电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter15

L[u(x,t)] U (x, p), L[ut (x,t)] pU (x, p) u(x,0)
L[q(t)] Q( p)
(17.2.7)
原定解问题即为
d2U p U (x, p) 0 dx2 a2
Ux (0, p) Q( p) , U (x, p) M (17.2.8)
易得到(15.2.8)式的解为
设 G(, y) e||y
根据傅氏变换定义， e||y 的傅氏逆变换为
1 e||yeixd 1 [ e d yix 0 eyixd]
2π
2π 0
1 [ 1 1 ] y 2π y ix y ix π(x2 y2 )
再利用卷积公式F 1[F ()G()]
f () g( x )d
最后得到原定解问题的解为
u(x, y) y f ( ) d
π (x )2 y2
容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．
15.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在(,) 上，故当我们讨
论半无界问题时，就不能对变量 x 作傅氏变换了．由此本节介 绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．
p
p
x
x
U (x, p) C( p)e a D( p)e a (17.2.9)
因为 u(x, p) M (0 x ) ,所以
D( p) 0
(17.2.10)
又
Ux (0, p) Q( p)
故
U (x, p)
a
px
Q( p)e a
p
利用
L
1
1
px e a
1
x2
e 4a2t
d2V dx2
1 a2
p2
2
p 2 V
V (0, p) ( p), lim V(x, p) M (15.2.18) x
上述问题的解为
V
(x,
p)
C(
p)e
1
p
x
D(
p)e
1
p
x
因为 lim V (x, p) M , 所以 D( p) 0. x V (0, p) ( p) C( p)=( p)
15.8 利用计算机仿真(Matlab 中的拉普拉氏 变换法)对习题 15.6 进行求解.
( )d
2
2a xFra Baidu bibliotekt
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
15.1.2 热传导问题
例 15.1. 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
ut
u
a2 ux x 0
|t0 (x
, )
( x t ,
0)
【解】 作傅氏变换，F [u(x,t)] U(,t) F [ (x )] ( )
定解问题变换为
x
（15.2.16）
【解】令 2 1 , RG ，并考虑到无失真条件则原方程(15.2.16)化为
LC
v xx
1
2
v tt
2
vt
2v
（15.2.17）
若对时间t 作拉氏变换有
L [v(x,t)] V (x, p) , L [(t)] ( p)
于是定解问题(15.2.16)化为下列常微分方程的边值问题:
t
u(x,t) q( )
a
e d
4
a
x2 2 (t
)
0
π(t )
(17.2.15)
例 15.2.3 求解在无失真条件下(RC LG) ,电报方程的定解问题
v
xx
LCv tt
(RC
LG )v t
RGv
v (x, 0) 0, vt (x, 0) 0
v (0,t) (t),
lim v (x, t) 0
例 15.1.5 定解问题
uxx uyy 0 ( x , y 0)
u( x, 0)
f
(x)
lim u(x, y) 0
x
【解】 对于变量 x 作傅氏变换，有
F 1[u(x, y)] U (, y), F [f (x)] F()
定解问题变换为常微分方程
2U 2U (, y) 0,
(17.2.2)
由此原定解问题中的泛定方程变为
d2U dx2
p a2
U
1 a2
(x)
1 a2
F (x,
p)
0
(17.2.3)
对方程(15.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式
以及卷积定理
F
1
2 π
2
b
b2
eb
x
F -1 F ()G()
f (x )g( )d
得方程(15.2.3)的解为
于是
V
(x,
p)
(
p)e
1
p
x
最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)的解为：
u(
x,t)
L
1[V
(
x,
p)]
e
x
t
x
u
t
x
或
u(x,t
)
e
x
t
x
0
t x
t x
(15.2.47)
本章综合习题
用傅氏变换法求解下列 15.1;15.2;15.3 题；用拉氏变换 法求解下列 15.4;15.5;15.6 题
15.1 二维波动，初始速度为零，初始位移在圆 1 以内为
1，在圆外为零，试求 u | 0 .
15.2 半无界杆，杆端 x 0 有谐变热流 Bsin t 进入，求长
时间以后的杆上温度分布u(x,t) .
15.3 研究半无限长细杆导热问题. 杆端 x 0 温度保持 为零.初始温度分布为 B(ex 1) 15.4 求解一维无界空间中的扩散问题即
第十五章 积分变换法求解定解问题
１5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时， 所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对 分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间， 分离变量法求解定解问题所得到的本征值谱一 般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积 分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问 题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节 将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空 间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法， 并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假 设待求解的函数 u 及其一阶导数是有限的．
U 2a2U (,t) 0
U (,0) ()
常微分方程的初值问题的解是
U (,t) ()e2a2t
再进行逆傅里叶变换，
u(x,t) F 1[U (,t)] 1 ()e2a2teixd 2π
1
[
( )ei d ]e2a2teixd
2π
交换积分次序得
u(x,t) 1
U (x, p) ( )
1
p x
e a d F( , p)
1
p x
e a d
2a p
2a p
(15.2.4)
对(15.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表， 得原定解问题(15.2.1)的解为
u(x,t)
( )
1 2a
πt
exp
(x )2
4a2t
d
t 0
f ( , )
ut a2uxx 0,u |t0 (x)
15.5 求解一维无界空间的有源输运问题即 ut a2uxx f (x,t),u |t0 0
15.6 求解无界弦的受迫振动即
utt a2uxx f (x,t),u |t0 (x),ut |t0 (x)
计算机仿真编程实践
15.7 利用计算机仿真(Matlab 中的傅里叶变换法)对 习题 15.1 进行求解.
2
2a i
这样
U (,t) 1 ()eiat 1 ()eiat 1 ()eiat
2
2ai
2
1 ()eiat ()cos(at) () sin(at)
2ai
a
最后，上式乘以 1 并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积
2π
分定理得到
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
并对空间变量 x 积分（这里把时间变量看成参数）， 按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：
U (,t) u(x,t)eixdx
u(x,t) 1 U (,t)eixd
2π
简化表示为 F [u(x,t)] U(,t)
对其它函数也作傅氏变换，即为
F [(x)] ()
F [ (x)] ()
2a
1 π(t
)
exp
(x )2 4a2 (t
)
d
d
(17.2.5) 15.2.2 半无界区域的问题
例 15.2.2 求定解问题
ut
a2uxx u(x, 0) 0 ,
(0 x , t 0) ux (0, t) q(t)
(15.2.6)
u
(
x,
t
)
M
(0 x , t 0)
【解】首先作变量t 的拉氏变换
( )[
e e d ]d 2a2t i(x )
2π
引用积分公式
e 22 ed (
π
)e
2 4 2
且令 a t , i(x ) 以便利用积分公式，即得到
u(x,t) ( )[
1
e ]d
(
x )2 4a2t
2a πt
15.1.3 稳定场问题
我们先给出求半平面内(y 0) 拉普拉斯方程的第一边值问 题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进行比较）
p
πt
及拉氏变换的卷积定理
L1[F ( p)G( p)]
t
f ( )g(t )d
最后,得原定解问题的解为0
t
u(x,t) q( )
a
e d
4
a
x2 2 (t
)
0
π(t )
(17.2.11) (17.2.12) (17.2.13) (17.2.14) (17.2.15)
最后,得原定解问题的解为
15.1.1 弦振动问题
例 15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数 u 及其一阶导数是有限的，以后不 再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍， 读者可以比较行波解法和傅氏解法）
uut|tt0
a2u
x
(x
x 0 )
,
(
x
)
ut |t0 (x )
【解】
应用傅里叶变换，即用 eix 遍乘定解问题中的各式，
y 2
U (,0) F () lim U (, y) 0
因为 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为 U (x ,y ) C ( e|) y| D (e )| y |
因为 lim U(, y) 0 ，故得到 C() 0, D() F()
常微分方程的解为
U (, y) F ()e||y
15.2.1 无界区域的问题
例 15.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
ut
a2uxx f (x,t),
u |t0 (x)
( x ,t 0)
(15.2.1)
【解】 先对时间t 作拉氏变换
L [u(x,t)] U (x, p), L [ f (x,t)] F(x, p)
L[ut (x,t)] pU (x, p) u(x, 0)
于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
2U t 2
a22U (,t) 0
U (,t) |t0 ()
Ut (,t) |t0 ()
上述常微分方程的通解为
U (,t) A()eiat B()eiat
代入初始条件可以定出
A() 1 () 1 1 ()
2
2a i
B() 1 () 1 1 ()