2018-2019学年湖南省永州市九年级(上)期末数学试卷-解析版

2018-2019学年湖南省永州市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知反比例函数y=k

x

的图象经过点(1,2〕，则k的值为()

A. 0.5

B. 1

C. 2

D. 4

2.已知a

b =2

3

，则a?b

b

的值是()

A. 2

3B. 3

5

C. ?1

3

D. 1

3

3.方程x2?2x+1=0的根的情况是()

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 没有实数根

4.已知点A(3,y1)，B(5,y2)在函数y=5

x

的图象上，则y1，y2的大小关系是()

A. y1

B. y1>y2

C. y1=y2

D. 不能确定

5.下列各式中，不成立的是()

A. cos60°=2sin30°

B. sin15°=cos75°

C. tan30°?tan60°=1

D. sin230°+cos230°=1

6.为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用

水量进行统计，结果如下表：

月用水量(吨)456813

户数45731

则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是()

A. 中位数是5

B. 平均数是5

C. 众数是6

D. 方差是6

7.在同一平面直角坐标系中，函数y=k

x

与y=kx+1(k为常数，k≠0)的大致图象是()

A. B.

C. D.

8.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加以下条件，

不能判断△AED∽△ABC的是()

A. ∠AED=∠ABC

B. ∠ADE=∠ACB

C. AD

AC =ED

BC

D. AD

AC

=AE

AB

9. 如图，已知线段AB ，过点B 作AB 的垂线，并在垂线上取BC =1

2AB ；连接AC ，

以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AC 于点D ；再以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于点P ，则AP

AB 的值是( )

A. √5?1

2 B. √5+12 C. 3?√52 D. √22

10. 式子“1+2+3+4+?+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式

子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑n 100n=1，这里“∑”是求

和符号，如∑n 24n=1=12+22+32+42

=30，通过对以上材料的阅读，计算

∑1n(n+1)

2019n=1

的值是( )

A. 1

2

B. 2017

2018

C. 2018

2019

D. 2019

2020

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE//BC 交AC 于

点E ，若BC =2，则DE 的长是______． 12. 如图，点P 在反比例函数y =?4

x 的图

象上，过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，则△POA 的面积是______．

13. 如图，某商店营业大厅自动扶AB 的坡度为i =1：2.5，过B 点作BC ⊥AC.垂足为

点C.若大厅水平距离AC 的长为7.5m ，则两层之间的高度BC 为______米．

14. 已知关于x 的方程x 2+3x +q =0的一个根为?3，则它的另一个根为______，

q =______．

15. 两个相似三角形的最短边长分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么较

大三角形的周长为______cm ．

16. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，且tan∠ADE =

43

，AC =5，则AB 的长______．

17.如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡

AB=AC=6米，屋顶∠BAC=150°，计划把图中△

ABC(阴影部分)涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为

100元，则这部分墙漆的造价共需______元．

18.我们规定：等腰三角形的底

角与顶角度数的比值叫做等

腰三角形的“特征值”.如图，

△ABC是以A为顶点的“特

征值”为1

的等腰三角形，在△ABC外有一点D，若∠ADB=∠ABC，AD=4，BD=3，

2

则∠ABC=______度，CD的长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

19.计算：|?2|+(π+2019)0?2tan45°．

20.2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学

习禁毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的计图

(1)本次抽查的人数是______；

(2)扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为______度；

(3)补全条形统计图；

(4)若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”

两个等级共有多少人？

21.为了预防“流感“，某学校对教室采用熏法进行消毒，

已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量y(毫

克/立方米)与药物点燃后的时间x(分钟)成正比例；

药物燃尽后，y与x成反比例(如图所示)已知药物点

燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为

15毫克．

(1)分别求出这两个函数的表达式：

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于3毫

克时对人体没有危害，那么此次消毒后经过多长时间

学生才可以安全进入教室？

22.某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018

年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．

(1)求平均每年生产成本下降的百分率；

(2)假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该

公司的生产成本．

23.如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得

教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D 的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高(结果保留根号)．

24.已知关于x的方程x2?4x+3?a=0有两个不相等的实数根．

(1)求a的取值范围；

(2)当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解；

(3)在(2)的条件下，若方程x2?4x+3?a=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，

求等腰△ABC的周长．

25.如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点

(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE=45°．

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出

当BD为何值时AE取得最小值？

(3)在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存

在，请说明理由．

26.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线

的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分的交点，若反比例函数y=k

x

别交于点E，F．

(1)若D的坐标为(4,2)

①则OA的长是______，AB的长是______；

②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；

③在x轴上是否存在一点P.使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此

时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．

(2)若点D的坐标为(m,n)，且m>0，n>0，求EF

的值．

AC

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：将点(1,2)代入解析式得，

2=k

1

，

k=2．

故选：C．

将点(1,2)代入解析式即可求出k的值．

本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，点的坐标符合函数的解析式，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

2.【答案】C

【解析】解：∵a

b =2

3

，

∴a?b

b =a

b

?1=2

3

?1=?1

3

，

故选：C．

由a?b

b =a

b

?1，再代入计算可得．

本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．

3.【答案】B

【解析】解：∵△=(?2)2?4×1×1=0，

∴方程有两个相等的实数根．

故选：B．

先计算出△=(?2)2?4×1×1=0，然后根据△的意义进行判断方程根的情况．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2?4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．

4.【答案】B

【解析】解：把A(3,y1)，B(5,y2)代入y=5

x 中得y1=5

3

，y2=5

5

=1，

所以y1>y2．

故选：B．

把A、B两点坐标代入反比例函数解析式可分别计算出y1，y2，从而可比较它们的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k

x

(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

5.【答案】A

【解析】解：A、cos60°=sin30°，错误；

B、sin15°=cos75°，正确；

C、tan30°?tan60°=1，正确；

根据互余两角的三角函数关系判断即可．

此题考查互余两角的三角函数关系，关键是根据互余两角的三角函数关系解答．

6.【答案】C

【解析】解：A、根据按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，(6+

6)÷2=6，故本选项错误；

B、平均数=(4×4+5×5+6×7+8×3+13×1)÷20=6，故本选项错误；

C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；

D、方差是：S2=1

20

[4(4?6)2+5(5?6)2+7(6?6)2+3(8?6)2+(13?6)2]=4.1，故本选项错误；

故选：C．

根据平均数、中位数、众数和方差的概念，对选项一一分析，选择正确答案．

此题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．

7.【答案】D

【解析】解：当k>0时，函数y=k

x

的图象在第一、三象限，函数y=kx+1在第一、二、三象限，故选项C错误，选项D正确，

当k<0时，函数y=k

x

的图象在第二、四象限，函数y=kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B错误，

故选：D．

根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的．

本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】C

【解析】解：A、∠ABC=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；

B、∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；

C、AD

AC =ED

BC

不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；

D、AD

AC =AE

AB

，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．

故选：C．

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．

本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9.【答案】A

【解析】解：∵BC⊥AB，

∴∠ABC=90°，

设AB=2a，BC=a，则AC=√5a，

∵CD=BC=a，

∴AD=AC?CD=(√5?1)a，

∵AP=AD，

∴

AP AB

=

√5?1

2

． 故选：A ．

设AB =2a ，BC =a ，则AC =√5a ，利用勾股定理求得AP 的长，即可得出AP

AB 的值． 本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键． 10.【答案】D

【解析】解：1

n(n+1)=1

n ?1

n+1；

则∑1

n(n+1)2019n=1=1

1×2+1

2×3+1

3×4+?+1

2019×2020=1?1

2+1

2?1

3+1

3?1

4+?+1

2019?

12020

=1?

12020

=

20192020

．

故选：D ．

根据1

n(n+1)=1

n ?1

n+1，结合题意运算即可．

此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用1

n(n+1)=1

n ?1

n+1，难度一般．

11.【答案】1

【解析】解：∵DE//BC ，AD =DB ， ∴AE =EC ， ∴DE =1

2BC =1，

故答案为1．

利用三角形的中位线定理即可解决问题．

本题考查三角形的中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12.【答案】2

【解析】解：设点P 的坐标为(x,y)． ∵P(x,y)在反比例函数y =?4

x 的图象上， ∴xy =?4，

∴S △POA =1

2|xy|=2，

故答案为：2．

设出点P 的坐标，△OAP 的面积等于点P 的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可． 题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数y =k

x 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

13.【答案】3

【解析】解：∵AB 的坡度为i =1：2.5，过B 点作BC ⊥AC ，垂足为点C ，大厅水平距离AC 的长为7.5m ，

故答案为：3．

直接利用坡度的定义进而得出BC：AC=1：2.5，求出答案即可．

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．

14.【答案】0 0

【解析】解：根据题意，得

9?9+q=0，解得，q=0；

由韦达定理，知

x1+x2=?3；

则?3+x2=?3，

解得，x2=0．

故答案是：0，0．

根据一元二次方程的解定义，将x=?3代入关于x的方程x2+3x+q=0，然后解关于q的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=?b

a

解出方程的另一个根．

本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=

?b

a 、x1?x2=c

a

来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．

15.【答案】30

【解析】解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，

∴两个三角形的相似比为5：3，

设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x，

由题意得，5x?3x=12，

解得，x=6，

则5x=30，

故答案为：30．

根据题意求出两个三角形的相似比，再根据题意列出方程，解方程即可．

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的相似比即对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

16.【答案】3

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，AB=CD，

∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠ACD=90°，

∴∠ADE=∠ACD，

∴tan∠ACD=tan∠ADE=4

3=AD

CD

，

设AD=4k，CD=3k，则AC=5k，

∴5k=5，

∴k=1，

∴CD=AB=3，

故答案为3

证明∠ADE=∠ACD，推出tan∠ACD=tan∠ADE=4=AD，设AD=4k，CD=3k，则

本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

17.【答案】900

【解析】解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，

∵∠BAC=150°，

∴∠BAD=30°．

∴BD=AB?sin30°=1

2

AB=3米．

∴S

阴影=1

2

AC?BD=1

2

×6×3=9(平方米)

则造价为：9×100=900(元)

故答案是：900．

如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，构造直角△ABD，通过解直角三角形求得BD的长度，利用三角形的面积公式求得阴影部分的面积，然后根据造价求解．

考查了解直角三角形的应用，培养学生通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．

18.【答案】45 √41

【解析】解：设等腰三角形的底角为x，

∵△ABC是以A为顶点的“特征值”为1

2

的等腰三角形，

根据定义可知顶角为2x．

∴x+x+2x=180°，

∴x=45°，

即∠ABC=45°，∠BAC=90°，

过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，如图：

∵∠ADB+∠DAB=∠ABC+∠CBE，∠ADB=∠ABC=45°，

∴∠ADB=∠E=45°，∠DAB=∠EBC，

∴△ADB∽△BEC，

∴AD

BE =DB

EC

=AB

BC

，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB

BC =1

√2

，

∵AD=4，BD=3，

∴BE=4√2，CE=3√2，∴DE=3+4√2，

∵△DHE是等腰直角三角形，

∴DH=EH=√2

2DE=4+3√2

2

，

∴CH=4?3√2

2

，

在Rt△DCH中，CD=√DH2+CH2=√41．故答案为：45，√41．

计算出顶角为90°，底角为45°，故可知∠ABC=45°，由∠ADB=∠ABC=45°联想一线三等角构造相似三角形，过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，得△ADE∽△BEC，再在Rt△AHE中，由勾股定理即可求出CD．

本题综合考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、相似三角形判断和性质、勾股定理，运用一线三等角构造相似三角形是解题关键，和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出4∠BAC=180°是解此题的关键．

19.【答案】解：原式=2+1?2

=1．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20.【答案】120人18

【解析】解：(1)本次抽查的人数为24÷20%=120(人)，

故答案为：120人；

=18°，

(2)扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°×6

120

故答案为：18；

(3)良好的人数为120?(24+54+6)=36(人)，

补全图形如下：

= (4)估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有2000×24+36

120

1000(人)．

(1)由优秀的人数及其所占百分比可得总人数；

(2)用360°乘以不及格人数所占比例即可得；

(3)根据各等级人数之和等于总人数求得良好的人数，据此可补全条形图；

(4)用总人数乘以样本中“优秀”和“良好”人数和占被调查人数的比例可得．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】解：(1)∵正比例函数的图象经过点(6,15)，

x，

∴正比例函数的解析式为y=5

2

∴反比例函数的解析式为：y=90

；

x

(2)把y=3代入y=90

中得x=30，

x

∴此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室．

【解析】(1)由于在药物燃烧阶段，y与x成正比例，因此设函数解析式为y=kx(k≠0)，然后由(6,15)在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；

(a≠0)，然后由由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=a

x

(6,15)在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；

(2)将y=3分别代入反比例函数解析式，即可求得x的值，则可求得答案．

本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．

22.【答案】解：(1)设每年生产成本的下降率为x，

根据题意得：100(1?x)2=81，

解得：x1=0.1=10%，x2=1.1(不合题意，舍去)．

答：每年生产成本的下降率为10%．

(2)81×(1?10%)=72.9(万元)．

答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．

【解析】(1)设每年生产成本的下降率为x，根据2017年、2018年的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

(2)由2019年该公司的生产成本=2018该公司的生产成本×(1?下降率)，即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据数量关系，列式计算．

23.【答案】解：∵∠DFG=∠DEF+∠EDF，∠DFG=60°，∠DEF=30°，

∴∠DEF=∠FDE=30°，

∴EF=FD=20米，

=10√3(米)，

在Rt△DFG中，DG=DF?sin60°=20×√3

2

∵四边形AEGC是矩形，

∴CG=AE=1.5米，

∴CD=DG+CG=(1.5+10√3)米．

【解析】首先证明FE=FD=20米，解直角三角形求出DG即可解决问题．

本题考查解直角三角形的应用?仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)根据题意得△=(?4)2?4(3?a)>0，

解得a>?1；

(2)a的最小整数为0，

此时方程为x2?4x+3=0，

所以x 1=3，x 2=1；

(3)∵方程x 2?4x +3?a =0的两个根是等腰△ABC 的两条边长， ∴等腰△ABC 的腰长为3，底边长为1， ∴等腰△ABC 的周长=3+3+1=7．

【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(?4)2?4(3?a)>0，然后解不等式即可； (2)在(1)中a 的范围内确定a 的最小整数为0，此时方程为x 2?4x +3=0，利用因式分解法解方程；

(3)根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰△ABC 的腰长为3，底边长为1，从而得到等腰△ABC 的周长．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2?4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系． 25.【答案】(1)证明： ∵∠BAC =90°，AB =AC

∴∠B =∠C =∠ADE =45°

∵∠ADC =∠B +∠BAD =∠ADE +∠CDE ∴∠BAD =∠CDE

∴△ABD∽△DCE ；

(2)由(1)得△ABD∽△DCE ，

∴

BD EC =

AB

CD

∵∠BAC =90°，AB =AC =1，

∴BC =√2，CD =√2?x ，EC =1?y ， ∴x

1?y =

2?x ，y =x 2?√2x +1=(x ?√2

2)2+1

2， 当x =√2

2

时，y 有最小值，最小值为1

2；

(3)当AD =DE 时，△ABD≌△CDE ， ∴BD =CE ，

∴x =1?y ，即√2x ?x 2=x ， ∵x ≠0，

∴等式左右两边同时除以x 得：x =√2?1 ∴AE =1?x =2?√2，

当AE =DE 时，DE ⊥AC ，此时D 是BC 中点，E 也是AC 的中点， 所以，AE =1

2；

当AD =AE 时，∠DAE =90°，D 与B 重合，不合题意； 综上，在AC 上存在点E ，使△ADE 是等腰三角形， AE 的长为2?√2或1

2．

【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE ．

(3)当△ADE 是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD =DE ，AE =DE ，AD =AE 三种情况讨论求出满足题意的AE 的长即可．

此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题． 26.【答案】8 4

【解析】解：(1)①∵点D 的坐标为(4,2)， ∴点B 的坐标为(8,4)， ∴OA =8，AB =4． 故答案为：8；4．

②EF//AC ，理由如下：

∵反比例函数y =k

x 的图象经过点D(4,2)， ∴k =4×2=8．

∵点B 的坐标为(8,4)，BC//x 轴，AB//y 轴， ∴点F 的坐标为(2,4)，点E 的坐标为(8,1)， ∴BF =6，BE =3， ∴BF

BC =3

4，BE

BA =34， ∴

BF BC =

BE BA

．

∵∠ABC =∠EBF ， ∴△ABC∽△EBF ， ∴∠BCA =∠BFE ， ∴EF//AC ．

③作点E 关于x 轴对称的点E′，连接DE′交x 轴于点P ，此时PD +PE 的值最小，如图所示． ∵点E 的坐标为(8,1)， ∴点E′的坐标为(8,?1)，

∴DE′=√(8?4)2+(?1?2)2=5．

设直线DE′的解析式为y =ax +b(a ≠0)， 将D(4,2)，E′(8,?1)代入y =ax +b ，得：{4a +b =28a +b =?1， 解得：{a =?3

4

b =5

，

∴直线DE′的解析式为y =?3

4x +5． 当y =0时，?3

4x +5=0， 解得：x =

203

，

∴当点P 的坐标为(20

3,0)时，PD +PE 的值最小，最小值为5． (2)∵点D 的坐标为(m,n)， ∴点B 的坐标为(2m,2n)．

∴k=mn，

∴点F的坐标为(1

2m,2n)，点E的坐标为(2m,1

2

n)，

∴BF=3

2m，BE=3

2

n，

∴BF

BC =3

4

，BE

BA

=3

4

，

∴BF

BC =BE

BA

．

又∵∠ABC=∠EBF，∴△ABC∽△EBF，

∴EF

AC =BF

BC

=3

4

．

(1)①由点D的坐标可得出点B的坐标，再利用矩形的性质可得出OA，AB的长；

②由点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，结合点B的坐

标可得出点E，F的长度，进而可得出BE，BF的长，由各线段的长度可得出BF

BC =BE

BA

，

结合∠ABC=∠EBF可证出△ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质及平行线的判定定理可得出EF//AC；

③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，由点E 的坐标可得出点E′的坐标，利用两点间的距离公式可求出DE′的长，由点D，E′的坐标，利用待定系数法可求出直线DE′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当PD+PE的值取最小值时点P的坐标；

(2)由点D的坐标可求出点B的坐标及k的值，利用反比例函数图象上点的坐标特征可

得出点E，F的长度，由各线段的长度可得出BF

BC =BE

BA

，结合∠ABC=∠EBF可证出△

ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质可求出EF

AC

的值．

本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及轴对称：最短路线问题，解题的关键是：(1)①由点B的坐标利用矩形的性质求出OA，AB的长；②利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF；③利用两点之间线段最短，确定当PD+PE的值最小时点P的位置；(2)利用相似三角形的判定定理找出△ABC∽△EBF．