(完整版)菱形练习题(含答案),推荐文档
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5.在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，， BF BD ． （1）求证： △≌AD△E CBF ． （2）若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
解:（1）在平行四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵E，F 分别为 AB，CD 的
点 E、F，则 AE 的长
为
_____ 7 cm __________. 8
分析：连 EB,∵EF 垂直 平分 BD,∴ED=EB,设 x²+3²=（4-x）²,解得：
点 O 作 OH⊥AB，垂足 ． 4.如图，菱形 ABCD 的连长是 2㎝，E 是
D
A E B 第4题
AE=x,则 DE=EB=（4-x）,AE²+AB²=BE²,即：
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形； 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
A
四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或
D
等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的 4 倍
特殊的平行四边形——菱形
一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。 2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
O C
B
复习：
1.如图，在 △ABC 中， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于 F ，且 AF DC ，连接 CF ．
（1）求证： D 是 BC 的中点；（2）若 AB AC ，试猜测四边形 ADCF 的形状，并证
明．
解答：（1）证明： AF ∥ BC ，AFE DBE ．∵E 是 AD 的中点， AE DE ．
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ， 且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
C x= 7/8 3.如图,在菱形 ABCD 中，AC＝8，BD＝6，过
为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝
12/5
AB 中点，且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为
___ 2 3 ______㎝2．
5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为 65°
6.如图，已知四边形 ABCD 是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3= 90 度．
第2题
第3题
第5题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第6题
7.在菱形 ABCD 中，已知 AB=10，AC=16，那么菱形 ABCD 的面积为 96 8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32°，则菱形较小的内角是 58° ．
形． 菱形例题讲解： 1.已知点 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F．若 AD 平分∠BAC， 试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由． 解答：四边形 AEDF 是菱形，∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF； ∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平 行四边形 AEDF 为菱形． 2.已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是菱形． 证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是 Rt△∵E 是 AB 的中点，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD， ∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB， ∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC， ∴CB=CD=BE=DE，∴菱形 BCDE．（四边相等的四边形是菱形） 3.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点 E、F 分别在 AC、BC 上，且 EF∥AB， （1）求证：四边形 EFCD 是菱形；（2）设 CD=4，求 D、F 两点间的距离． 解答：（1）证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴ED=CD=CE．∵EF∥AB ∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°, ∴EF=FC=EC ∴四边形 EFCD 是菱形． （2）解：连接 DF，与 CE 相交于点 G，由 CD=4，可知 CG=2，
又 AEF DEB ，△≌AE△F DEB ． AF DB ．∵ AF DC ， DB DC ．
（2）解：四边形 ADCF 是矩形，证明：∵ AF ∥ DC ， AF DC ，四边形 ADCF 是平行四边
形．∵ AB AC ， D 是 BC 的中点， AD BC ．即 ADC 90 ．四边形 ADCF 是矩
解:（1）在平行四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵E，F 分别为 AB，CD 的
点 E、F，则 AE 的长
为
_____ 7 cm __________. 8
分析：连 EB,∵EF 垂直 平分 BD,∴ED=EB,设 x²+3²=（4-x）²,解得：
点 O 作 OH⊥AB，垂足 ． 4.如图，菱形 ABCD 的连长是 2㎝，E 是
D
A E B 第4题
AE=x,则 DE=EB=（4-x）,AE²+AB²=BE²,即：
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形； 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
A
四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或
D
等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的 4 倍
特殊的平行四边形——菱形
一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。 2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
O C
B
复习：
1.如图，在 △ABC 中， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于 F ，且 AF DC ，连接 CF ．
（1）求证： D 是 BC 的中点；（2）若 AB AC ，试猜测四边形 ADCF 的形状，并证
明．
解答：（1）证明： AF ∥ BC ，AFE DBE ．∵E 是 AD 的中点， AE DE ．
∴
∴
．
4.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F．求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF． ∴EO=FO．又 EF⊥AC，∴AC 是 EF 的垂直平分线． ∵EF 是 AC 的垂直平分线．∴四边形 AFCE 为菱形
中点∴AE=CF , △≌AE△D CFB(SAS) ．
（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明： AD BD ，△ABD 是 Rt△ ， 且 AB 是斜边（或 ADB 90 ）, E 是 AB 的中点， DE 1 AB BE ．由题意可 EB ∥ DF 且 EB DF ，
C x= 7/8 3.如图,在菱形 ABCD 中，AC＝8，BD＝6，过
为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝
12/5
AB 中点，且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为
___ 2 3 ______㎝2．
5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为 65°
6.如图，已知四边形 ABCD 是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3= 90 度．
第2题
第3题
第5题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第6题
7.在菱形 ABCD 中，已知 AB=10，AC=16，那么菱形 ABCD 的面积为 96 8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是 32°，则菱形较小的内角是 58° ．
形． 菱形例题讲解： 1.已知点 D 在△ABC 的 BC 边上，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F．若 AD 平分∠BAC， 试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由． 解答：四边形 AEDF 是菱形，∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF； ∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平 行四边形 AEDF 为菱形． 2.已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是菱形． 证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是 Rt△∵E 是 AB 的中点，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD， ∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB， ∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC， ∴CB=CD=BE=DE，∴菱形 BCDE．（四边相等的四边形是菱形） 3.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，点 E、F 分别在 AC、BC 上，且 EF∥AB， （1）求证：四边形 EFCD 是菱形；（2）设 CD=4，求 D、F 两点间的距离． 解答：（1）证明：∵△ABC 与△CDE 都是等边三角形，∴ED=CD=CE．∵EF∥AB ∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°, ∴EF=FC=EC ∴四边形 EFCD 是菱形． （2）解：连接 DF，与 CE 相交于点 G，由 CD=4，可知 CG=2，
又 AEF DEB ，△≌AE△F DEB ． AF DB ．∵ AF DC ， DB DC ．
（2）解：四边形 ADCF 是矩形，证明：∵ AF ∥ DC ， AF DC ，四边形 ADCF 是平行四边
形．∵ AB AC ， D 是 BC 的中点， AD BC ．即 ADC 90 ．四边形 ADCF 是矩