圆锥曲线综合试题全部大题目)含答案

（2015年天津卷） 19. （本小题满分14分）已知椭圆22

22+=1(0)x y a b a b 的左焦点为

F -c （,0）

,离心率为3

，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4

22

+4

b x y 截得

的线段的长为c ，. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值围.

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线

22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB

的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.

2. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且.|

||

|,0PN

PM

PF

PM=

=

⋅

（1）动点N的轨迹方程；

（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若30

4

|

|

6

4

,4≤

≤

-

=

⋅AB

OB

OA且，求直线l的斜率k的取值围.

3. 如图，椭圆1

3

4

:

2

2

1

=

+

y

x

C的左右顶点分别为A、B，P为双曲线1

3

4

:

2

2

2

=

-

y

x

C右支

上（x轴上方）一点，连AP交C1于C，连PB并延长交C1于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.

4. 已知点(2,0),(2,0)

M N

-，动点P满足条件||||22

PM PN

-=.记动点P的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB

⋅的最小值.

5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R)

（Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值围；

（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=

(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2

·1cos PM PN MPN

-∠＝,求点P 的坐标.

7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线

12

2

2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3

MON π∠=

，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。

（II ）若0OM MN ⋅=（O 为坐标原点），1

3

FA AN =，求椭圆的离心率e 。

8. 设曲线2

212:1x C y a

+=（a 为正常数）与22:2()C y x m =+在x 轴上方只有一个公共点P 。

（Ⅰ）数m 的取值围（用a 表示）；

（Ⅱ）O 为原点，若1C 与x 轴的负半轴交于点A ，当1

02

a <<时，试求OAP ∆的面积的最大值（用a 表示）。

15年高考题答案

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.

（I ）解：由已知有2213

c a =，又由222

+a b c =，可得22223,2a c b c ==.

设直线FM 的斜率为(0)k k

，则直线FM 的方程为()y k x c =+.

由已知，有

2

⎛⎫+2222c b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，解得k =（II ）解：由（I ）得椭圆方程为22

22132x y c c

+=，直线FM

的方程为)y x c =+，

两个方程联立，消去y ，整理得22

3250x cx c +-=，解得53

x c =-，或x c =.因为点M 在

第一象限，可得M

的坐标为c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.

有FM ==，解得1c =，所以椭圆的方程为22

132

x y +=. （III ）解：设点P 的坐标为(),x y ，直线FP 的斜率为t ，得1

y

t x =

+，即()1y t x =+()1x ≠-，

与椭圆方程联立22(1),1,32

y t x x y =+⎧⎪

⎨+

=⎪⎩消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=.

又由已知，得

2t =

，解得312

x -

-，或10x -.

设直线OP 的斜率为m ，得y

m x

=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得