其Ishikawa迭代序列的收敛性.进一步，张石生教授和作者等人[2]仍在实一致光滑Banach空间的框架下，把文献[1，定理2.1]从强增生映象推广到φ-强增生映象的情况.注意到，当X=H 是Hilbert空间H 时，则问题(1.1)等价于如下问题：对给定的f∈H,求u∈H,使得称(1.2)为Hilbert空间中的变分包含问题，它曾在Ding[3,4],Chang[5],Kazmi[6],Zeng[7]中研究过.易见，通过适当地选择算子T,A,g,f，泛函ϕ以及空间X，若干熟知的变分不等式类问题，如在Noor[8,9],Siddiqi-Ansari[10]及Zeng[11]中研究过的变分不等式类，都可得到. 2000年，张石生教授[5]把问题(1.1)推广到Banach空间中的集值变分包含问题的情况.最近，曾六川教授[12]把问题(1.1)进行了推广，引入和研究了下列Banach 空间中的变分包含问题:设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗是四个映象，ϕ:X∗→R∪{+∞}为真凸的下半连续泛函.对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ϕ表ϕ的次微分.易见，当N(x,y)=x−y,∀x,y∈X 时，问题(1.3)化为问题(1.1).曾六川教授[12]在实自反的光滑的Banach空间的框架下，给出了φ-强增生型的变分包含问题(1.3)解的存在唯一性及其具有误差项的Ishikawa迭代程序的收敛定理，他的结果改进和推广了[1–11]中的相应结果.本文受张石生教授[1,2,5]和曾六川教授[12]的启发，引入和研究了下列Banach空间中的新的变分包含问题:设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一真凸泛函.对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ηϕ表ϕ的η-次微分[13].易见，当η(x,y)=x−y,∀x,y∈X∗时，问题(1.4)化为问题(1.3)，从而问题(1.4)比张石生教授[1,2]和曾六川教授[12]所研究过的变分包含更具有一般性.本文的目的，是在实自反Banach空间的框架下，研究k-次增生型变分包含问题(1.4)解的存在性、唯一性及其具有混合误差项的Ishikawa迭代程序的收敛性.注意到，已有例子表明:存在一些并非是增生算子的k-次增生算子(可见文献[14])，因而增生算子类(进而m-增生算子类、强增生算子类等)是k-次增生算子类的真子类.这样，本文结果在多个方面本质地改进和推广了文献[1−12,15,16]中的一系列相应结果.下面,回顾一些预备知识.用j表单值的正规对偶映象命题1.1[5]设X是一实Banach空间，则X是光滑的⇔J是单值的.定义1.1[13]设X是一实Banach空间，ϕ:X∗→R∪{+∞}为一真凸泛函，η:X×X→X 是一个映象，若对x0∈X，存在f∈X∗，使得ϕ(y)−ϕ(x0)≥hf,η(y,x0)〉,∀y∈X,则称ϕ在x0处是η-次可微的，并称f为ϕ在x0处的η-次梯度.在x0处的一切η-次梯度的集合用∂ηϕ(x0)表示.定义1.2[14]映象T:D(T)⊂X→X称为是k-次增生的，如果对任给的x,y∈D(T)，都存在j(x−y)∈J(x−y)和常数k∈(−∞,+∞)，使得在(1.5)式中若k=0，则称算子T是增生的；若k＞0，则称算子T是强增生的；算子T称为是m-增生的，若T是增生的且∀λ＞0，有R(I+λT)=X(其中I是X 上的恒等算子).定义1.3[5] 设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X 是三个映象.(1)映象x 7→N(x,y)称为关于映象T是k-次增生的,如果对任给的x1,x2∈X，存在j(x1−x2)∈J(x1−x2)和常数k∈(−∞,+∞),使得(2)映象y 7→N(x,y)称为关于映象A是增生的，如果对任给的y1,y2∈X，存在j(y1−y2)∈J(y1−y2),使得(3)映象x 7→N(x,y)称为关于T是µ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ＞0使得，对任给的x1,x2∈X，有kN(Tx1,y)−N(Tx2,y)k≤µkx1−x2k,∀y∈X.(4)映象y 7→N(x,y)称为关于A是ξ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ＞0使得，对任给的y1,y2∈X，有kN(x,Ay1)−N(x,Ay2)k≤ξky1−y2k,∀x∈X.命题1.2 设X 是实光滑Banach空间，T,A:X→X,N(·,·):X×X→X 是三个映象.定义映象F:X→X 为Fx=N(Tx,Ax),∀x∈X.如果映象x 7→N(x,y)关于映象T是k-次增生的，映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的,则映象F是k-次增生的.证因为X是光滑的，由命题1.1知正规对偶映象J:X→2X∗是单值的，于是对任意的x,y∈X有命题1.2得证.命题1.3设X是实光滑Banach空间,T1:X→X是具有常数k的k-次增生映象，T2:X→X是增生映象，则映象T1+T2:X→X也是具有常数k的k-次增生映象.证因为X是光滑的，由命题1.1知正规对偶映象J:X→2X∗是单值的，于是对任意的x,y∈X有命题1.3得证.下面的几个引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用.引理1.1[17]设{an},{bn},{cn}是三个非负实数列，且满足下面的不等式引理1.2 设X是实自反Banach空间，则下面的结论等价：(i)x∗∈X 是变分包含问题(1.4)的解；(ii)x∗∈X是映象S:X→2X的不动点，其中S(x)=f−(N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x)))+x; (iii)x∗∈X 是方程f∈N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x))的解.证 (i)⇒ (iii)设x∗是变分包含问题(1.4)的解，则g(x∗)∈D(∂ηϕ)且于是,由ϕ的η -次微分∂ηϕ的定义，据上式得知f−N(Tx∗,Ax∗)∈∂ηϕ(g(x∗))，即 x∗是方程f∈N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x))的解.(iii)⇒(ii) 设(iii)真，则有 x∗∈f−(N(Tx∗,Ax∗)+∂ηϕ(g(x∗)))+x∗=Sx∗.即 (ii)真. (ii)⇒(i) 设 (ii)真,则有f−N(Tx∗,Ax∗)∈∂ηϕ(g(x∗)),故由∂ηϕ的定义得知即 hN(Tx∗,Ax∗)−f,η(v,g(x∗))〉≥ϕ(g(x∗))− ϕ(v),∀v∈X∗.故 x∗ ∈X 是变分包含问题(1.4)的解.证毕.引理1.3[18]设X是Banach空间，T:X→X是连续的增生算子，则T必是m-增生的.引理1.4 设X是实Banach空间，T:X→X是连续的k-次增生算子，如果k＞−1，则对任给的f∈X，方程x+Tx=f在X中有唯一解.证设Ax=Tx−kx,∀x∈X，由T 的k-次增生性可知，∀x,y∈X,∃j(x−y)∈J(x−y)，使得故A是增生的，又由T的连续性易知A也连续，于是由引理1.3知A是m-增生的.从而∀λ＞ 0，有R(I+λA)=X 成立，因而∀f∈X，λ= ＞ 0，∃x∗∈X，满足x∗+λAx∗=f，整理得x∗+Tx∗=f，即方程x+Tx=f有解x∗∈X.下证解的唯一性.事实上，若还有y∗∈X，x∗6=y∗，使得y∗+Ty∗=f,则−kx∗−y∗k2=hx∗−y∗,j(y∗−x∗)〉≥kky∗−x∗k2,由此推得k≤−1,这与已知 k＞−1 相矛盾，故∀f∈X,方程x+Tx=f在X 中有唯一解.f，即x∗+(T−kI)x∗=定理2.1 设X 是实自反的光滑的Banach空间，设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个连续映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一具有连续单值η-次微分∂ηϕ的真凸泛函，设{αn},{βn}是[0,1]中的实数列，{un},{vn},{}和{}都是X 中的序列，且满足以下条件：(i)映象x 7→N(x,y)关于映象T是k-次增生的，且常数k∈(−1,1).映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的;(ii)映象x 7→N(x,y)关于T 是µ-Lipschitz连续的，映象y 7→N(x,y)关于A 是ξ-Lipschitz连续的;(iii)∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的且∂ηϕ◦g−I:X→X 是增生的;对任给的f∈X，定义映象S:X→X如下：对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下：则变分包含问题(1.4)存在唯一解x∗∈X,且{xn}强收敛于该变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.证先证变分包含(1.4)式有唯一解.事实上，由条件(i)和命题1.2可知映象N(T(·),A(·)):X→X 是连续的k-次增生映象.再由条件(iii)和命题1.3可知，映象N(T(·),A(·))+ ∂ηϕ◦g(·)−I:X→X 是连续的和 k-次增生的，而且k∈ (−1,1)，由引理1.4知，对f∈X，方程x+(N(T(x),A(x))+∂ηϕ(g(x))−x)=f在X 中有唯一解x∗,即方程N(T(x),A(x))+∂ηϕ(g(x))=f在X 中有唯一解x∗.由于X 是自反的，故由引理1.2知，x∗是变分包含问题(1.4)的唯一解，因而也是映象S在X 中的唯一不动点，即Sx∗=x∗.再证具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.易见，结论的必要性成立. 下面我们证明结论的充分性也成立.事实上，由假设{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界，我们断言{∂ηϕ(g(yn))}也有界.事实上，由条件(ii)和(2.1)式得所以，由条件(iv),(v)推得由于∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的，故k∂ηϕ(g(yn))−∂ηϕ(g(xn))k→0(n→ ∞).注意到即知，序列{∂ηϕ(g(yn))有界. 因为序列{un},{xn},{∂ηϕ(g(xn))},{∂ηϕ(g(yn))} 均有界，所以，存在常数M＞0使得对一切n≥0.观察到这意味着h(S+kI)x−(S+kI)y,j(x−y)〉≥0,于是由Kato[19]的引理1.1可知,对任意的x,y∈X和t＞0,有由(2.1)式得注意到从 (2.2)–(2.4) 式可得令t=max{0,−k}∈ (0,1)，则有1+kαn≥1−tαn≥1−t(因为k≥−t).于是由(2.6)式和条件(v)有其中dn=kSxn+1−Synk.下证dn→0(n→∞).事实上，由S的定义可知，有由(2.1)式,S的定义和条件(ii),有把(2.11)式代入(2.10)式,再把(2.10)式代入(2.9)式，整理得由(2.2)式,条件(iv)和(v)及(2.12)式可得kxn+1−ynk→ 0(n→∞),从而由∂ηϕ◦g:X→X 的一致连续性，有k∂ηϕ(g(xn+1))−∂ηϕ(g(yn))k→ 0(n→∞).于是从(2.8)式可知，有注2.1 定理2.1在下面七个方面改进与推广了张石生教授在文献[1]中的主要结果.(1)用X的自反性和光滑性取代了X的一致光滑性;(2)用序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}的有界性取代了值域R(S)的有界性;(3)把强增生映象（即k∈(0,1)）推广至更一般的k-次增生映象（即k∈(−1,1)）;(4)把连续的G¨ateaux微分减弱至仅需η-次可微的情形;(5)用更一般的映象N(T(·),A(·)):X→X 取代了映象T−A:X→X;(6)用更一般的函数η(v,g(u)),v∈X∗,u∈X 取代了函数v−g(u),v∈X∗,u∈X;(7)把迭代格式推广至更一般的具混合误差项的Ishikawa迭代格式.注2.2 定理2.1从以下几个方面改进和推广了曾六川教授在文献[12]中的主要结果.(1)把φ-强增生映象推广至k-次增生映象;(2)用更一般的函数η(v,g(u)),v∈X∗,u∈X 取代了函数v−g(u),v∈X∗,u∈X;(3)把连续的G¨ateaux微分减弱至仅需η-次可微的情形;(4)把具误差的Ishikawa迭代过程推广到更一般具有混合误差项的Ishikawa迭代过程.注2.3 定理2.1也在多个方面本质地改进和推广了文献[2–11,15,16]中的一系列相关结果.如果在定理2.1和中取k∈(0,1),则t=max{0,−k}=0,于是得到强增生型映象的相应结果如下:定理2.2 设X 是实自反的光滑的Banach空间，设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个连续映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一具有连续η-次微分∂ηϕ的真凸泛函，设{αn},{βn}是[0,1]中的实数列，{un},{vn},{}和{}都是X中的序列，且满足以下条件(i)映象x 7→N(x,y)关于映象T是具有常数k∈(0,1)的强增生映象.映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的;(ii)映象x 7→N(x,y)关于T 是µ-Lipschitz连续的，映象y 7→N(x,y)关于A 是ξ-Lipschitz连续的;(ii i)∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的且∂ηϕ◦g−I:X→X 是增生的;(iv)α →0,β →0(n→∞)且P∞α=∞;nnn对任给的f∈X，定义映象S:X→X如下：对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下：则变分包含问题(1.4)存在唯一解x∗∈X,且{xn}强收敛于该变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.注2.4 定理2.2也在多个方面本质地改进和推广了文献[1–11,15,16]中的一系列相关结果.注2.5 在定理2.1中取k=0，则t=max{0,−k}=0,于是可得到增生型映象的相应结果.注2.6 在定理2.1和定理2.2中，如果取∀n≥0,βn=0且vn=0则yn=xn,∀n≥0,xn+1=(1−αn)xn+αnSxn+un,n≥0.于是,我们可以得到具有混合误差项的Mann迭代程序的相应结果；注2.7在定理2.1和定理2.2中取ϕ≡0,则也有关于变分不等式的相应新结果.【相关文献】[1]Chang S S.On the Mann and Ishikawa iterative approximation of solutions to variational inclusion with accretive type mappings[J].Compue.Math.Appl.,1999,37(9):17–24.[2]张石生，谷峰等.Banach空间中φ-强增生型变分包含问题解的Ishikawa迭代逼近[J].应用数学，2000,13(2):1–8.[3]Ding Xieping.Perturbed proximal point algorithms for generalized quasivariational inclusions[J].J Math.Anal.Appl.,1997,210(1):88–101.[4]Ding Xieping.Generalized strongly nonlinear quasivariationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1993,173(2):557–587.[5]Chang S S.Set-valued variational inclusions in Banachspaces[J].J.Math.Anal.Appl.,2000,248(9):17–24.[6]Kazmi K R.Mann and Ishikawa type pertured iterative algorithms for generalized quasivariational inclusions[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,209(2):572–584.[7]Zeng Liuchuan.Iterative algorithms for fi nding approximate solutions for general strongly nonlinear variational inequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1994,187(2):352–360.[8]Noor M A.General variational inequalities[J].Appl.Math.Lett.,1998,1(2):119–122.[9]Noor M A.An iterative algorithm for variationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1991,158(3):446–455.[10]Siddiqi A H,Ansari Q H.General strongly nonlinear variationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1992,166(2):386-392.[11]Zeng Liuchuan.Iterative algorithm for fi 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条件平均场随机微分方程的最优控制问题
数学年刊A辑2021,42(1):75-88DOI:10.16205/ki.cama.2021.0007条件平均场随机微分方程的最优控制问题吴霜1提要作者研究了一个条件平均场随机微分方程的最优控制问题.这种方程和某些部分信息下的随机最优控制问题有关，并且可以看做是平均场随机微分方程的推广.作者以庞特里雅金最大值原理的形式给出最优控制满足的必要和充分条件.此外，文中给出一个线性二次最优控制问题来说明理论结果的应用.关键词条件平均场随机微分方程，随机最大值原理，倒向随机微分方程，线性二次最优控制，黎卡堤方程MR(2000)主题分类93E20,60H10中图法分类0225,0231.3文献标志码A文章编号1000-8314(2021)01-0075-141引言本节先给出在以后章节中出现的符号.令(C,兀｛兀｝0€圧丁，町是一个完备的概率空间，这里的T>0是一个常数,兀=<7(叭s);0W s5尸=斤，而｛VT(t)｝舜o表示一个标准的d维布朗运动.令QtQTt是一个给定的子-代数，它表示控制者在时刻t所能获得的信息.通篇我们以K"表示n维欧式空间，以R nxd表示nxd矩阵空间，以上标r表示向量或矩阵的转置.对给定的欧式空间，我们以〈•,•〉(〔•|)表示内积(范数)，以U 表示一个非空凸子集.此外若一个卯-值,兀-适应的(或弘适应的)随机过程如)满足妙(t)Fdt<+oo,我们记为讽・)e仍(0,T;肿)(或仍(0,T;腐));若一个肿-值,兀-适应的连续随机过程炉(・)满足E[sup⑷⑴鬥<+oo,我们记为炉(・)e S|(0,T;R").研究的初衷始于如下部分信息下的随机控制问题，其中的状态方程是一个受控的随机微分方程(SDE)'dX(t)=雎,X(t),叫X(t)|$],"(t),叫u(t)覘)dt<+a{t,X(t),叫X(t)|$],呃),叫u(t)覘)dW(t),X(0)=x,指标泛函为』(“(•))=町/T lit,X(t),IE[X(t)|$],u(t),IE["(t)|$])dt+/z(X(T))],而w(-)e U ad是容许控制•这里的容许控制集为U ad={"(•)e L^(O,T;R fe)|u(t)G uyt e[0,T]}.(1-1) (1-2) (1.3)本文2019年5月11日收到，2020年11月15日收到修改稿.1■中国石油大学(华东)应用数学系，山东青岛266580.E-mail:namozhuntipusa©76数学年刊A辑42卷然后我们考虑如下的控制问题.CMF问题对于(1.1)和(1.2),寻找iT(J e%山使得丿("*(•))=inf丿("(•))・(1.4)U(-)eWad方程(1.1)是更为一般的平均场型随机微分方程.因其含有条件期望,我们称之为条件平均场随机微分方程(CMF-SDE).显然,CMF-SDE可以看做是对近年来广受学者关注的平均场随机微分方程(MF-SDEs)的推广.MF-SDEs通常用于描述大量个体的群体行为，比如交互作用的粒子系统，其研究工作可以追溯到文[1]并由此引出了所谓的McKean-Vlasov 随机微分方程•从那时起，陆续有很多关于MF-SDEs的研究文献,领域涉及方程理论、最优控制、微分对策以及金融工程等•参见文[2-8],本文组织如下•第二节会给出有关CMF-SDEs的基本结果.第三节规范CMF-SDEs 的最优控制问题并建立最优性条件(最大值原理).第四节讨论了一个条件平均场型的线性二次最优控制问题(LQ问题)来展示所获结果的应用.最后，在第五节对本文做了最后的总结.2基本结果这一节给出CMF-SDEs解的存在唯一性，尽管一个CMF-SDE含有条件期望项，但仍然可以运用不动点理论来证明这一点.现在从下面的CMF-SDE开始.<'dX(t)=b(t,X(t),E[X(t)|$])dt+c(t,X(t),E[X(t)£])dW(t),〔X(0)=z€1R",i•这里&:x[0,T]x R n x R"->R",o-:Q x[0,T]x R"x R n R nXd是给定的可测映射并满足(H2.1)b(-,x,x)和是兀-适应的；存在C>0,使得\b(t,x,x)-b(t,y,y)\+ \cr(t,x,x}-<7(i,y,y)|W C(\x—示|+\y-y\),t e\0,T],x,x,y,y e R n,B卩b和是一致Lipschitz的；(H2.2)&(-,0,0)e^(0,7;®"),ct(-,O,O)e L^(0,T;R nXd).以下定理确保了方程⑵1)解的存在唯一性.定理2.1假设(H2.1)和(H2.2)成立，则CMF-SDE(2.1)有唯一的兀-适应解X(・)e L^(0,T;R n).证为简化论述，对于认)e仍(o,T；R"),使用符号x(t)=叫叹)|羽并引入如下SDE:dX(t)=&(t,a:(t),方(t))dt+(i,a:(i), ))d TV(f),(2-2)、X(0)=x.1期吴霜CMF-SDE的最优控制问题77由于(2.2)有唯一的解X(.)e0纟(0,丁;氏")，我们可以定义一个映射I:0纟(O,T;R")T 仍(0,T;肿)，使得X(・)=弘(.)].现需要证明I是压缩映射.为此，引入Banach空间0纟(0,丁;氏")的等价范数~T丄归(•川0=何/。
Banach空间中具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近性质
Banach空间中具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近性质Banach空间上的微分包含理论是非线性分析中非常活跃的一个分支.从七十年代开始,美国、罗马尼亚和日本等国的著名数学家(如V.Barbu、J.P.Aubin、T.Kato、N.H.Pavel等)就开始从事这方面的研究工作(见[2, 9, 13, 71]).近几十年来,这一领域的研究对近代物理和工程技术中出现的非线性问题和控制论的研究有着重要的理论意义和应用价值.由于Volterra方程(见[2])、偏微分方程(见[9, 13, 71])、控制论和最优化中研究的许多问题都可以转化为微分包含问题,因此在一定的条件下研究微分包含解(包括强解、弱解、温和解和积分解)的存在性以及渐近性态问题就显得非常重要.本文就是在Banach空间中讨论了具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近行为,共分四章:本文第一章主要考虑以下半线性非局部微分包含解的存在性这里F是一上半连续多值映射, g :C([0,T];E)→E是一给定的连续映射,线性算子A(可能无界)是一紧半群的无穷小生成元.本章中我们主要利用多值不动点定理和紧性方法给出上述非局部微分包含解的存在性定理(见Theorem 1.2).证明的关键在于我们设法构造了一个新的特殊的集值映射,然后利用集值分析和非紧性测度理论证明了该集值映射是一个在给定圆盘上具闭凸值的上半连续的紧算子,正是由于该算子的良好性质便于我们构造了连续函数空间里一个相对紧的解序列,从而我们能够得到上述主要结论.如果在F和g上附加的是渐近条件或强有界条件,我们同样能够得到定理 1.2中的结论(见Corollary 1.6和Remark 1.7).这些结果推广了文献[5, 64]中的相应结论至非局部多值情形.由于我们不再需要多值扰动F的Lipschitz型条件,因此这些结论即使对单值情形也是新的.在这一章的最后,我们还给出了这些结果在偏微分方程中的应用.第二章我们继续致力于研究上述多值微分包含问题,其中A是强连续有界线性算子族{S(t) : t∈[0,T]}的生成元, F是一个upper?Carathe′odory多值映射和g是某给定的算子.本章中我们主要利用不动点技巧、非紧测度性质、集值分析以及微分包含理论的相关已知结果,讨论了一般Banach空间中半线性微分包含适度解的存在性(见Lemma 2.9和Theorem 2.7).行文中,引理2.9给出的不等式对于整个定理 2.7的证明起着至关重要的作用.在定理2.7中,我们既没有对Banach空间附加任何条件,也没有假设半群的紧性,因此我们的结果推广了文[22, 28, 30, 88, 89,91]中的主要定理.第三章在实Banach空间中考虑如下发展型微分包含解的存在性这里线性无界算子族{A(t)}t∈[0,d]生成一强连续发展系统U(t, s), F仍是一多值映射.在这章中,我们首先证明了当g是全连续算子时上述发展包含适度解的存在性(见Theorem 3.5).在定理3.5中,对于包含的线性部分我们只假设其生成强连续的发展系统,既不需其紧性,甚至也不需其等度连续性.主要是在其证明中,设法构造了一个新的非紧测度,正是该正则测度便于我们寻找连续函数空间中的非空紧凸子集,从而大大降低了对发展系统的要求.因此该定理又从本质上进一步改善了第二章中给出的结果.其次讨论了当g是Lipschitz连续算子时该发展包含适度解的存在性(见Theorem 3.11).在定理3.11的证明中,我们充分利用了对非紧性测度的估计和叠加算子的性质,从而在不需要空间可分性和发展系统紧性的情形下得到了上述主要定理.因此我们的结果推广了这方面的许多工作(如文献[7, 22, 28, 30, 41, 47, 88, 91]).最后,我们应用定理 3.5给出的结果讨论了半线性偏微分方程的一个例子.第四章主要处理下列非线性非局部多值问题积分解的存在性及其渐近性态:其中耗散算子,生成压缩半群S(t), F是相应于其第二变量的弱上半连续多值映射, X~*是一致凸的Banach空间.4.1节中首先回忆了Banach空间的一些几何性质,接着介绍了一些基本概念,并给出了非自治耗散系统积分解的存在唯一性和Be′nilan不等式.在4.2节中,我们讨论了半群S(t)是等度连续和g是全连续情形下,上述非线性微分包含积分解的存在性(见Theorem 4.15). 4.3节得到了g是Lipschitz单值算子和多值映射F是关于Hausdor?距离的Lipschitz 型情形下积分解的存在性(见Theorem4.17).在最后的4.4节中,首先讨论了殆非扩张曲线的渐近性质,找寻殆非扩张曲线与我们所研究的耗散系统积分解之间的内在联系,并利用这些内在联系研究积分解u(t)在t趋于无穷时的渐近行为(见Theorem 4.23和Theorem 4.26).我们的结果改进了文[22, 58, 79, 80, 86, 87, 91, 92]中的许多已知结果.。
Banach空间及其相关定理
课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。
首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。
然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。
最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。
关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
非局部扩散的非自治抛物方程动力学行为
非局部扩散的非自治抛物方程动力学行为常伟伟;李晓军【摘要】考虑带非局部扩散的非自治抛物方程解的长时间行为，当时间符号项于L2loc （瓗；H －1（Ω））和 L2loc （瓗；L2（Ω））中平移有界时，证明该系统所对应的过程在 L2（Ω）与 H10（Ω）中存在一致吸引子。
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)005【总页数】6页(P77-82)【关键词】一致吸引子;非局部扩散;非自治抛物方程【作者】常伟伟;李晓军【作者单位】河海大学理学院，江苏南京 210098;河海大学理学院，江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O175由于非局部问题在物理学、生物学和自动控制等诸多领域的广泛应用,其研究日益受到人们重视。
在半导体方程中，非局部形式a=a(l(u))的出现，可以用来描述依赖非局部数量的热力学扩散速率[1-2]。
在生物方程中，如一个密闭容器细菌种群数量的迁移速率=a▽u，取决于某个指定区域细菌的数量密度u[3]。
关于非局部问题有许多数学方面的研究[4-6]，非局部抛物方程解的渐近行为研究也备受关注。
文献[7]研究了解的适定性，并用能量方法详细论述了拉回吸引子的存在性。
另外，在弱外力假设下，关于非自治系统渐近动力学行为，近期也有较多的研究[7-10]。
然而，非局部抛物方程在L2(Ω)和(Ω)一致吸引子的研究相对较少。
一致吸引子用来描述其动力学行为时，比较常用的是斜积流法，该方法牵涉到符号空间，且一般要求外力符号在符号空间作紧性平移[11]。
本文仅在时间符号平移有界，不要求平移紧的条件下,研究下列非局部非线性抛物方程一致吸引子的存在性：其中：Ω⊂N为有界开集；a∈C(,+)为局部Lipschitz连续函数，满足其中：m,M为正常数。
l∈(L2(Ω))′,f∈C()且存在常数η>0,cf≥0满足假设(;H-1(Ω))或(;L2(Ω))。
用和(,.,)分别表示L2(Ω)中的范数及对应的内积；和((. , .))分别表示(Ω)中的范数及对应的内积；〈. , .〉表示H-1(Ω)与间的对偶积；表示H-1(Ω)范数。
代数英语
(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。
0+||zero-dagger; 读作零正。
1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。
AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。
BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。
B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。
C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。
CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。
Cp统计量||Cp-statisticC。
Banach空间几何理论中的局部结构
Banach空间几何理论中的局部结构Banach空间是数学中的一个重要概念，它是一个完备的赋范向量空间。
Banach空间几何理论研究的是在Banach空间中的点集、距离和拓扑结构等局部性质。
本文将围绕Banach空间几何理论中的局部结构展开探讨，重点讲解局部凸性和局部有限维性。
一、局部凸性在Banach空间中，局部凸性是指在某个点附近存在一个凸集，该凸集能够包含这个点。
形式化地说，对于任意的Banach空间中的点x，存在一个开凸集C，使得x属于C。
其中，开凸集是指任意两点之间的线段完全包含于该集合内。
局部凸性是Banach空间理论中的一个基本性质，它与连续性、可微性等概念密切相关。
例如，在具有局部凸性的Banach空间中，连续函数的零点集是凸集；而在非凸空间中，存在连续函数的零点集不是凸集的情况。
二、局部有限维性局部有限维性是指在Banach空间中的每一点附近存在一个有限维的线性子空间，该线性子空间能够尽可能地逼近整个Banach空间。
具体来说，对于任意的Banach空间中的点x，存在一个m维线性子空间E，使得x到E的距离最小。
其中，m为一个正整数。
局部有限维性是在Banach空间中刻画了局部的线性结构。
Banach空间的局部有限维性有助于研究该空间的拓扑性质和逼近问题。
例如，在满足局部有限维性的Banach空间中，紧集的闭包仍然是紧集；而在不具备局部有限维性的情况下，闭合有界集合的紧性可能不再成立。
三、小结Banach空间几何理论中的局部结构包括局部凸性和局部有限维性。
局部凸性是指在某个点附近存在一个凸集，该凸集能够包含这个点；而局部有限维性是指在每一点附近存在一个有限维的线性子空间，该线性子空间能够尽可能地逼近整个Banach空间。
在实际应用中，Banach空间几何理论的局部结构具有广泛的应用。
例如，在优化问题中，局部凸性和局部有限维性有助于研究优化函数的性质和算法的设计。
在拓扑学中，局部凸性和局部有限维性有助于研究空间的连续性和紧性等性质。
Banach空间的几何常数及其应用的开题报告
Banach空间的几何常数及其应用的开题报告1. 研究背景及意义Banach空间作为函数空间中最具代表性的一种，具有广泛的应用，如数学分析、微积分、偏微分方程、经济学、物理学等领域。
由于Banach空间具有完备性、凸性、线性等性质，它们在数学研究中是非常重要的。
其中，Banach空间的几何常数是衡量Banach空间各种几何性质的参数之一，对于研究Banach空间的几何结构、算子等有重要作用。
目前国内外对于Banach空间的几何常数进行了大量的研究。
例如，Pisier研究了赋范空间中随机算子所需要的几何常数，Førde和Pisier研究了不等式中几何常数与向量值的关系等。
此外，Banach空间的几何常数在欧氏空间、非线性波动方程、抽象Harmonic分析等领域中也有广泛的应用。
2. 研究内容本文将研究Banach空间的几何常数及其应用。
具体研究内容包括：（1）Banach空间的基本定义和性质；（2）Banach空间的几何常数的定义和性质；（3）Banach空间的几何常数的计算方法及在赋范空间、线性算子等方面的应用；（4）Banach空间几何常数的应用举例，包括欧氏空间、非线性波动方程、抽象Harmonic分析等领域中的应用。
3. 研究方法本文将采用文献研究法、数学分析法、计算机模拟法等方法。
具体研究过程包括：（1）查阅相关文献，了解Banach空间的基本定义和性质、Banach 空间的几何常数的定义和计算方法、Banach空间几何常数的应用等方面的研究进展；（2）通过数学分析方法，对Banach空间的几何常数进行研究和计算；（3）应用计算机模拟法，对Banach空间的几何常数进行模拟计算，并进行可视化表达。
4. 研究预期结果通过对Banach空间的几何常数及其应用的研究，预期达到以下效果：（1）系统了解Banach空间的基本定义和性质、Banach空间的几何常数的定义和计算方法、Banach空间几何常数的应用等方面的研究进展；（2）深入研究Banach空间的几何常数及其计算方法，得出相关理论结论；（3）阐述Banach空间的几何常数在赋范空间、线性算子等方面的应用，举例说明Banach空间几何常数在实际问题中的重要作用。
Banach空间.ppt
令 x
n
xi2， 则 x 成为Rn中的范数，
i1
(Rn , )为一个Banach空间。
2) 在C a,b中， x = max x(t) , x(t) C a,b。 ta,b
பைடு நூலகம்
3)
在m中，x
= sup
1i
i
，x
(1 ,
2 ,…,n ,…）
m。
则C[a, b], m都是Banach空间。
对范数 x ，可以理解为从原点到x之间的“距离”，
定义 设f为X上的一个有界线性泛函，令
f inf M | f(x) M x , x X
称 f 为有界线性泛函的范数,且 f(x) f x
定理8.2 (Hahn Banach 定理) 任意Banach空间X必存在有界线性泛函。
而且事实上不仅存在，而且有无穷多个有界线性泛函， 这些有界线性泛函的全体有组成一个Banach空间，
而且事实上不仅存在而且有无穷多个有界线性泛函这些有界线性泛函的全体有组成一个banach空间82hahn82hahnbanachbanach定理与凸集分离定理定理与凸集分离定理为商品空间它的有界线性泛函价例83格系统共轭空间对偶空间称为定理83hahnbanach定理即标准化价格
第8章Banach空间与不动点定理 8.1 Banach空间
若对任意x X,有一个确定的实数 x 与之对应，并满足:
1 x X, x 0, 且 x 0 x 0 ；
2 x及数， x x ；
3 x, y X, x y x y ，
则称 x 为x的范数，称（x, ）为线性赋范空间。 完备的线性赋范空间称为Banach空间。
例8.1 1）在n维欧氏空间Rn中，x (x1, x2 , ..., xn ) Rn，
Banach空间中Lipschitzian映射序列的迭代逼近的开题报告
Banach空间中Lipschitzian映射序列的迭代逼近的开题报告一、研究意义Banach空间中Lipschitzian映射的迭代逼近问题是函数逼近和优化问题中的重要问题。
这种方法已经被应用于各种文科和理工科领域，包括机器学习、信号处理、图像处理、控制理论等方面的问题。
因此，对于Banach空间中的Lipschitzian映射序列的迭代逼近问题进行深入的研究是有一定意义的。
二、研究内容本文将对Banach空间中Lipschitzian 映射序列的迭代逼近进行研究。
具体来说，我们将探讨以下三个问题：1. Lipschitzian 映射序列的存在性和唯一性我们将研究Lipschitzian映射序列的存在条件，并证明其唯一性。
通过这种方法，我们可以在求解迭代逼近问题时确保解的存在性和唯一性。
2. 收敛性分析我们将研究Lipschitzian映射序列的迭代逼近收敛到真实解的速度。
特别地，我们将研究这些序列的收敛速度，并给出相应的误差上界。
3. 应用我们将通过一些实例说明迭代逼近方法的应用，例如机器学习、数据处理等。
三、预期结果本文的预期结果是对Banach空间中Lipschitzian映射序列的迭代逼近问题进行深入的研究。
我们将对Lipschitzian映射序列的存在性和唯一性进行证明，并分析这些序列的收敛性。
我们的目标是提供一种可靠的方法，在实际应用中可用来求解这些问题。
四、研究方法本文的研究方法将主要包括分析方法和实例分析。
我们将使用分析方法研究Lipschitzian映射序列的存在条件及唯一性，以及其收敛性；我们将使用实例分析来说明迭代逼近方法的实际应用。
五、研究进度安排第一阶段（一个月）：完成文献阅读，学习基础理论知识。
第二阶段（两个月）：分析Lipschitzian映射序列的存在性和唯一性。
第三阶段（两个月）：分析Lipschitzian映射序列的收敛性，给出相应的误差上界。
第四阶段（一个月）：研究迭代逼近方法的实际应用，并完成文档整理工作。
巴拿赫空间理论
巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常巴拿赫空间用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。
巴拿赫空间1909年里斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重大事件。
还有一个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。
在1910～1917年﹐人们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表示﹐则照亮了通往对偶理论的道路。
人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算子的概念。
当然还该想到希尔伯特空间。
正是基于这些具体的﹑生动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。
编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。
巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。
这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。
Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用
Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用——摘要本文进一步揭示了Banach空间压缩映像原理与完备性的关系,对压缩映像原理与不动点的相关理论做了详细地阐述，并对Banach 空间中压缩映像原理与不动点原理的应用做了详细的举例说明。
——关键词Banach空间压缩原理完备性不动点——引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽像的结果。
=的求解问题，是分析学的各不动点定理实际上是算子方程Tx x个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
——正文⒈Banach空间压缩映像定理及其应用随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。
几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。
但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。
而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。
例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach空间压缩映像定理。
定义（压缩映像）设T是度量空间X到X中的映像，如果对都有（是常数）则称T 是X上的一个压缩映像。
banach空间的框架及原子分解的性质
banach空间的框架及原子分解的性质Banach空间及原子分解的性质Banach空间是数学家Stefan Banach在1920年发明的一种几何结构，关于它的定义如下：Banach空间是一个完备的、带有定义好的距离函数的线性空间。
它是几何结构中最重要的概念之一，广泛用于数学和理论物理学等领域。
Banach空间的框架是一个重要的概念，它提供了一种把线性空间内的向量进行组织的方式，使得对内部的结构关系有一个清晰的认识。
Banach空间的框架存在以下三个方面：1. 有界性：即在Banach空间中，每个向量都有一个有界的范围，不会发生无限大或无限小的情况。
2. 向量收敛：当Banach空间中的向量无限迭代时，它们会收敛到一个确定的值上，而不会发生悬挂或游走的情况。
3. 线性结构：Banach空间中的向量组成一个线性结构，即通过线性组合可以得到新的向量，而不会发生向量的变形。
原子分解的性质是指将一个Banach空间中的函数分解为若干个原子的操作，以使得整个函数得到更加有效的表达。
在Banach空间中，原子分解的性质可以有效地提高函数的表达能力，具体表现在以下几个方面：1. 可简化：将一个复杂的函数分解为若干个简单的原子，不仅可以减少函数的计算量，而且可以增加函数的易用性。
2. 可扩展：原子分解可以使得函数更容易扩展，只需添加新的原子，即可拓展函数的表达能力。
3. 能够表达更多的信息：原子分解可以使得函数表达更多的信息，而不受原始函数的限制。
4. 更有效的表达：原子分解可以使得函数更加有效地表达，从而提高它们的表达能力。
总之，Banach空间的框架及原子分解的性质是一种重要的概念，它可以提高函数的表达能力，提高函数的可扩展性，增加函数的易用性，从而更有效地表达信息。
Banach空间有正规结构的充分条件和不动点性质
Banach空间有正规结构的充分条件和不动点性质⽂章编号:1002-8743(2009)03-0006-04Banach 空间有正规结构的充分条件和不动点性质X杨祥钊,伍⼀平,孙钰(⼴西师范学院数学科学学院,⼴西南宁530001)摘要:设X 是Banach 空间,该⽂⽤⼴义James 常数J (t,X )估计弱收敛序列常数W CS (X ),证明了:J (t,X )<1+tR (1,X )时,X 有正规结构和X 满⾜(DL )-条件.这个结论推⼴了Eva M.M azcu n n -Navarro 和B.Gavira 的结果.关键词:弱收敛序列常数;James 常数;正规结构;Banach 空间中图分类号:O17712 ⽂献标识码:A设X 是Banach 空间且dim X \2,S X 和B X 分别表⽰单位球⾯和闭单位球.⽤/x C y 0表⽰两个数x ,y 中的最⼩的.Banach 空间的⼏何结构通常由其单位球或单位球⾯决定,⽽定义在其上的⼏何常数是量化空间⼏何性质的有⼒⼯具,如刻画⼀致⾮⽅性的James 常数.其定义为:J (X )=sup x +y C x -y ,x ,y I S X =sup x +y C x -y ,x ,y I B X ,作为James 常数的推⼴,在⽂献[9]中作者对t \0时定义了⼴义James 常数:J (t,X )=sup x +ty C x -ty ,x ,y I S X =sup x +ty C x -ty ,x ,y I B X (t \0).已经证明[2],若存在t >0,使J (t ,X )<1+t ,则X ⼀致⾮⽅,从⽽⾃反.在⽂献[3]中,W.Bynum 定义了空间X 的弱收敛序列常数为WCS (X )=infdiam a ({x n })r a ({x n }),其中{x n }为弱收敛序列,diam a({x n })=lim sup k y ]x n -x m :n ,m \k 为{x n }的渐近直径,r a({x n })=inf {lim sup n y ]x n -y :y I clco ({x n })为{x n }的渐近半径.下⾯给出弱收敛序列常数的⼀个等价定义[5]:WCS (X )=inflimn ,m y ],n X mx n -x m,下确界取遍X 中所有弱收敛于零的序列{x n },使得lim n y ]x n =1和lim n,m y ],n X m x n -x m 存在.Banach 空间X 称为有弱正规结构,若WCS (X )>1.另外,对于a \0,R (a,X ):=sup lim n y ]inf x +x n,上确界取遍X 中所有x [a 和B X 中所有弱收敛于零的序列{x n },且有D [(x n )]:=lim n y ]sup (lim n y ]x n -x m )[1. 2006年S.Dhom pongsa 在⽂献[6]中介绍了Dom nguez -Lorenzo 条件(DL -条件),即称Banach 空间X 满⾜(DL)-条件,若存在K I [0,1],使得X 的任意弱紧凸⼦集C 和C 中关于C 正则的有界序列{x n }有r C (A (C ,{x n }))[K r (C ,{x n }).对于⾮扩张映射,满⾜(DL )-条件意味着不动点的存在.2008年,Eva M.Mazcu n n -Navarr 在⽂献[1]中证明了当J (X )<1+1R (1,X )时,空间X 有正规结X 收稿⽇期:2009-09-14基⾦项⽬:⼴西⾃然科学基⾦项⽬[桂科⾃0728050]作者简介:杨祥钊(1984-),男,河南延津⼈,硕⼠研究⽣,主要从事Banach 空间⼏何理论的研究.2009年9⽉⼴西师范学院学报(⾃然科学版)Sep.2009第26卷第3期 Journal of Guangxi Teachers Education University(Natural Science Edition)Vol.26No.3构,⽽后B.Gavira 在⽂献[8]中证明了当J (X )<1+1R (1,X )时,空间X 也满⾜(DL )-条件,本⽂将⽤⼴义James 常数J (t,X )对他们的证明进⾏推⼴,从⽽得到空间X 有正规结构和满⾜(DL )-条件的充分条件.定理1[7] 设C 是Banach 空间X 的⼀⾮空弱紧凸⼦集,并且满⾜(DL )-条件,若T :C y C 是⼀个⾮扩张映射,则T 有不动点.引理1[1] 设X 是Banach 空间,如果{x n }I S X 是弱收敛于零的序列,使得lim n,m y ],n X mx n -x m :d 存在,那么存在{u n },{v n }I S X 弱收敛于零的序列和序列{f n },{g n }I S X *满⾜:lim n y ]f n (-u n )=lim n y ]g n(u n )=1d ,lim n y ]f n (v n )\a R (a ,X ),lim n y ]g n (v n )=1R (a,X )d .定理2 Banach 空间X 中,有WCS (X )\1+t/R (a,X )J (t ,X )或WCS (X )\J (t,X )-atR (a,X )-1成⽴.证明设{x n }I S X 是弱收敛于零的序列,使得lim n,m y ],n X mx n -x m :d 存在.由引理1知,存在弱收敛于零的序列{u n },{v n }I S X 和序列{f n },{g n }I S X *.对于P n \1,可以得到u n +tv n \g n (u n )+tg n (v n ),u n -tv n \f n (-u n )+tf n (v n ).从⽽lim n y ]inf u n +tv n \1d (1+t R (a,X )),lim n y ]inf u n -tv n \1d +ta R (a,X ).因为对于P n \1,J (t,X )\min u n +tv n ,u n -tv n ,我们得到J (t,X )-1d \min ta R (a,X ),tdR (a,X ),进⽽有1)若a \1d ,即ad \1,则d \1+t/R (a,X )J (t,X ).2)若a [1d ,即0R (a,X ))-1.从⽽定理得证.推论11)当ad \1时,若Banach 空间X 满⾜J (t,X )<1+tR (a,X ),则X 有弱正规结构.证明只需证WCS (X )>1,⽽由定理2知,WCS (X )\1+t/R (a ,X )J (t,X )>1.2)当0R (a,X ),则X 有弱正规结构.若在定理2中,取a =t =1,则就得到我们熟悉的结论:推论2[1]在任何Banach 空间X 中,有WCS (X )\1+t/R (1,X )J (X )成⽴.推论3 若X 是⼀个Banach 空间使得J (t,X )<1+t R (1,X ),则X 有正规结构.证明因为R (1,X )\1,如果J (t ,X )<1+ tR (1,X ),则J (t ,X )<1+t,从⽽X ⾃反,⼜因WCS (X )\1+t/R (1,X )J (t,X )>1,从⽽X 有正规结构.在⽂献[8]中,B.Gavira 证明了J (X )<1+1R (1,X )时,X 满⾜(DL )-条件,作为推⼴,我们现在证明对于⼴义James 常数J (t,X )也有类似的结果.第3期杨祥钊,等:Banach 空间有正规结构的充分条件和不动点性质#7 #定理3 设C 是Banach 空间X 的弱紧凸⼦集,{x n }是C 中的有界序列且关于C 正则,则r C (A (C ,{x n }))[J (t,X )1+t R (1,X )r (C,{X n }). 证明记r =r (C,{x n }),A =A (C ,{x n }),R =R (1,X ).不妨设r >0,我们可以设{x n }是弱收敛于x I C(必要时可取{x n }的⼦序列),并且d:=lim n X m x n -x m 存在.因为序列{x n }关于C 正则,并且取⼦序列不影响{x n }的渐近半径.⼜知范数是w -slsc (弱下半连续的),则lim inf n x n -x [lim inf n lim inf m x n -x m =lim n X mx n -x m = d.设E >0,取⼀个⼦序列,不妨假设对于所有的n,x n -x设z I A ,从⽽lim sup n x n -z =z ,x -z [lim inf n x n -z[r .由R (1,X )定义得R \lim infn x n -x d +E +z -x r =1r lim inf n r d +E x n -(r d +E +1)x +z .另⼀⽅⾯,因范数w -slsc (弱下半连续的),则有lim inf n 1r +E +tr R (r +E )(d +E )x n -tr R(r +E )(d +E )+t R (r +E )x -1r +E -tR(r +E )z\1r +E -t R (r +E )x +2t R (r +E )z -1r +E +t R (r +E )z ,lim inf n 1r +E -tr R (r +E )(d +E )(x n -x )-1r +E +tR (r +E )(z -x )\1r +E +tR (r +E )z -x ,因⽽,存在N I N ,使得(1)x N -z(2)r d +E x N -rd +E+1x +z(3)1r +E +tr R (r +E )(d +E )x N -tr R (r +E )(d +E )+tR (r +E )x -1r +E -tR (r +E )z >1r +E -t R (r +E )x +2t R (r +E )z -1r +E +t R (r +E )z r -Er ;(4)1r +E -tr R (r +E )(d +E )(x N -x )-1r +E +tR (r +E )(z -x )>1r +E +t R (r +E )z -x r -E r. 考虑u =1r +E (x N -z )I B X ,v =1R (r +E )(r d +E x N -(rd +E+1)x +z )I B X .从⽽得到u +tv =1r +E +tr R (r +E )(d +E )x N -tr R (r +E )(d +E )+t R (r +E )x -1r +E -tR (r +E )z >1r +E -t R (r +E )x +2t R (r +E )z -1r +E +t R (r +E )z r -E r=1r +E +t R (r +E )R -t R +t x +2t R +tz -zr -E r ,u -tv =1r +E -tr R (r +E )(d +E )x N +tr R (r +E )(d +E )+t R (r +E )x -1r +E +t R (r +E )z =1r + E -tr R (r +E )(d +E )(x N -x )-1r +E +tR (r +E )(z -x )>1r +E +tR (r +E )z -xr -Er.#8 #⼴西师范学院学报(⾃然科学版) 第26卷因此J (t,X )\1r +E +t R (r +E )r -E r minR -t R +t x +2tR +t z -z ,x -z ,由C 的凸性可知R -t R +t x +2tR +t z I C ,从⽽有J (t,X )\1r +E +t R (r +E )r -Ery -z ,y I C.由于E 的任意性知定理得证.因为R (1,X )\1,如果J (t,X )<1+t R (1,X ),则由J (t,X )<1+t ,得X 是⾃反的.通过定理1和定理3可得空间X 对于⾮扩张映射有不动点的⼀个充分条件.推论4 设C 是Banach 空间X 的⾮空有界闭凸⼦集,T :C y C 是⾮扩张映射,且有J (t,X )<1+tR (1,X ),则T 有不动点.参考⽂献:[1]M AZCU N #N -N AVA RRO EVA M.Banach space proper ties sufficient for no rmal structure[J].J M ath Anal Appl,2008 (337):197-218.[2]杨长森,杜艳霞,陈利.⼴义James 常数和⼀致正规结构[J].河南师范⼤学学报:⾃然科学版,2008(2).[3]BYN U M W.N ormal structure cofficients for Banach spaces[J].Pacific J M ath,1980,86(2):427-436.[4]AL ON SO J,L IOR EN S -F U ST ER E.Geometr ic mean and tr iangles inscribed in a semicircle in Banach spaces[J].J M athAnal Appl,2008(340):1271-1283.[5]SIM S B,SM Y T H M A.On some Banach space propert ies sufficient for weak normal structure and their permanence pr op -erties[J].T rans Amer M at h Soc,1999(351):497-513.[6]DHOM PO NGSA S,K AEWCHARO EN A ,K AEWKHAO A.T he Dom nguez -Lorenzo condition and multivalued nonex-pansive mappings[J].Nonlinear A nal,2006(64):958-970.[7]DHOM PO NGSA S,DO M 1NG U EZ -BEN AV IDES T.T he Jordan -von Neumann constant and fixed points for 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Banach空间集值变分不等式解的存在性
Banach空间集值变分不等式解的存在性刘智; 何诣然【期刊名称】《《四川师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2011(034)005【总页数】4页(P621-624)【关键词】集值变分不等式; 相补问题; 例外簇; 强制性条件; G-伪单调【作者】刘智; 何诣然【作者单位】四川建筑职业技术学院计算机工程系四川德阳618000; 四川师范大学数学与软件科学学院四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O177.911 预备知识及基本结论变分不等式理论是非线性分析和数学规划的重要组成部分，它在力学、控制论、经济数学、对策论、微分方程和最优理论等领域有着广泛的应用［1－6］.设B*是Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸集，F：K→2B*是一集值映射.集值变分不等式问题SVI(K，F)：求向量x∈K，x*∈F(x)使得当K是闭凸锥时，变分不等式SVI(K，F)就变为相补问题SCP(K，F)：求向量x∈K，x*∈F(x)使得变分不等式和相补问题解的存在性是人们研究的热点之一，也就是讨论(1)和(2)式在什么条件下解集非空［6－16］.研究它们解的存在性方法主要有KKM－映射、不动点理论、度理论、极大极小理论、强制性条件以及例外簇等，其中通过引入例外簇研究变分不等式解的存在性是一种比较新的方法，它常常涉及Leray－Schauder型交换定理和拓扑度理论知识［1－8］.然而利用此类方法研究变分不等式解的存在性问题常限于单值映射，对集值变分不等式问题的研究甚少.本文将在一致凸一致光滑的Banach空间中，讨论集值变分不等式和相补问题解的存在性，将文献［1］中结果由单值映射推广到集值映射.定义1.1 若集值映射J：B→2B*满足其中，‖j(x)‖是B*中的范数，‖x‖是B中的范数，则称J是正规对偶映射.注1.1［2］若B*是一致凸的，则J(x)是一个单值映射.定义1.2 设B*是一致凸一致光滑Banach空间B的对偶空间，函数V：B*×B→R满足若对任意φ∈B*，映射∏K：B*→K满足∏K(φ)= 其中，满足则称∏K是广义投影算子，∏K(φ)是φ的广义投影，参见文献［10］中定义6.2.定义1.3 设B*是一致凸一致光滑Banach空间B的对偶空间，函数V：B*×B→R满足若对任意x∈B映射πK：B→K满足其中V2(x，y)=V(Jx，y)，则称πK是广义度量投影算子，参见文献［10］中定义7.2.注1.2［2］正规对偶映射J(x)在一致光滑Banach空间B的有界集上是一致连续的，广义投影算子∏K和广义度量投影算子πK在一致凸一致光滑的Banach空间B的有界集上也是一致连续的.定义1.4 设B*是Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸集，F：K→2B*是一集值映射，称F为：(i)在K上是上半连续映射，若对任意x0∈K，B*中任意包含F(x0)的开集V，都存在x0的开集U，使得F(U)⊂V;(ii)紧映射，若F把K中任意有界集映为B*中的相对紧集;(iii)完全上半连续映射，若F是上半连续的紧映射;(iv)完全上半连续场，若映射 F(x)=x－T(x)，其中，T：K→2Y是完全上半连续映射.定义1.5 设D是赋范线性空间中任意子集.子集D称为可收缩的，若对任意的x∈D存在连续映射h：D×［0，1］→D使得其中，x0∈D.命题1.1［2］设B*是一致凸一致光滑Banach空间B的对偶空间，J：B→2B*是正规对偶映射，∏K：B*→K是广义投影算子，则y0=∏K(y*)当且仅当y*∈J(y0)+NK(y0)，其中，NK(y0)表示K在y0处的法锥，y0∈B，y*∈B*.命题1.2 若B*是一致凸一致光滑Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸集，F：K→2B*是一集值映射.x*∈K⊂B是SVI(K，F)的解当且仅当x*是x∈∏K ［J(x)－F(x)］的解.命题1.3 若B*是一致凸一致光滑Banach空间B的对偶空间，T：B→2B*是一紧映射，则∏K◦T为紧映射.证明设A为B中任意有界集，则由紧映射的定义可知T(A)是相对紧的.又因B是一致凸一致光滑的Banach空间，则∏K在有界集A上是一致连续的，故∏K◦T(x)是相对紧集，从而可知∏K◦T是紧映射.引理1.1［1］设X是局部凸空间E中的闭子集，0∈int(X)，f：X→E是上半连续紧的集值映射，且具有非空的紧收缩值.若f无不动点，则存在(λ*，x*)∈(0，1)×∂X，满足x*∈λ*f(x*).定义1.6 称序列{xr}r＞0⊂K是完全连续场F(x)关于集合K的例外簇，若对任意r＞0，存在实数μr＞1及满足：(i)当r→∞时，‖xr‖→∞;(ii)其中，J(x)是正规对偶映射，NK(μrxr)是集合K在μrx r处的法锥.注1.3 当K是闭凸锥，F是单值映射时，上述的概念与文献［1］中定义的例外簇一致.2 集值变分不等式解的存在性定理2.1 设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸集，F：K→2B*是一集值映射，J：B→2B*是正规对偶映射.若J(x)－F(x)是上半连续紧的集值映射且具有非空的紧收缩值，则SVI(K，F)或有解，或F有关于集合K的例外簇.证明由命题1.2可知SVI(K，F)有解当且仅当ΦK(x)=∏K(J(x)－F(x))=∏K(T(x))，x∈K有不动点.假设映射ΦK没有不动点，定义映射Φ：B→2K满足由Φ和ΦK的定义可知Φ|K=ΦK.由此知ΦK在K中的不动点就是Φ限制在K中的不动点.因而这时的映射Φ也无不动点.对任意的r＞0，令Dr={x∈B，‖x‖≤r}.显然0∈int(Dr)，且Dr是一个非空的闭凸子集.因假设映射Φ在K中无不动点，则Φ在Dr也无不动点.由注1.2和命题1.3，可知Φ被限制在有界集Dr上时，Φ是上半连续的紧映射，且具有非空的紧收缩值.由引理1.1知存在xr∈∂Dr和λr∈(0，1)使得从而存在使得由命题1.1可知令μr=1/λr，则有：推论2.1 设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸锥，F：K→2B*是一集值映射，J：B→2B*是正规对偶映射.若J(x)－F(x)是上半连续紧的集值映射且具有非空的紧收缩值，则SCP(K，F)或有解，或F有关于集合K的例外簇.定义2.1［1］设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸锥，F：K→2B*是一集值映射，则关于闭凸锥K的强制性条件(H)如下：若存在实数ρ＞0使得对任意x∈K满足‖x‖＞ρ，则存在y∈K和y'∈F(x)使得当‖y‖＜‖x‖时，〈y'，x－y〉≥0.定理2.2 设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸锥，F：K→2B*是一集值映射且满足强制性条件(H)，且J：B→2B*是正规对偶映射，则F无关于集合K的例外簇.证明假设［J(x)－F(x)］有关于集合K的例外簇，即序列{xr}r＞0⊂K是［J(x)－F(x)］关于集合K的例外簇，如果对任意r＞0，存在实数μr＞1及满足：当r→∞时，‖xr‖→∞，且.因J(x)在一致凸的空间是单值映射，则存在y'r∈F(xr)使得因映射F满足条件(H)，则对任意的r＞ρ，存在yr∈K，y'r∈F(xr)使得当‖yr‖＜‖xr‖时，〈y'r，xryr〉≥0.这时有故存在矛盾，因而证明成立.推论2.2 设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸锥，F：K→2B*是一集值映射，且满足其中，T：K→2B*是上半连续紧的映射且具有非空的紧收缩值，J：B→2B*是正规对偶映射.若映射F(x)满足条件(H)，则SCP(K，F)有解.证明由推论2.1和定理2.2直接可得.定义2.2［1］设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸锥，F，G：K→2B*是集值映射.若对任意的x，y∈K，存在实数ρ＞0使得若有成立，则称映射F关于锥K是渐进G－伪单调的.定理2.3 设B*是一致凸一致光滑的Banach空间B的对偶空间，K是B中的非空闭凸锥，F，G：K→2B*是集值映射，J：B→2B*是正规对偶映射.若满足以下条件：(a)集值映射J－F是上半连续的紧映射;(b)集值映射F关于锥K是渐进G－伪单调的;(c)SCP(G，K)有解，则SCP(F，K)有解.证明设x*是SCP(G，K)中的解，则对任意y∈K存在y1∈G(x*)使得〈y1，y－x*〉≥0.因条件(b)成立，则对任意的x，y∈K，存在实数ρ＞0使得当〈y1，x－y〉≥0，y1∈G(y)时，则有〈y2，x－y〉≥0，y2∈F(x)成立.令则对任意的x∈K，当‖x‖＞ρ'时，则有‖x*‖＜‖x‖和ρ＜‖x‖.所以当〈y1，x－x*〉≥0，y1∈G(x*)时，则有〈y2，x－x*〉≥0，y2∈F(x)成立.因而映射F满足条件(H)，故［J(x)－F(x)］无例外簇.由推论2.2知SCP(F，K)有解.参考文献［1］Isac G，Li J L.Exceptional 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Banach空间上广义正则值原像的性质
Banach空间上广义正则值原像的性质
史平;马吉溥
【期刊名称】《南京大学学报：数学半年刊》
【年(卷),期】2002(019)001
【摘要】本文指出广义正则值推广了通常正则值的概念，首次引进两个Banach 空间之间C1映射f的广义正则值y的原像S＝f-1（y）上的一对指标M（x）和Mc（X），证明它们是连续的。
同时，讨论f(x）＝y有孤立解的充分条件，证明S＝f-1(y)含x0的连通分支是一个维数为M（x0）的C1Banach子流形，由此得到大范围分析中构造Banach流形的一个原理。
【总页数】7页(P1-7)
【作者】史平;马吉溥
【作者单位】南京大学数学系，南京210093;南京大学数学系，南京210093【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
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