圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练

1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式

（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解：

（Ⅰ）由题意知，(A a ．

因为OA t =，所以2

2

2a a t +=．由于0t >

由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为

1c t

+=． 又因点A 在直线BC 上，故有

1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+

（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为

1CD k =

===-．

所以直线CD 的斜率为定值．

2．设F 是抛物线2

:4G x y =的焦点．

（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；

（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．

2.解：（I ）设切点2

004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2x

y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为

2000()42x x y x x -=-． 即2

04

24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上．

所以2

044

x -=-，2

016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．

（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．

由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．

因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．

点A C ，的坐标满足方程组2

14y kx x y =+⎧⎨

=⎩，

，

得2

440x kx --=，

由根与系数的关系知1212

44.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，

24(1)AC k ===+．

因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -

，从而BD 的方程为1

1y x k

=-+． 同理可求得22214(1)

41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 222

22

18(1)18(2)322ABCD

k S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．

3．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值． 3．解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系 O xy -（如图）

，则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得)y x r =<< 222()

x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．

（II ）记2

2

2

()4()()0f x x r r x x r =+-<<，

， 则2

()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12

x r =． 当02r x <<

时，()0f x '>；当2r

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫

⎪⎝⎭

是()f x 的最大值． 因此，当1

2

x r =

时，S

2=．

即梯形面积S

2

． 4．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程

为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；

（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 外接圆外切，求动圆P 的圆心

轨迹方程．

4.解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点

(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．

（II ）由36032=0

x y x y --=⎧⎨

++⎩，

解得点A 的坐标为(02)-，，

因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．

又AM ==ABCD 外接圆方程为2

2

(2)8x y -+=．

（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，

所以PM PN =+

PM PN -=

故点P 的轨迹是以M N ，

为焦点，实轴长为

因为实半轴长a =

2c =

．所以虚半轴长b ==

从而动圆P

的圆心的轨迹方程为22

1(22

x y x -=≤． 5．已知函数y kx =与2

2(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是2

2(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；

（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．