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2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合(含简单答案)

2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合一、单选题1．已知抛物线()2330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数，则c 的值有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．方程231x x +=的根可视为函数3y x的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（） A ．112x -<<-B ．1123x -<<-C ．1134x -<<-D ．104x -<<3．如图，已知二次函数()()5144y x x =-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则APPK的最小值为（）A ．94B ．2C ．74D ．544．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（）A ．x ＞﹣1B ．x ＜3C ．x ＜﹣3或x ＞1D ．﹣1＜x ＜35．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12-x +m 与C 1，C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（）A ．52928m << B ．12928m << C ．54528m << D ．14528m <<6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()213y ax a =≤≤的图象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（）A ．3060α︒≤≤︒B ．120150α︒≤≤︒C ．90120α︒≤≤︒D ．6090α︒≤≤︒7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时，函数值y 的取值范围为（） A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．m ＜y ＜m +4D ．y ＞m8．如图，抛物线21322y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP =PE =①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π．则正确的选项为（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①二、填空题9．如图，已知抛物线24y x x c =-+的顶点为D ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线AC 交抛物线于点A ，过点A 作y 轴的平行线AB 交射线OD 于点B ，若OA OB =，则c 的值为_____________．10．已知抛物线()2123y x m x m =-+++以及平面直角坐标系中的点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则m 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系中，抛物线215y x bx c =-+（0b >，b 、c 为常数）的顶点为A ，与y 轴交于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ．若ABC 是等腰直角三角形，则BC 的长为________．12．如图，2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在左边）与y 轴交于C 点，P 是线段AC 上的一点，连结BP 交y 轴于点Q ，连结OP ，当OAP △和PQC △的面积之和与OBQ △的面积相等时，点P 的坐标为______．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x mx =-+与x 轴正半轴交于点A ，点B是y 轴负半轴上一点，点A 关于点B 的对称点C 恰好落在抛物线上，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ，连结OC 、AD ．若点C 的横坐标为4-，则四边形OCDA 的面积为___________．14．若243P m m m ++（，）是一个动点（m 为实数），点Q 是直线4y x =-上的另一个动点，则PQ 长度的最小值为_____．15．已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点(6,)D y 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE 十DE 的值最小时，ACE △的面积为是____16．已知：如图，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），我们规定：当AMB 为直角三角形时，就称AMB 为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线26y ax bx =++的“优美三角形”的斜边长为4，求a 的值______．三、解答题17．抛物线23y ax bx =++顶点为点(1,4)D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．(1)求a 和b 的值；(2)是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MB MC +的值最小时，点M 的坐标是___________；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为点A 、D (点A 在点D 的右侧)，与y 轴的交点为点C ．(1)直接写出A 、D 、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD MC +的值最小，并求出点M 的坐标； (3)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线223y ax ax =++中，当=1x -时，4y =．(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上且位于直线AB 上方的一个动点，不与点A ，B 重合，求ABE 的面积最大时，点E 的坐标．(3)若1t x ≤≤时，y 的取值范围是04y ≤≤，请直接写出t 的取值范围．参考答案：1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．8310．2m <-或m>2或1m = 11．6 12．2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．641415．616．12±17．(1)1a =-，2b = (2)存在，(1,2)或(1,6)-18．(1)248433y x x =--+(2)8(1,)3M -(3)存在，P 点的坐标为(1,0)-或(-或(1,-或13(1,)8-19．(1)()4,0A ，()2,0D -，()0,3C -(2)连接AC 交对称轴于点M ，点M 即为所求，91,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()2,0-或()6,6.20．(1)223y x x =--+(2)315()24-，(3)31t -≤≤-。

专题四二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

2025年中考数学复习专题二次函数综合题复习课件(48张PPT)

∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围：
①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，
②8＋m≤8，得m≤0，由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤函数y＝x2－2ax＋3a,顶点坐标为(m，n).
1．(2022·贵阳第24题12分)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，
且图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，
并说明理由；
∴OP′＝OB·tan∠OBP′＝3× 3 ＝3 3 ，∴CP′＝3 3 －3，
综上所述，线段CP的长为3－ 3 或3 3 －3.
(3)当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
【分层分析】分对称轴x＝1在a到a＋1范围的右侧、中间和左侧三种情况，
结合二次函数的性质求解可得．
∴点B的坐标为(3，0)，代入y＝x2＋bx＋c，得
1 − + = 0,
= −2,
ቊ
解得ቊ
9 + 3 + = 0,
= −3,
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
【分层分析】分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再
在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将
新函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，

2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学专题复习二次函数试题(无答案)

中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为___________，点D 的坐标为___________．(2)如图1 ，连结OD P ，为x 轴上的动点，当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点，它的横坐标为 (05)m m <<，连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t s =，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)

2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．抛物线y＝ax2＋c交x轴于A、B（1，0）两点，且经过（2，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线y＝kx＋3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2＋c于点E和F，F在y轴右侧，若△GOF的面积为△GOE面积的2倍，求k值；(3)如图2，点P是第二象限的动点，分别连接P A、PB，并延长交直线y=－2于M、N 两点. 若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．2．如图，已知抛物线2=++与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交△轴于C，0.5y x bx cD两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接P A，过点P作PQ△P A交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？(3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系？如果是相切或相交，请直接写出切点或交点的坐标（不必写演推过程）；如果是相离，请简要说明理由．4．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC．(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：△ACD是直角三角形；(3)判断△ACB和△OAD的数量关系，并说明理由；(4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由．5．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)如图△，点P 为直线AC 下方抛物线上的点，连接P A ，PC ，△BAF 的面积记为S 1，△P AC 的面积记为S 2，当S 2＝38S 1时．求点P 的横坐标；(3)如图△，连接CD ，点Q 为平面内直线AE 下方的点，以点Q ，A ，E 为顶点的三角形与△CDF 相似时（AE 与CD 不是对应边），请直接写出符合条件的点Q 的坐标． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．7．如图1，已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M 为该抛物线上直线BC 下方一点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点N ，线段MN 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；(3)连接CE （如图2），设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P 作PQ △x 轴，垂足为Q ．连接PE ，请求出当△PQE 与△COE 相似时点P 的横坐标．8．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B 两点，点C 的坐标为()1,0-，3AO CO ==，点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上，连接AM ．(1)求点M 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ，若点E 为抛物线上的一点，点F 在x 轴上，连接AE ，AF ，EF ．是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)△求点A ，B ，C 的坐标；△求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM △AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．10．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度（0n >）与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若2AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．11．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．(1)求n 的值及抛物线的解析式；(2)(),0E m 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ．△点E 在线段OA 上运动，若BPD △与ADE 相似，求点E 的坐标；△若抛物线的顶点为Q ，AQ 与CB 的延长线交于点H ，点E 在x 轴的正半轴上运动，若PBD CBO H ∠+∠=∠．请求写出m 的值．12．如图1，平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－12x －2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过点A 、点C ，且与x 轴交于另一点B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．△当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP ，CP ．求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标；△当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接BP ．是否存在点P ，使△PMB 与△AOC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．14．如图，抛物线23(0)y ax bx a=+-≠的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线113y x=-+过点B，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：ABD CBE∠=∠；(3)是否存在点1O，使点1O到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点1O坐标，若不存在，请说明理由．(4)设抛物线与直线DB另一交点为Q，F为线段BQ上一点（不含端点），连接AF，一动点P从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FQ个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案）15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使△CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A ，点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD 交BC 于点E ，若AE ＝2ED ，求点D 的坐标；(3)直线y ＝kx ﹣2k +1与抛物线交于M ，N 两点，取点P （2，0），连接PM ，PN ，求△PMN 面积的最小值．17．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线223y x=-与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线226y x bx=-++经过点A，与x轴的另一个交点为C，交y轴于点D．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)点M是y轴上的点，在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PMD△与BOC相似，且点M与点O为对应点，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=-2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点E ，连接BE ，与直线AC 相交于点F ，当EF =12BF 时，求sin△EBA 的值．(3)点N 是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M ，使以M ，N ，E ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)△求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．△当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)21y x =- (2)k =(3) 1.-2．(1)215322y x x =++(3)在点P （1，6）3．(1)y =x 2－4x +3(2)点D 的坐标是（0，0）或（73，0） (3)相交，交点的坐标是（2，1）或（2，2）4．(1)抛物线解析式为y =-x 2-2x +3；顶点D 的坐标为（-1，4）；(2)见解析(3)△OAD =△ACB(4)相似，F 点的坐标为（-65，185）或（-2，2）．5．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)P 352(3)Q 点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)6．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)224233y x x =--(2)线段MN 存在最大值，最大值为32(3)点P 的横坐标为5或28．(1)(M(2)2y x x =(3)存在，()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．(1)△A (3，0)，B (3，3)，C (0，3)；△23b c =⎧⎨=⎩ (2)2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（0≤m ≤3）；3410．(1)A （1，0），B （4，0），C （0，﹣4）(2)D （83，209） (3)93m n =-11．(1)n =3，y =-x 2+2x +3．(2)△（1，0）或（2，0）．△m =5或73．12．(1)211242y x x =+- (2)△四边形ABCP 面积的最大值为8，此时点P 为（－2，－2）；△存在符合条件的点P ，点P 坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）13．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 14．(1)2 2 3y x x =--(2)见解析(3)存在点()111O -,，使点P 到A ，B ，C ，D 的距离都相等(4)F 的坐标为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点P 在整个运动过程中用时最少15．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)4816．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)（1，4）或（2，3）17．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）18．(1)2246y x x =-++；(0,6)D(2)存在，点P 的坐标为755,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,8)或(3,0)19．(1)抛物线的解析式为y =-2x 2-4x +6；(2)sin△EBA ； (3)M 的坐标为（2，-10）或（-4，-10）或（0，6）．20．(1)223y x x =-++(2)△23DE m m =-，CE ；△m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(3)若直线与线段交于点（不与点，重合），则是否存在这样的直线，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点是抛物线的对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长；
(3) 或
13．(1)二次函数的解析式为；
(3)点P的坐标为或．
14．(1)
(2) ，或
(3)
15．(1)抛物线的函数关系式为；直线的函数关系式为；
(2) 面积的最大值为；
(3)点M的坐标为．
16．(1) ，
(2)
(3)最大值为4，此时
17．(1) ，
(2)
(3) 或或
18．(1)
11．已知：抛物线经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上任意一点，连接，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
(3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求的周长及的值．
12．如图，抛物线交轴于，两点（点在的右边），与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点．

2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合

2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合一、综合题1．已知2318x t y t S x y =-=+=+，，.（1）求S 与t 的函数关系式；（2）当2t =时，求S 的值；（3）求S 的最大值或最小值.2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+mx+5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（5，0）.（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标.（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标.3．已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b ，c 的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y 的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．4．已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A （-1，0），与y 轴的交点坐标为C （0，3） .（1）求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）根据图象回答：当x 取何值时，y ＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA PC +的值最小时的点P 的坐标．5．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点()02F ，的距离与到x 轴的距离相等，如图，点M 的坐标为)3，，P 是抛物线2114y x =+上一动点，则（1）当POF 面积为4时，求P 点的坐标；（2）求PMF 周长的最小值．6．某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg ，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg（1）当销售单价为55元时，计算月销售量和销售利润；（2）当售价定为多少元时，会获得最大利润?求出最大利润.7．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 的长为x 米，苗圃园的面积为y 平方米.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当x 为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？8．已知二次函数22y x bx b =++（b 为常数）．（1）若图象过28（，），求函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当22x -≤≤时，求函数的最大值和最小值．（3）若函数图象不经过第三象限，求b 的取值范围9．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()10A ，，点()03B ，．点P 在此抛物线上，其横坐标为m ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围．（3）若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -．求m 的值．11．如图，已知抛物线过点()00O ，，()55A ，，其对称轴为2x =．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限．①当OAB 的面积为15时，求点B 的坐标；②P 是抛物线上的动点，当PA PB -取得最大值时，求点P 的坐标．12．如图，二次函数的图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC.（1）求二次函数的表达式，并求出函数的最大值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA ＋PC 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）．（1）若二次函数的对称轴是直线x ＝3，求m 的值．（2）当m ＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．14．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx ﹣c 的部分图象如图．（1）求b 、c 的值；（2）分别求出抛物线的对称轴和y 的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作//PM y 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．16．已知二次函数y ＝3mx 2+2nx+p ．（1）若m ＝1，n ＝﹣1．①p ＝﹣8时，求该函数图象的顶点坐标；②当﹣2≤x≤2时，该函数图象与x 轴有且只有一个公共点，求p 的取值范围；（2）若m ＝﹣13，p ＝n+2019，﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，求n 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作PMy 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．18．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()10A ，，()30B ，两点，与y 轴交于点C ，3OC =．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．19．已知二次函数图象的顶点是()12-，，且过点302（，）．（1）求二次函数的表达式．（2）求当24x -<<时，函数的最大值和最小值．（3）求当x 取何值时，0y >20．绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg ，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y 1（元）与产量x （kg ）之间满足一次函数关系y 1＝﹣ 35x+168，生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数图象如图中折线ABC 所示.（1）求生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数关系式；（2）求日利润为W （元）与产量x （kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg 时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？答案解析部分1．【答案】（1）解：将231x t y t =-=+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =-++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++.（2）解：将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=， ∴当2t =时25S =.（3）解：()2285411S t t t =++=+-， ∴当4t =-时，函数S 有最小值-11.【解析】【分析】（1）将第一个与第二个函数解析式代入第三个函数解析式中即可得出 S 与t 的函数关系式；（2）将t=2代入（1）所得函数解析式，即可算出s 的值；（3）将（1）所得函数解析式配成顶点式，由于二次项系数a=1＞0，图象开口向上，故可得出该函数的最小值.2．【答案】（1）解：将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5得，0＝﹣25+5m+5，m ＝4， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5 y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）（2）解：如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA+PC ＝PC+PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值，由抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为（5，0），对称轴l 为x ＝2，设直线BC 的解释为y ＝kx+b ，将点C （0，5），点B （5，0），代入y ＝kx+b 得， {0=5k +b 5=b，解得15k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+5，联立方程，{y =−x +5x =2，解得 23x y =⎧⎨=⎩∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（2，3）.【解析】【分析】（1）将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5中，求出m 值得其解析式，从而求出顶点坐标；（2）由点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值，利用待定系数法求出直线BC 解析式，在求其与对称轴的交点坐标即可.3．【答案】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++，得∶{c =−3−36−6b +c =−3，解得：{b =−6c =−3；（2）解：由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下，又∵-4≤x≤0，∴当x ＝-3时，y 有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大， ①当-3＜m≤0时，当x ＝0时，y 有最小值为-3，当x ＝m 时，y 有最大值为263m m ---，∴263m m ---+（-3）＝2，∴m ＝-2或m ＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x ＝-3时，y 有最大值为6， ∵y 的最大值与最小值之和为2， ∴y 最小值为-4， ∴2(3)6m -++=-4，∴m ＝310--m ＝310-+．综上所述，m ＝-2或310--【解析】【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++ 中求出b 、c 的值；（2）由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++，可得顶点（-3，6），开口向下，可知当x=-3时y 值最大；（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，可得当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大，分两种情况： ①当-3＜m≤0时，②当m≤-3时，分别求出最大值与最小值，根据“ y 的最大值与最小值之和为2 ”列出方程并解之即可.4．【答案】（1）解：把点 a （-1，0）， C （0，-3）代入抛物线 y=x 2+bx+c 可得方程组103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解方程组得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ，所以函数表达式为 2y x 2x 3--＝当 y 0= 时， 2x 2x 30--= ，解得 12x 1x 3=-=，；另一个交点B 的坐标为（3，0）.（2）解：由图象可得：当 1x 3-<< 时， y ＜0.（3）解：如图，作对称轴，作直线BC ，交点P 就是所求的点。

中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3 2．已知二次函数y=3(x−2)2+ℎ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为y1，y2和y 3则y1，y2和y3的大小关系正确的是()A．y3<y2<y1B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y23．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数ℎ=3.5t−4.9t2（的单位：秒，h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A．0.71B．0.70C．0.63D．0.364．对于二次函数y=−14(x+2)2−1，下列说法正确的是（）A．当x>−2时，y随x的增大而增大B．当x=−2时，y有最大值−1C．图象的顶点坐标为(2，−1)D．图象与x轴有两个交点5．抛物线y=2x2−12x+22的顶点是（）A．(3,−4)B．(−3,4)C．(3,4)D．(2,4)6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）下列结论：①ab＜0，②b2-4ac＞0，③a-b+c＜0，④c=1，⑤当x＞－1时，y＞0.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④8．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A．当x＞-2时，y随x增大而减小B．当x＞-2时，y随x增大而增大C．当x＞2时，y随x增大而减小D．当x＞2时，y随x增大而增大9．如图，双曲线y= k x经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A．a+b=k B．2a+b=0C．b＜k＜0D．k＜a＜010．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(−1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，不正确的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．当x>2时，y随x的增大而减小C ．当−1<x <1时D ．一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根是−1和311．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)在y =−x 2+2x +m 的图象上，下列说法错误的是（）A ．当m >0时，二次函数y =−x 2+2x +m 与x 轴总有两个交点B ．若x 2=2，且y 1>y 2，则0<x 1<2C ．若x 1+x 2>2，则y 1>y 2D ．当−1≤x ≤2时，y 的取值范围为m −3≤y ≤m12．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：h ＝30t ﹣5t 2这个函数图象如图所示，则小球从第3s 到第5s 的运动路径长为（）A ．15mB ．20mC ．25mD ．30m二、填空题(共6题；共6分)13．在二次函数 y =−x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为 m n ．（填“＜”，“＝”或“＞”）14．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）15．二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴相交于 (−1, 0) 和 (5, 0) 两点，则该抛物线的对称轴是 .16．函数y= {x 2+2x −3(x <0)x 2−4x −3(x ≥0) 的图象与直线y=﹣x+n 只有两个不同的公共点，则n 的取值为．17．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m 的值为． 18．若函数y=（m ﹣2）x m 2−2+3是二次函数，则m=三、综合题(共6题；共70分)19．已知抛物线 y =a(x −4)2+2 经过点 (2,−2) ．（1）求a 的值；（2）若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。

中考数学考点17二次函数综合题总复习(原卷版)

二次函数综合题【命题趋势】在中考中.二次函数综合题每年必考点.特别是跟几何结合.经常在压轴题中出现。

【中考考查重点】一、线段问题二、面积问题三、等腰、直角三角形问题四、特殊四边形问题五、相似三角形问题六、与角度有关问题考点一：线段问题1．（2021秋•龙沙区期末）如图.抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1.0）.B（3.0）两点.与y轴交于点C（0.3）.抛物线的顶点为D.连接BC.P为线段BC上的一个动点（P 不与B、C重合）.过点P作PF∥y轴.交抛物线于点F.交x轴于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当PG＝2PF时.求点P的坐标；考点二：面积问题2．（2021秋•梅里斯区期末节选）如图.在平面直角坐标系中.已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A.与y轴交于点B.过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1.0）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）探究：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P.使△ABP面积最大？若存在.请求出点P的坐标.若不存在.请说明理由；考点三：等腰、直角三角形问题3．（2021秋•龙凤区校级期末）如图.已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2.0）和B（﹣8.0）.与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点.当△BCF的面积最大时.在抛物线的对称轴上找一点P.使得△BFP的周长最小.请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下.是否存在这样的点Q（0.m）.使得△BFQ为等腰三角形？如果有.请直接写出点Q的坐标；如果没有.请说明理由．4．（2021秋•黄埔区期末）如图.抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点.与y轴交于C点．（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）.A.B两点的坐标；（2）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在.请求出；若不存在.请说明理由．特考点四：特殊四边形问题5．（2021秋•龙江县期末节选）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1.0）.与y轴交于点C.连接AC.有一动点D在线段AC上运动.过点D作x轴的垂线.交抛物线于点E.交x轴于点F.AB＝4.设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当m＝﹣2时.在平面内是否存在点Q.使以B.C.E.Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在.请直接写出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．6．（2021秋•江西月考）如图.抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4.0）.另一交点为B.且与y轴交于点C.连接AC．（1）求m的值及该抛物线的对称轴；（2）若点P在直线AC上.点Q是平面内一点.是否存在点Q.使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在.请说明理由．考点五：相似三角形问题7．（2021秋•建华区期末节选）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1.0）、C（0.﹣3）三点．点D为抛物线的顶点.连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AC上找一点M.使△AOM∽△ABC.请你直接写出点M的坐标；考点六：与角度有关的问题8．（2021秋•郧西县期末）如图.抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1.0）、B（3.0）.与y轴交于点C.连接AC.BC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）Q为抛物线上一点.若∠ACQ＝45°.求点Q的坐标．3．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位.再向上平移4个单位后.得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A.B.与y轴交于点C．已知A（﹣3.0）.点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1.点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A.C重合）.过点P作PD ⊥AB.垂足为D.PD交AC于点E．作PF⊥AC.垂足为F.求△PEF的面积的最大值；（3）如图2.点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点.在抛物线H上.是否存在点P.使得以点A.P.C.Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在.求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在.说明理由．1．（2021秋•长兴县月考）如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1.0）和B（3.0）.点D为线段BC上一点.过点D作y轴的平行线交抛物线于点E.连结BE．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDE为直角三角形时.求线段DE的长度；（3）在抛物线上是否存在这样的点P.使得∠ACP＝45°.若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．2．（2021秋•新荣区月考）如图1.在平面直角坐标系中.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1.0）.B（4.0）.与y轴交于C（0.4）．（1）求该二次函数的解析式．（2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P.使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在.请求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．（3）如图2.D为线段BC上的一个动点.过点D作DE∥y轴.交二次函数的图象于点E.求线段DE长度的最大值．1．（2021•内江）如图.抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2.0）、B（6.0）两点.与y 轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点.与y轴交于点E.点D的坐标为（4.3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方.连接P A、PD.求当△P AD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点.且∠ADQ＝45°.求点Q的坐标．2．（2021•西藏）在平面直角坐标系中.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A.B两点．与y 轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1.0）.点C的坐标为（0.5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时.求点P的坐标；（3）图（乙）中.若点M是抛物线上一点.点N是抛物线对称轴上一点.是否存在点M 使得以B.C.M.N为顶点的四边形是平行四边形？若存在.请求出点M的坐标；若不存在.请说明理由．3．（2021•湘潭）如图.一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B.二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C.点P是对称轴上一动点.在抛物线上是否存在点Q.使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在.求出Q点坐标；若不存在.请说明理由．4．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1.0）.点B（3.0）.顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图1.点P在抛物线上.连接CP并延长交x轴于点D.连接AC.若△DAC是以AC为底的等腰三角形.求点P的坐标；（3）如图2.在（2）的条件下.点E是线段AC上（与点A.C不重合）的动点.连接PE.作∠PEF＝∠CAB.边EF交x轴于点F.设点F的横坐标为m.求m的取值范围．1．（2021•宝鸡模拟）如图.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1.0）和B.与y 轴交于点C（0.3）．（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设抛物线的顶点为D.连接CD、DB、CB、AC．①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P.使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在.请直接写出点P的坐标；若不存在.请说明理由．2．（2021•中山市模拟）如图.抛物线y＝﹣x﹣3与x轴交于A.B两点（点A在点B 的左侧）.与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A.D两点.与y轴交于点E.点D的坐标为（4.﹣3）．（1）请直接写出A.B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点.点P的横坐标为m（m≥0）.过点P作PM⊥x轴.垂足为M．PM与直线l交于点N.当点N是线段PM的三等分点时.求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点.且∠ADQ＝45°.求点Q的坐标．3．（2020•长春模拟）如图.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1.0）、B（3.0）（点A 在点B的左边）.与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴.交抛物线于点D.过点D作DE ∥y轴.交直线BC于点E.点P在抛物线上.过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q.连接PB.设点P的横坐标为m.PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时.求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时.直接写出m的值．4．（2021•黄冈二模）如图.抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1.0）和点B （2.0）.与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1.连接BC.点D是直线BC上方抛物线上的点.连接OD、CD.OD交BC于点F.当S△COF：S△CDF＝2：1时.求点D的坐标；（3）如图2.点E的坐标为（0.﹣1）.在抛物线上是否存在点P.使∠OBP＝2∠OBE？若存在.请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．5．（2021•阳东区模拟）如图.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1.0）.与y 轴相交于点N（0.3）.抛物线的顶点为D.经过点A的直线y＝kx+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点.设点P的横坐标为t.过点P作y 轴的平行线交AC于M.当t为何值时.线段PM的长最大.并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B.E为直线AC上的任意一点.过点E作EF∥BD交抛物线于点F.以B.D.E.F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能.请直接写出点E的坐标；若不能.请说明理由．。

专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练(原卷版)--2023 年中考数学压轴真题汇编

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题05二次函数函数综合的压轴真题训练一．二次函数的图象1．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．二．二次函数的性质2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 3．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1 4．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4 5．（2022•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是．三．二次函数图象与系数的关系6．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n （m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2 7．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A．a＞0B．a+b＝3C．抛物线经过点（﹣1，0）D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根8．（2022•广安）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（）A．1B．2C．3D．4 9．（2022•恩施州）已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．11．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是．12．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个14．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y ＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④15．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3 16．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1或m＞0B．＜m＜C．0≤m＜D．﹣1＜m＜1 17．（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个四．二次函数图象上点的坐标特征18．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞020．（2022•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有个．21．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5 22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．五．二次函数的最值23．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k ≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．B．2C．D．1 24．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k ≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．1B．C．2D．六．二次函数图象与几何变换25．（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．26．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．七．抛物线与x轴的交点27．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c ＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个28．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c ＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）29．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为．八．二次函数综合题30．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个31．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④。

2023年中考数学二次函数实际应用问题函数综合专项练习(无答案)

【二次函数实际应用题+函数综合】专项练习1．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天）13610…日销售量（m件）198194188180…②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜5050≤x≤90销售价格（元/件）x+60100（1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点D为该抛物线的顶点，设点E（m，0）（m＞2），如果△BDE和△CDE的面积相等，求E点坐标．3.某花木公司生产的花卉产品年产量为6万件，每年可通过在网上销售和批发部销售全部售完．该花卉产品平均每件产品的利润与销售的关系如表：销售量（万件）平均每件产品的利润（元）网上销售x当0＜x≤2时，y1＝140当2≤x＜6时，y1＝﹣5x+150批发部销售n当0＜n≤2时，y2＝120当2≤n＜6时，y2＝﹣5n+130（1）①当网上销售量为4.2万件时，y1＝；y2＝②y2与x的函数关系为：当0＜x≤时，y2＝；当≤x＜6时，y2＝120．（2）求每年该公司销售这种花卉产品的总利润w（万元）与网上销售数量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年网上、批发部的销售量各为多少万件时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少万元？4.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣，3 ），AB＝2，AD＝3．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，得矩形A'B'C'D'．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．5.某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y＝a （x﹣h）2+k，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y＝a（x﹣h）2+k；（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.如图，直线y＝k1x+b1与反比例函数y＝的图象及坐标轴依次相交于A、B、C、D四点，且点A坐标为（﹣3，），点B坐标为（1，n）．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求证：AC＝BD；（3）若将一次函数的图象上下平移若干个单位后得到y＝k1x+n，其与反比例函数图象及两坐标轴的交点仍然依次为A、B、C、D．（2）中的结论还成立吗？请写出理由，对于任意k＜0的直线y＝kx+b．（2）中的结论还成立吗？（请直接写出结论）7．大圩葡萄味美多汁，深受消费者喜爱．某品种的葡萄采摘后常温保存最多只能存放一周，如果立即放在冷库中保存则可适当延长保鲜时间（保鲜期延长最多不超过120天）．另外冷藏保鲜时每天仍有一定数量的葡萄变质，保鲜期内的葡萄因水分流失损失的质量可忽略不计．现有一位个体户，按市场价10元/千克收购了这种葡萄2000千克放在冷库室内保鲜，据测算，伺候每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有10千克葡萄变质丢弃．（1）存放x天后将这批葡萄一次性出售，设这批葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式，并说明销售金额y随存放天数x的变化情况；（2）考虑资金周转因式，该个体户决定在两个月（每月以30天计算）内将这批葡萄一次性出售，问该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润？最大利润时多少元？8．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？9.如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）连接BC交x轴于点F．试在y轴负半轴上找一点P，使得△POC∽△BOF．10．某企业生成一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1＝190﹣2x．月产量x（套）与生成总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2（2）与x之间的函数关系式；（3）求月产量x的取值范围；（4）当月产量x（套）为多少时，这种产品的利润W（万元）最大？最大利润是多少？11．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．12．如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．（1）求反比例函数的解析式与点B坐标；（2）求△AOB的面积；（3）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值小于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．13、某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．14、某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台15、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x（元/kg）120130 (180)每天销量y（kg）10095 (70)设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？16、水库90天内的日捕捞量y（kg）与时间第x（天）满足一次函数的关系，部分数据如表：时间第x（天）13610日捕捞量（kg）198194188180（1）求出y与x之间的函数解析式；（2）水库前50天采用每天降低水位的办法减少捕捞成本，到达最低水位标准后，后40天水库维持最低水位进行捕捞．捕捞成本和时间的关系如下表：时间第x（天）1≤x＜5050≤x≤90捕捞成本（元/kg）60﹣x10已知鲜鱼销售单价为每千克70元，假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．设销售该鲜鱼的当天收入w元（当天收入＝日销售额﹣日捕捞成本），①请写出w与x之间的函数解析式，并求出90天内哪天收入最大？当天收入是多少？②若当天收入不低于4800元，请直接写出x的取值范围？17、某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：x（万元）00.51 1.52…y1 1.275 1.5 1.675 1.8…（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．18、合肥周谷堆农副产品批发市场某商铺购进一批红薯，通过商店批发和在淘宝网上进行销售，首月进行了销售情况的统计．其中商店日批发量y1（百斤）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；在淘宝网上的日销售量y2（百斤）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．时间x（天）0510********日批发量y1（百斤）025*********（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与x之间的函数关系式；（2）求y2与x之间的函数关系式；（3）设这个月中，日销售总量为y，求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时，日销售总量y最大，最大值为多少？19、为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？20、农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴，其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系：型号Ⅰ型设备Ⅱ型设备金额购买金额x（万元）x1x24补贴金额y（万元）y1＝kx（k≠0）0.4y2＝ax2+bx（a≠0） 2.4 3.2（1）分别求出y1和y2的函数解析式；（2）张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备．请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简略答案)

9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上的一点，连接，当的面积最大时，连接，设分别是线段上的点，且，求四边形的面积；
（3）如图2，点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值；
（3）在抛物线对称轴上找一点，使点，，三点构成的图形是直角三角形，求点的坐标．
（2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标．
（3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由
8．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
13．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接．
（1）求经过三点的抛物线的函数表达式；
（2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标．

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题训练(含答案)

(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点、．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2) 为抛物线第一象限内一点，使得面积最大，求面积的最大值及此时点的坐标；
3．(1)
(2)
(3)存在，
(4) 或
4．(1)
(2)①最大值为8，m＝2；②存在，或
5．(1)C（0，6）；抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6
(2)P（3，12）
(3)点N的坐标为（，）或（，）
6．(1)y＝ x2﹣3x﹣8，点B坐标（8，0），点E坐标（3，﹣4）
(2)存在，F
(3)﹣ 或﹣
(3)将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，若点F为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A( ，0)、B(4，0)，与y轴交于点C．
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．
3．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与点重合，与点重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1；当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3；（3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。

中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]

最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：mmABmAB mnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：n mAnnnm（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m（1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；2.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A ．B ．C ．3 DBAm A B E CBD 图1A D EPB C二次函数常见压轴y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．因动点产生的三角形相似问题例1.（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．例2．如图，直线3y x=-+与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B C，两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x=．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P B Q，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23y x bx=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.A BCPOxy2x=AOBCxy和最小差最大如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.面积问题：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．yxBA FPx＝1CO例题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．例3：已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．讨论直角三角例1：已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例2：如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中四边形存在问题研究一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1.如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.PEOFCDBAxyOCDBA 备用图yx二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、By ax ax c a两点，A点在B点左侧。

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)含答案

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题）1．已知抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -和点()0,3C -，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为第四象限内抛物线上的点，连接,,CP AP AC ，如图1，当CP AC ⊥时，求P 点坐标；(3)设点M 为抛物线上的一点，若2MAB ACO ∠=∠时，求M 点坐标．2．如图，已知抛物线213y x bx c =-++交x 轴于()30A -,，()4,0B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接OP ，BP ，若2BOP AOC S S =△△，求点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠QBA ＝75°？若存在，直接写出点Q 的坐3．已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标；(3)如图2，过点N作NM∠y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标．4．如图，抛物线y＝34x2+bx+c交x轴于A，B两点，交轴于点C，点A，B的坐标分别为（-1，0），（4，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求∠CPB的面积最大时点P的坐标；(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．5．如图，抛物线y 14=x 2+bx +c 与直线y 12=-x +3分别交于x 轴，y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为A ，顶点为D ，连接CD 交x 轴于点E ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F ，G 是对称轴上两个动点，且FG ＝2，点F 在点G 的上方，请求出四边形ACFG 的周长的最小值；(3)连接BD ，若P 在y 轴上，且∠PBC ＝∠DBA +∠DCB ，请直接写出点P 的坐标．6．如图∠，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点A （1-，0），并且与直线122y x =-相交于坐标轴上的B 、C 两点，动点P 在直线BC 下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图∠，连接PC ，PB ，设∠PCB 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图∠，过点A ，C 作直线，求证AC ∠BC ；（4）如图∠，抛物线上是否存在点Q ，使得∠ABQ ＝2∠ABC ？若存在，则求出直线BQ 的解析式；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式．8．如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-（a 为常数，且a ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线34y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求a 的值；（3）在（1）的条件下，直线BD 上是否存在点E ，使∠AEC =45°？若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直线y ＝﹣x ＋3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过B 、C 两点，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式．（2）如果一个圆经过点O 、点B 、点C 三点，并交于抛物线AC 段于点E ，求∠OEB 的（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使∠PCD 为等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出PB 2的值；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐标；（3）已知E 是x 轴上的点，F 是抛物线上的动点，当B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当2ABD BAC ∠=∠时，求点D 的坐（3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E点的坐标，12．如图1，抛物线2=-+与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于y ax x c点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD 于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请14．抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴正半轴交于点C ．（1）如图1，若()1,0A -，()3,0B ， ∠求抛物线2y x bx c =-++的解析式；∠Р为抛物线上一点，连接AC 、PC ，若AC PC ⊥，求点P 的坐标；（2）如图2，D 为x 轴下方抛物线上一点，连DA ，DB ，若290BDA BAD ∠+∠=︒，求点D 的纵坐标．（1）如图1，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于点A 和点()3,0B ，对称轴为直线1x =； ∠求抛物线的解析式；∠点P 为抛物线上一动点，PN BC ⊥，垂点为N ，当PCN △与BOC 相似时，直接写出P 点坐标；（2）点D 为抛物线顶点，若抛物线上有且只有一个点Q 的横坐标是纵坐标的2倍，且45DCO ∠=︒，求a 的值．16．如图，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OB ，OC 的长分别为28120x x -+=的两个根()OC OB >，点A 在x 轴的负半轴上，且3OA OC OB ==，连接AC ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式；（2）点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求CPQ S △的最大值；（3）M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得15ACM ∠=︒？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()()1,0,3,0A B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，求BCD △的面积；（3）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知直线43y x n =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0,4），抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，-2），点P 为抛物线上一个动点，设P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ∠PD 于点D ，联结PB ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）将△BDP 绕点B 旋转得到△BD P ''，且旋转角∠PB P '=∠OAC ，当点P 对应点P '落在y 轴上时，求点P 的坐标．19．如图，顶点为(),P m m （0m >）的二次函数图象与x 轴交于点()2,0A m ，点B 在该图象上，直线OB 交二次函数图象对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、（1）求该二次函数的关系式（用含m 的式子表示）．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ∠连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB 的形状，并说明理由． ∠求证：BNM ONM ∠=∠．20．如图1，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ．（1）求直线BD 的解析式；（2）P 为抛物线上一点，当点Р到直线BD 的距离为P 的坐标；（3）如图2，直线y t =交抛物线与M ，N 两点，C 为抛物线上一点，当90MCN ∠=︒时，请探究点C 到MN 的距离是否为定值．参考答案：1．(1)223y x x =--(2)（73，209-） (3)点M 的坐标为939,416⎛⎫- ⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)211433y x x =-++(2)（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）(3)存在，Q 的坐标为（12，(123．(1)2y x 2x 3=-++(2)44(3)（1，32）4．(1)239344y x x =-- (2)92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)抛物线的解析式为：21234y x x =-+(2)四边形ACFG 2(3)点P 的坐标为(0，﹣2)或(0，18)6．（1）213222y x x =--；（2）4；（4）存在，41633y x =-和41633y x =-+. 7．（1）215222y x x =-+；（3）直线CP 的解析式为423y x =-+或2y =8．（1）：y =14x 2-12x -2；（2）a （3）在直线BD 上不存在点E ，使∠AEC =45°．理由见解析9．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）45°；（3）存在，点P （1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，、（1，4；（4）存在，．10．（1）213222y x x =-++；（2）（2,3）；（3）()3,2或2⎫-⎪⎪⎝⎭． 11．（1）抛物线得解析式为213222y x x =-++；（2）点D 的坐标为()2,3；（3）E 点的坐标为（2，0）或（52，0）或（52，0）或（-4，0）． 12．（1）2142y x x =--，2y x =--；（2）P （0，-4）；（3）点Q 的坐标为440(,)39-，20104(,)39． 13．（1）y =x 2-4x +3，顶点（2，-1）；（2）（113，169）；（3）（2，109）或（2，319） 14．（1）∠2–23y x x =++；∠720(,)39P ；（2）1- 15．（1）∠212133y x x =-++；∠()2,1，1735,416⎛⎫- ⎪⎝⎭，52,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）1916a =或22516a =16．（1）21262y x x =--+；（2（3）存在，M 4⎡-⎢⎣⎦或(4--- 17．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3；（3）存在，P 1（2，3），P 2（4，-5） 18．（1）224233y x x =--；（2）72或12；（3）P （258，1132）或（7255,896-） 19．（1）()12y x x m m =--；（2）∠等腰直角三角形20．（1）1y x =-；（2）P ⎝⎭或P ⎝⎭；（3）C 到MN 的距离为定值1.。

中考数学二次函数综合练习题及答案解析

中考数学二次函数综合练习题及答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标．（3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x2+32x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，-2）．设直线BD的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12．∴直线BD的解析式为y=12x-2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x2+32x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），①当A1、C1在抛物线上时，∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．2．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6，即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得： 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ，∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274， ∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274，又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154， ∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.3．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．4．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.5．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1180k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：3300m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400，当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩；（3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105， ∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65， ∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．已知函数()()22,1,222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩（n 为常数）（1）当5n =，①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．【答案】（1）①92b =②458；（2）1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<．【解析】【分析】（1）①将()4,P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2y x nx n =-++和21222n n y x x =-++中，得到82,3n n ==，所以823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点；（3）当xn =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n +≤，得到312n ≥，当x n=时，22y n n n n =-++=，4n <．【详解】解：（1）当5n =时，()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++，∴92b =； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中， ∴185n =， ∴1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点()2,2代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， ∴823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）当xn =时，22112222n n y n n =-++=，42n>，∴8n >；当2n x =时，182n y =+， 1482n +≤，∴312n ≥，当xn =时，22y n n n n =-++=，4n <；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<．【点睛】考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.8．抛物线与x 轴交于A ，B 两点（OA ＜OB ），与y 轴交于点C ．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.10．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．11．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形；（3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论．【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3． Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M 的坐标为，点N 的坐标为，．Q 点A 的坐标为()1,0，(222210571AM t t t ⎫⎫∴=+-=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭(222210571AN t t t ⎫⎫=-+-=++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2223332321882222t t MN t ⎛⎛-+++=-+-=+ ⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x 2+32x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，连接BC ．（1）求直线l 的解析式；（2）若直线x=m （m ＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；（3）取点G （0，﹣1），连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=122x --；（2）DE=3225；（3）存在点P （139，9881），使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ，理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A 和点C 的坐标，从而可以求得直线l 的函数解析式；（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB ，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．【详解】（1）∵抛物线y=12x 2+32x-2， ∴当y=0时，得x 1=1，x 2=-4，当x=0时，y=-2，∵抛物线y=12x 2+32x-2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， ∴点A 的坐标为（-4，0），点B （1，0），点C （0，-2）， ∵直线l 经过A ，C 两点，设直线l 的函数解析式为y=kx+b ，402k b b -+⎧⎨-⎩＝＝，得122k b ⎧-⎪⎨⎪-⎩＝＝，即直线l 的函数解析式为y=−12x−2；（2）直线ED 与x 轴交于点F ，如图1所示，由（1）可得，AO=4，OC=2，∠AOC=90°， ∴5 ∴45525=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ， ∴△AOD ∽△ACO ， ∴AD AOAO AC＝，即425AD ＝，得85， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°， ∴EF ∥OC ， ∴△ADF ∽△ACO ， ∴AF DF AD AO OC AC＝＝，解得，AF=165，DF=85， ∴OF=4-165=45， ∴m=-45，当m=-45时，y=12×（−45）2+32×（-45）-2=-7225，∴EF=7225， ∴DE=EF-FD=7225−85＝3225；（3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2）， ∴OA=4，OB=1，OC=2，∴tan ∠OAC=2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=12OB OC ＝，5， ∴∠OAC=∠OCB ，∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ， ∴∠BAP=∠GAM ，∵点G （0，-1），5OA=4， ∴OG=1，GC=1， ∴17，••22AC GM CG OA ＝25?142GM ⨯，解得，25， ∴22AG GM -222595(17)()55-=，∴tan ∠GAM=2525995GM AM =， ∴tan ∠PAN=29，设点P 的坐标为（n ，12n 2+32n-2）， ∴AN=4+n ，PN=12n 2+32n-2， ∴2132222 49n n n +-+＝，解得，n 1=139，n 2=-4（舍去），当n=139时，12n2+32n-2=9881，∴点P的坐标为（139，9881），即存在点P（139，9881），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．13．抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可．试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或．考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论．14．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4），如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO =PEOC，即4t=523t-，解得15129±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，52=526，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC =3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为4915129±、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′ 设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -，解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN 22D H NH '+2246+13点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．15．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （13），点B （3，﹣3），O 为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围；（3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．。

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二次函数与几何图形结合题（24 题考查）
（2007 陕西）
24．（本题满分10 分）
如图，在直角梯形OBCD 中， OB 8， BC 1， CD10 ．
y
（ 1）求C，D两点的坐标；
D
（ 2）若线段OB上存在点P，使PD⊥PC，求过D，P，C
三点的抛物线的表达式．
C
O
P B x
（第24题
（2008 陕西）
（2009 陕西）
（2010 陕西）
（ 2011 陕西）
24．（本题满分10 分）
2 x 2—1x的图像经过△AOC的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n)
如图，二次函数y
3 3
一、求 A 、 B 的坐标
二、在坐标平面上找点C，使以 A、 O、 B、C 为顶点的四边形是平行四边形
三、这样的点 C 有几个？
2 x2—1x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解
四、能否将抛物线y
3 3
读式；若不能，说明理由。

(2012 年 24 题 )
24.（ 2012）如果一条抛物线y=ax2 +bx+c a 0 与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点
的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx b>0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
求 b 的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx' b'>0的“抛物线三角形”，是
否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD ？若存在，求出过 O、 C、 D 三
点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
（2013 年 24 题）
２４ .（ 2013）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过 A （ 1,0）B （ 3,0）两点 .
（1）写出这个二次函数图像的对称轴；
（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点 C，它的对称轴与x轴交与点 E，连接 AC 、 DE 和 DB. 当
△ AOC 与△ DEB 相似时，求这个二次函数的表达式.
（2014 年 24 题）
24.（ 2014）已知抛物线C: y x2bx c 经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将抛物线的顶点记为M, 它的对称轴与x 轴的交点记为N.
(1)求抛物线 C 的表达式；
（2）求点 M 的坐标；
（3）将抛物线 C 平移到抛物线 C’，抛物线 C’的顶点记为 M ’、它的对称轴与 x 轴的交点记为 N’。

如果点 M 、N、M ’、 N ’为顶点的四边形是面积为16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？
（2015 年 24）
24.在平面直角坐标系中，抛物线y = x2 + 5x + 4的顶点坐标为M ，与 x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C。

（1）求点 A 、 B、 C 的坐标。

（2）求抛物线 y = x 2 + 5x + 4关于坐标原点 O 对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（ 2）中所求抛物线的顶点坐标为 M ＇，与 X 轴交于 A ＇Ｂ＇两点，与ｙ轴交于Ｃ＇点，在以ＡＢＣＭＡ＇
Ｂ＇Ｃ＇Ｍ＇这八个点中四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积。

（２０１６年２４题）
2 4. （本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y ax 2bx 5
经过点 M（ 1,3 ）和 N（ 3,5 ），与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点。

（1）试判断抛物线与 x 轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过 A（-2,0 ）且与 y 轴的交点为 B 同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形 . 请写出平移的过程，并说明理由。

（２０１７年２４题）
24．在同一直角坐标系中，抛物线C1 : y ax2 2x 3 与抛物线 C2 : y x2 mx n 关于y轴对称， C 2与 x 轴交于 A、 B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧．
（1）求抛物线C1, C2的函数表达式；
（2）求A、B两点的坐标；
（ 3）在抛物线C1上是否存在一点P ，在抛物线C2上是否存在一点Q ，使得以 AB 为边，且以 A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、 Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（选择、填空）
（ 2011）10、若二次函数y x 2 6x c 的图像过A( 1,Y1 ), B(2,Y2 ), C(3 2, Y3 ),则y1, y2, y3的大小关系是【】
(2010)
(2009)
(2008)
(2007)
1.（ 2014）二次函数y ax 2 bx c(a 0) 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
B、b>0
A 、 c>-1
C、2a b 0 D 、9a2 c 3b
2.（ 2013 ）已知两点 A 5， y1 B 3, y2 均在抛物线 y ax 2 bx c(a 0) 上，点C x0, y0 是该抛物线的顶点 . 若 y1 y2 y0，则 x0的取值范围是（）
A. x05
B. x0 1
C. 5 x01
D. 2 x0 3
3.（ 2012）在平面直角坐标系中，将抛物线y x2x 6 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的
抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（）
A ．1B． 2 C． 3 D ． 6
4.（ 2011）若二次函数y x 26x c 的图像过A( 1, Y1), B(2,Y2), C(32, Y3 ),则y1, y2, y3的大小关系是（）
A、y1>y 2>y 3
B、y1>y 3>y 2
C、 y3 >y2>y1 D 、 y2>y 3>y 1。