圆锥曲线大题专题训练答案和题目

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全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)

全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)

全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程.(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足:①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围.2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0.(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若=. 求证:.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa.(1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;(2)若2<tanα<3,求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+(a>b>0)的离心率36=e,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C D两点问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中,ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ,)0,1(B ,平面内两点M G ,同时满足下列条件: ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB(1)求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程;(2)过点)0,3(P 的直线l 与(1)中轨迹交于F E ,两点,求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,,j i,为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向量,若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=,且8||||=+b a(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设曲线C 上两点A .B ,满足(1)直线AB 过点(0,3),(2)若OB OA OP +=,则OAPB 为矩形,试求AB 方程.8. 已知抛物线C :)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点,C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上,l 与C 交于不同的两点A 、B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N (p ,0).(Ⅰ)求抛物线C 的方程; (Ⅱ)求实数p 的取值范围;(Ⅲ)若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线,试求Q 的短轴的端点的轨迹方程.9. 如图,椭圆的中心在原点,长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点,且|CD|=21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ,设λ=EC AE ,当4332≤≤λ时,求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 若角A 为090,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程.11. 如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=,过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.12. 已知动点P (p ,-1),Q (p ,212p +),过Q 作斜率为2p 的直线l ,P Q 中点M 的轨迹为曲线C.(1)证明:l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点; (2)若(1)中的其中一个公共点为A ,证明:AP 是曲线C 的切线; (3)设直线AP 的倾斜角为α,AP 与l 的夹角为β,证明:βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ,12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2,动点P 满足22|PF ||PF |21=,动点P 的轨迹为曲线C ,曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ,直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,△ABO 的面积为7,(1)求曲线C 的方程;(2)求m 的值。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点). 求k 的取值范围.解:(Ⅰ)设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x (Ⅱ)将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左.右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l :y =e x +a 与x 轴.y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设=λ.(Ⅰ)证明:λ=1-e 2;(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形.(Ⅰ)证法一:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是(a b c 2,-). 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上,所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即(Ⅱ)解法一:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|,即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ,由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|, 设点P 的坐标是),(00y x ,则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩,2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2,化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时,△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,,j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量,若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=,且4=+b a ϖϖ.(Ⅰ)求点),(y x P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若A 、B 为轨迹C 上的两点,满足MB AM =,其中M (0,3),求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且),( R ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解:本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.(1)解:设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+b y a x ,化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A (11,y x ),B 22,(y x ),则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+,所以36.32222a b a c b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e (II )证明:(1)知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由(1)知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,准线l 与x 轴相交于点A(–1,0),过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.(1)求抛物线的方程;(2)若FP •FQ =0,求直线PQ 的方程;(3)设=λAQ (λ>1),点P 关于x 轴的对称点为M ,证明:FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP ∆=,且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .(I )设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围;(II )设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M ,且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时,求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -,点A 在x 轴上,点B 在y 轴的正半轴,点P 在直线AB 上,且满足,AP PB =-u u u r u u u r ,0MA AP ⋅=u u ur u u u r . (Ⅰ)当点A 在x 轴上移动时,求动点P 的轨迹C 方程;(Ⅱ)过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥,求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心,点A (1,0),P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且.2,0AM AP AP MQ ==⋅(Ⅰ)当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线12++=k kx y 与(Ⅰ)中所求点Q的轨迹交于不同两点F ,H ,O 是坐标原点,且4332≤⋅≤OH OF ,求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.10.如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程:1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :2213649x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73,求双曲线1C 的方程. (2)以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程. (1)解:1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩.代入2008y x =得:2412y x =-.此即为点P 的轨迹方程.2、(1)ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).(2)分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB (*)∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为116922=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点M (-4,1)分别射向直线y = -2上两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)后,反射光线恰好通过椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的两焦点,已知椭圆的离心率为21,且x 2-x 1=56,求椭圆C 的方程. 解:设a =2k ,c =k ,k ≠0,则b =3k ,其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得:114)2(120x x k ----=--+, ①224)2(120x x k ----=--+, ②x 2-x 1=56, ③ 由①、②、③解得:k =1,x 1=511-,x 2=-1,所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中,21tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P .则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a (1)求线段PQ 的中点的轨迹方程;(2)设∠POQ 的平分线交PQ 于点R (O 为原点),求点R 的轨迹方程.解:(1)设线段PQ 的中点坐标为M (x ,y ),由Q (4,0)可得点P (2x -4,2y ),代入圆的方程x 2+y 2=4可得(2x -4)2+(2y )2=4,整理可得所求轨迹为(x -2)2+y 2=1.(2)设点R (x ,y ),P (m ,n ),由已知|OP |=2,|OQ |=4,∴21||||=OQ OP ,由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21,又∵点R 在线段PQ 上,∴|PR |=21|RQ |,∴点R 分有向线段PQ 的比为21,由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ,∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ,代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x , 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916(y ≠0). ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916(y ≠0).6、已知动圆过定点()1,0,且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2) 是否存在直线l ,使l 过点(0,1),并与轨迹C 交于,P Q 两点,且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(1)如图,设M 为动圆圆心, F ()1,0,过点M 作直线1x =-的垂线,垂足为N ,由题意知:MF MN =, 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中()1,0F 为焦点,1x =-为准线, ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=(2)由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠, 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->,11k k <->或设),(11y x P ,),(22y x Q ,则124y y k +=,124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,即 ()11,OP x y =u u u r ,()22,OQ x y =u u u r,于是12120x x y y +=,即()()21212110ky y y y --+=,2221212(1)()0k y y k y y k +-++=,2224(1)40k k k k k +-+=g ,解得4k =-或0k =(舍去),又41k =-<-, ∴ 直线l 存在,其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、,离心率为2.(I )求此双曲线的渐近线l l 12、的方程;(II )若A 、B 分别为l l 12、上的点,且2512||||AB F F =,求线段AB 的中点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III )过点N ()10,能否作出直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点,且OP OQ →→=·0.若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(I )Θe c a =∴=2422, Θc a a c 22312=+∴==,,∴-=双曲线方程为y x 2231,渐近线方程为y x =±334分(II )设A x y B x y ()()1122,,,,AB 的中点()M x y ,[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又,,,, ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ,即则M 的轨迹是中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为103,短轴长为1033的椭圆.(9分) (III )假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y :,与双曲线交于,、,=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则,y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由(i )(ii )得k 230+= ∴k 不存在,即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点,P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为椭圆C 上异于M 的另一点,且MN⊥MQ,QN 与PT 的交点为E ,当M 沿椭圆C 运动时,求动点E 的轨迹方程.解:设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由(1)-(2)可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ,111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-,又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入(1)可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知:直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

2 2(2015年天津卷) 19.(本小题满分14分)已知椭圆笃+爲=1(a>b>0)的左焦点为a bF (-c,0 ),离心率为二3,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2 =—截得3 4的线段的长为c,|FM|='.3(I) 求直线FM的斜率;(II) 求椭圆的方程;(III) 设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2 ,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线x2 2py外一点P(x0,y0)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦AB的交点为Q。

(1 )求证:抛物线切点弦的方程为x0x p(y+ y0);(2)求证:1 12 PC |PD | |PQ |2. 已知定点F( 1, 0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且PM PF 0,| PM | | PN |.(1)动点N的轨迹方程;(2)线I与动点N的轨迹交于A, B两点,若OA OB 4,且4「6 | AB | 4 30,求直线I的斜率k 的取值范围.2 2 2—1的左右顶点分别为A、B,P为双曲线C2 :——1右支3.如图,椭圆C i3 4 3上(X轴上方)一点,连AP交C1于C,连PB并延长交C1于。

,且厶ACD与厶PCD的面积相等,求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点M ( 2,0), N(2,0),动点P满足条件| PM | |PN | 2.2 .记动点P的轨迹为W .(I)求W的方程;(n)若代B是W上的不同两点, O是坐标原点,求uur uuuOA OB的最小值.2 25. 已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k€ R)(I)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;(n)若曲线c是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;(川)满足(H)的双曲线上是否存在两点P, Q关于直线I: y=x-1对称,若存在,求出过P, Q的直线方程;若不存在,说明理由。

圆锥曲线大题综合(含答案)

圆锥曲线大题综合(含答案)

圆锥曲线大题综合1.(2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)以直线y =为渐近线,焦点是()3,0-,()3,0的双曲线;(2)离心率为45,短轴长为6的椭圆.2.(2022秋·广东江门·高二校考期中)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4.(1)求p 的值;(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,求||AB .3.(2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中)椭圆C 的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,椭圆C经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求弦长AB .4.(2022秋·广东江门·高二校考期中)椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过点A (2,3)且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,求|MN |.5.(2022秋·广东江门·高二校考期中)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,2a =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过点(2,3)A 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,求线段MN 的长.6.(2022秋·广东梅州·高二校考期中)已知P 为椭圆E :22221x y a b+=(0)a b >>上任意一点,F 1,F 2为左、右焦点,M 为PF 1中点.如图所示:若1122OM PF +=,离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知直线l 倾斜角为135°,经过(2,1)-且与椭圆交于A ,B 两点,求弦长|AB|的值.7.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是(,0)F m -(m 是大于0的常数).(1)求椭圆的方程;(2)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若||2||MQ QF =,求直线l 的斜率.8.(2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中)已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ,且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,若AB =l 方程.9.(2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中)已知点()11,0F -,圆()222116F x y -+=:,点Q 在圆2F 上运动,1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点,且MN 中点为()1,1,求直线l 的方程.10.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)已知两定点()4,0A -,()1,0B -,动点P 满足2PA PB =,直线:l ()()211530m x m y m +++--=.(1)求动点P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状;(2)记动点P 的轨迹为曲线E ,把曲线E 向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度后得到曲线E ',求直线l 被曲线E '截得的最短的弦长;(3)已知点M 的坐标为()5,3,点N 在曲线E '上运动,求线段MN 的中点H 的轨迹方程.11.(2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点,O 为坐标原点,直线OM ON 、的斜率之积等于34-,试探求OMN 的面积是否为定值,并说明理由.12.(2022秋·广东江门·高二校考期中)动点N (x ,y )与定点F (1,0)的距离和N 到定直线2x =的距离的比是常数22.(1)求动点N 的轨迹C 的方程;(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点(2,0)M ,设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ,2k .随着直线l 的变化,12k k +是否为定值?请说明理由.13.(2022秋·广东广州·高二校考期中)已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ,左、右焦点分别为12,F F ,且122F F =,(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线L 与椭圆Γ相切,求证:点12,F F 到直线L 的距离之积为定值.14.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)如图,已知圆22:430M x x y -++=,点()1,P t -为直线:1l x =-上一动点,过点P 引圆M 的两条切线,切点分别为A ,B(1)求直线AB 的方程,并写出直线AB 所经过的定点的坐标;(2)求线段AB 中点的轨迹方程;15.(2022秋·广东江门·高二校考期中)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,点在椭圆C 上,点F 是椭圆C 的右焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,则在x 轴上是否存在一点P ,使得直线l 绕点F 无论怎样转动都有0PM PN k k +=?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.16.(2022秋·广东广州·高二南海中学校考期中)在平面直角坐标系xOy 中,已知点()4,0A -,()4,0B ,M 是一个动点,且直线AM ,BM 的斜率之积是34-,记M 的轨迹为E .(1)求E 的方程;(2)若过点()2,0F 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P ,Q 两点,点P 关于x 轴的对称点为1P (1P 与Q 不重合),直线1PQ 与x 轴交于点G ,求点G 的坐标.17.(2022春·广东汕头·高二校考期中)已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.求PAB 面积的最大值.18.(2022春·广东广州·高二华南师大附中校考期中)如图,已知圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -,过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,当直线l x ⊥轴时,||3MN =.(1)求椭圆C 的方程;(2)记,AMF ANF 的面积分别为12,S S ,求12S S 的取值范围.19.(2022春·广东广州·高二二师番禺附中校考期中)已知点A的坐标为()-,点B的坐标为(),且动点M 到点A 的距离是8,线段MB 的垂直平分线交线段MA 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)已知(2,1)D -,过原点且斜率为k (0k >)的直线l 与曲线C 交于E 、F 两点,求DEF 面积的最大值.20.(2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2,点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两个动点,O 为坐标原点,且直线PM ,PN 的倾斜角互补,求OMN 面积的最大值.21.(2022春·广东深圳·高二校考期中)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,过F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,当A ,B 两点的纵坐标相同时,4AB =.(1)求抛物线C 的方程;(2)若P ,Q 为抛物线C 上两个动点,()0PQ m m =>,E 为PQ 的中点,求点E 纵坐标的最小值.22.(2022秋·广东深圳·高二校考期中)已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为2,短轴顶点分别为M 、N ,四边形12MF NF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为()2,1-,求直线l 的方程.23.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)已知椭圆221:1164x y E +=,()22222:10,4x y E a b a a b+=>><的离心率相同.点()00,P x y 在椭圆1E 上,()11,A x y 、()22,B x y 在椭圆2E 上.(1)若2OP OQ =,求点Q 的轨迹方程;(2)设1E 的右顶点和上顶点分别为1A 、1B ,直线1AC 、1B D 分别是椭圆2E 的切线,C 、D 为切点,直线1AC 、1B D 的斜率分别是1k 、2k ,求2212k k ⋅的值;(3)设直线PA 、PB 分别与椭圆2E 相交于E 、F 两点,且()AB tEF t =∈R,若M 是AB 中点,求证:P 、O 、M 三点共线(O 为坐标原点).24.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)如图,中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ,长轴长为8.椭圆Γ上有两点P 、Q ,连接OP 、OQ ,记它们的斜率为OP k 、OQ k ,且满足14OP OQ k k ⋅=-.(1)求椭圆Γ的标准方程;(2)求证:22OP OQ +为一定值,并求出这个定值;(3)设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R ,直线RP 和PQ 分别与直线x =M 、N ,若PQR 和PMN 的面积相等,求点P 的横坐标.25.(2022秋·广东·高二校联考期中)设椭圆Γ:()222210x y a b a b +=>>,1F ,2F 是椭圆Γ的左、右焦点,点A ⎛ ⎝⎭在椭圆Γ上,点()4,0P 在椭圆Γ外,且24PF =-(1)求椭圆Γ的方程;(2)若1,B ⎛ ⎝⎭,点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点,过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线PA ,PB 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,记OMN ,PMN 的面积分别为1S ,2S ,求221122S S S S -+的最小值.26.(2022秋·广东阳江·高二统考期中)已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ,2F ,左、右顶点分别为1A ,2A ,且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形.(1)求C 的标准方程.(2)M ,N 为C 上且在y 轴右侧的两点,12//MF NF ,2MF 与1NF 的交点为P ,试问12PF PF +是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.27.(2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中)已知定点)P,圆Q :(2216x y +=,N 为圆Q 上的动点,线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M .(1)求点M 的轨迹Γ的方程;(2)直线l :x ky n =+与曲线Γ相交于A ,B 两点,且以线段AB 为直径的圆经过点C (2,0),求ABC 面积的最大值.28.(2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,当OMN 的面积最大时,求l 的方程.29.(2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中)曲线Γ上动点M 到A (﹣2,0)和到B (2,0)的斜率之积为﹣14.(1)求曲线Γ的轨迹方程;(2)若点P (x 0,y 0)(y 0≠0)为直线x =4上任意一点,PA ,PB 交椭圆Γ于C ,D 两点,求四边形ACBD 面积的最大值.30.(2022春·广东汕头·高二金山中学校考期中)已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为,经过点()2,1P -.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M ,N 满足OM NO =,直线PM PN ,分别交椭圆于A ,B .PQ AB ⊥,Q 为垂足.是否存在定点R ,使得QR 为定值,说明理由.圆锥曲线大题综合答案1.(2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)以直线y =为渐近线,焦点是()3,0-,()3,0的双曲线;(2)离心率为45,短轴长为6的椭圆.(1)求p 的值;(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,求||AB .则直线AB 的方程为2,y x =-设()()1122,,,A x y B x y ,联立228y x y x=-⎧⎨=⎩,整理可得21240xx -+=,所以1212x x +=,由抛物线的性质可得12||12416AB x x p =++=+=.3.(2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中)椭圆C 的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求弦长AB .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过点A (2,3)且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,求|MN |.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过点(2,3)A 且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,求线段MN 的长.6.(2022秋·广东梅州·高二校考期中)已知P 为椭圆E :221x y a b+=(0)a b >>上任意一点,F 1,F 2为左、右焦点,M 为PF 1中点.如图所示:若1122OM PF +=,离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程;(2)已知直线l 倾斜角为135°,经过(2,1)-且与椭圆交于A ,B 两点,求弦长|AB|的值.7.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是(,0)F m -(m 是大于0的常数).(1)求椭圆的方程;(2)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若||2||MQ QF =,求直线l 的斜率.8.(2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中)已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点()2,1P ,且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A ,B两点,若AB =l 方程.9.(2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中)已知点1,圆2,点在圆2F 上运动,1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)直线l 与曲线C 交于M N 、两点,且MN 中点为()1,1,求直线l 的方程.:l ()()211530m x m y m +++--=.(1)求动点P 的轨迹方程,并说明轨迹的形状;(2)记动点P 的轨迹为曲线E ,把曲线E 向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度后得到曲线E ',求直线l 被曲线E '截得的最短的弦长;(3)已知点M 的坐标为()5,3,点N 在曲线E '上运动,求线段MN 的中点H 的轨迹方程.11.(2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中)已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点,O 为坐标原点,直线OM ON 、的斜率之积等于34-,试探求OMN 的面积是否为定值,并说明理由.的比是常数2.(1)求动点N 的轨迹C 的方程;(2)过点F 的直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点(2,0)M ,设直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ,2k .随着直线l的变化,12k k +是否为定值?请说明理由.13.(2022秋·广东广州·高二校考期中)已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ,左、右焦点分别为12,F F ,且122F F =,(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线L 与椭圆Γ相切,求证:点12,F F 到直线L 的距离之积为定值.【详解】(1)因为12||22F F c ==,则c =1,因为2222,3a b a c ==-=,所以椭圆Γ的方程22143x y +=;(2)证明:椭圆Γ的左、右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,①当直线l 垂直于x 轴时,因为直线l 与椭圆Γ相切,所以直线l 的方程为2x =±,此时点12,F F 到直线l 的距离一个为11d =,另一个为23d =,所以123d d =,②当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l 的方程为y =kx +b ,联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩,消去y ,整理得222(34)84120k x kbx b +++-=,所以,222222644(34)(412)16(9123)k x k b k b ∆=-+-=+-,因为直线l 与椭圆Γ相切,Δ=0,所以,2234b k =+,因为1(1,0)F -到直线l 的距离为12||1-=+k b d k ,2(1,0)F 到直线l 的距离为22||1+=+k b d k ,所以,222221222222|||||||(34)||33|311111k b k b k b k k k d d k k k k k-+--++=⋅====+++++,所以点12,F F 到直线l 的距离之积为定值,且定值为3.14.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)如图,已知圆22:430M x x y -++=,点()1,P t -为直线:1l x =-上一动点,过点P 引圆M 的两条切线,切点分别为A ,B(1)求直线AB 的方程,并写出直线AB 所经过的定点的坐标;(2)求线段AB 中点的轨迹方程;【详解】(1)因为PA ,PB 为圆M 的切线,所以90PBM PAM ∠=∠=︒,设PM 的中点为N ,所以点A ,B 在以PM 为直径的圆N 上,又点A ,B 在圆M 上,所以线段AB 为圆N 和圆M 的公共弦,因为圆22:430M x x y -++=①,AB的中点设为F点,由HF始终垂直干当P点在x轴上时,F点与H点的重合,M,得HM的中点坐标为⎛(2,0)⎝圆去掉点M,圆C上,点F是椭圆C的右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于M,N两点,则在x轴上是否存在一点P,使得直线l绕点F无论怎样转k k+=?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.动都有0PM PN,M 是一个动点,且直线AM ,BM 的斜率之积是34-,记M 的轨迹为E .(1)求E 的方程;(2)若过点()2,0F 且不与x 轴重合的直线l 与E 交于P ,Q 两点,点P 关于x 轴的对称点为1P (1P 与Q 不重合),直线1PQ 与x 轴交于点G ,求点G 的坐标.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.求PAB 面积的最大值.18.(2022春·广东广州·高二华南师大附中校考期中)如图,已知圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点(2,0)A -,过右焦点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,当直线l x ⊥轴时,||3MN =.(1)求椭圆C 的方程;(2)记,AMF ANF 的面积分别为12,S S ,求12S S 的取值范围.且动点M 到点A 的距离是8,线段MB 的垂直平分线交线段MA 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)已知(2,1)D -,过原点且斜率为k (0k >)的直线l 与曲线C 交于E 、F 两点,求DEF 面积的最大值.20.(2022春·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中)已知椭圆C :221(0)a b a b+=>>的焦距为2,点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆C 上的两个动点,O 为坐标原点,且直线PM ,PN 的倾斜角互补,求OMN 面积的最大值.交于A ,B 两点,当A ,B 两点的纵坐标相同时,4AB =.(1)求抛物线C 的方程;(2)若P ,Q 为抛物线C 上两个动点,()0PQ m m =>,E 为PQ 的中点,求点E 纵坐标的最小值.22.(2022秋·广东深圳·高二校考期中)已知椭圆C :()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为22,短轴顶点分别为M 、N ,四边形12MF NF 的面积为32.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为()2,1-,求直线l 的方程.23.(2022秋·广东广州·高二校联考期中)已知椭圆1:1164x y E +=,()222:10,4E a b a a b +=>><的离心率相同.点()00,P x y 在椭圆1E 上,()11,A x y 、()22,B x y 在椭圆2E 上.(1)若2OP OQ =,求点Q 的轨迹方程;(2)设1E 的右顶点和上顶点分别为1A 、1B ,直线1AC 、1B D 分别是椭圆2E 的切线,C 、D 为切点,直线1AC 、1B D 的斜率分别是1k 、2k ,求2212k k ⋅的值;(3)设直线PA 、PB 分别与椭圆2E 相交于E 、F 两点,且()AB tEF t =∈R,若M 是AB 中点,求证:P 、O 、M 三点共线(O 为坐标原点).8.椭圆Γ上有两点P 、Q ,连接OP 、OQ ,记它们的斜率为OP k 、OQ k ,且满足14OP OQ k k ⋅=-.(1)求椭圆Γ的标准方程;(2)求证:22OP OQ +为一定值,并求出这个定值;(3)设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ,直线RP 和PQ 分别与直线x =M 、N ,若PQR 和PMN 的面积相等,求点P 的横坐标.25.(2022秋·广东·高二校联考期中)设椭圆Γ:()2210a b a b +=>>,1F ,2F 是椭圆Γ的左、右焦点,点A ⎛ ⎝⎭在椭圆Γ上,点()4,0P 在椭圆Γ外,且24PF =-(1)求椭圆Γ的方程;(2)若1,2B ⎛- ⎝⎭,点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点,过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线PA ,PB 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,记OMN ,PMN 的面积分别为1S ,2S ,求221122S S S S -+的最小值.26.(2022秋·广东阳江·高二统考期中)已知椭圆()22:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ,2F ,左、右顶点分别为1A ,2A ,且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形.(1)求C 的标准方程.(2)M ,N 为C 上且在y 轴右侧的两点,12//MF NF ,2MF 与1NF 的交点为P ,试问12PF PF +是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.)27.(2022春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中)已知定点P ,圆Q :216x y +=,N 为圆Q 上的动点,线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M .(1)求点M 的轨迹Γ的方程;(2)直线l :x ky n =+与曲线Γ相交于A ,B 两点,且以线段AB 为直径的圆经过点C (2,0),求ABC 面积的最大值.(1)因为N 为圆Q 上的动点,线段NP 的垂直平分线和半径NQ 相交于点M ,28.(2022春·广东广州·高二广州科学城中学校考期中)已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,当OMN 的面积最大时,求l 的方程.(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.29.(2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中)曲线Γ上动点M到A(﹣2,0)和到B(2,0)的斜率之积为﹣1 4.(1)求曲线Γ的轨迹方程;(2)若点P(x0,y0)(y0≠0)为直线x=4上任意一点,PA,PB交椭圆Γ于C,D两点,求四边形ACBD 面积的最大值.【点睛】熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系及函数单调性是解题关键30.(2022春·广东汕头·高二金山中学校考期中)已知椭圆()22:10,0x y C a b a b+=>>的焦距为,经过点()2,1P -.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M ,N 满足OM NO =,直线PM PN ,分别交椭圆于A ,B .PQ AB ⊥,Q 为垂足.是否存在定点R ,使得QR 为定值,说明理由.。

圆锥曲线大题专题及答案

圆锥曲线大题专题及答案

解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2,且过点P .直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求PAB △的面积的最大值;(Ⅲ)设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N .判断||PM ,||PN 的大小关系,并加以证明.2. (本小题14分) 已知椭圆22:13+=x y C m m,直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,与x 轴交于点B ,点,P Q 与点B 不重合.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)当2∆=OPQ S 时,求椭圆C 的方程;(Ⅲ)过原点O 作直线l 的垂线,垂足为.N 若λ=PN BQ ,求λ的值.3.(本小题共14分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12,(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ),A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值.4.(本小题满分14分)已知椭圆C:2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率;(Ⅱ)设点(3,0)A,动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若||||BA BP=,求四边形OPAB面积的最小值.5.(本小题共14分)已知椭圆C:2214xy+=,F为右焦点,圆O:221x y+=,P为椭圆C上一点,且P位于第一象限,过点P作PT与圆O相切于点T,使得点F,T在OP两侧.(Ⅰ)求椭圆C的焦距及离心率;(Ⅱ)求四边形OFPT面积的最大值.6.(本小题13分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(I)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(II)若OA OB,求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题( 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内)1.(本小题满分14 分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且|AB |=2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上的一个动点,且直线PA ,PB 与直线x =4分别交于M , N两点.是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P 的横坐标;若不存在,说明理由。

圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)

圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)

1.过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =,点P ,Q 在直线l :1y =-上,过P ,Q 两点对应的切点弦分别为AB ,CD()1当点P 在l 上移动时,直线AB 是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果没有,请说明理由()2当AB CD ⊥时,点P ,Q 在什么位置时,PQ 取得最小值?详解:()1设()11,A x y ,()22,B x y ,()0,1P x -,则2114x y =,2224x y =,抛物线的方程可变形为214y x =,则'2x y =, ∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x xk y ===,∴直线PA 的方程()1112xy y x x -=-,化简()112x x y y =+,同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+,由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩,∴直线AB 的方程为()021x x y =-,则{1x y ==是方程的解, ∴直线AB 经过定点()0,1.()2设(),1P P x -,(),1Q Q x -,由()1可知2PAB x k =,2Q CD x k =, AB CD ⊥,14P Q AB CD x x k k ∴⋅==-,即4P Q x x =-,P x ∴,Q x 异号,不妨设0P x >,则0Q x <,且4Q Px x =-, 44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥,当且仅当2P x =,2Q x =-时取等号, 即当()2,1P --,()2,1Q --时,PQ 取得最小值42.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ,下顶点为B ,定点()0,2C ,ABC ∆的面积为3,过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点,直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值,说明理由. 【详解】(1)由已知,,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3,1(2)32b a ∴+=,又由e =2a b =, 解得:=1b ,或=3b -(舍去),2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=;(2)设直线PQ 的方程为2y kx =+,,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-,令0y =,得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-,令0y =,得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++,是定值.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点,当12MF F ∆的面积最大时,其内切圆半径为3b,设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时,3RS =. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆C 的左顶点,,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,若1214k k =-,试问直线PQ 是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 详解:(1)由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅,得12c a =①将x c =代入22221x y a b+=,结合222a b c =+②,得2b y a =±,所以223b a =③,由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=(2)设点,P Q 的坐标分别为11,x y (),22,x y (). ①当直线PQ 的斜率不存在时,由题意得331122P Q -(,),(,)或331122P Q -(,),(,),直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为y kx m =+,联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得2224384120k x kmx m +++-=(), 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++) 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=,得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=,整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由(1)和(2)得2220m km k --=,解得2m k =或m k =-当2m k =时,直线PQ 的方程为2y kx k =+,过定点(2,0)-,不合题意; 当m k =-时,直线PQ 的方程为y kx k =-,过定点(1,0), 综上直线PQ 过定点,定点坐标为(1,0).4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(P .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E,取点(0,A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ,点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 详解:(1)因为焦距为4,所以224a b -=,又因为椭圆C过点(P ,所以22421a b +=,故28a =,24b =,从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(P .(2)由题意,E 点坐标为()0,0x ,设(),0D D x ,则(0,AE x =-,(,D AD x =-,再由AD AE ⊥知,0AE AD ⋅=,即080D x x +=. 由于000x y ≠,故08D x x =-,因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上,所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-,故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭② 将②代入椭圆C 方程,得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③,化简得:220020x x x x -+=解得0x x =,0y y =,即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.5.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其中120y y ≠.(1)若10x =,求OAB 的面积;(2)在x 轴上是否存在定点T ,使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形. 【详解】(1)当10x =时,代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1,此时直线l :440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩,消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =,故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为,由对称性知OAB 的面积也是45,综上可知,当10x =时,OAB 的面积为45. (2)显然直线l 的斜率不为0,设直线l :4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩,消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>,得212m >则12284m y y m +=-+,122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形,所以0TA TB k k += 设(),0T t ,则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++,解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ,使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.6.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>⎛- ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【详解】 (1)ca =,22131a4b +=,又222a b c -=,解得2a 4=,2b 1=.所以,椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l的方程为x my 0+=,与椭圆C 联立,整理得,()224m y 10+--=.设()22B x ,y ,11x xy y 12+=,定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得,12y y +=,1221y y 4m -=+.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称,等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以,1212y y0x t x t+=--,即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=,22x my 0+=,所以,))1221y my t y my t 0-+-=,)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得,)21t 2m 04m-⋅=+,即()2m 40=,所以,当t =,即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时,直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地,当直线l 为x轴时,Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述,存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.7.设椭圆22:182x y C +=,过点()2,1A 的直线AP ,AQ 分别交C 于不同的两点P 、Q ,直线PQ 恒过点()4,0B(1)证明:直线AP ,AQ 的斜率之和为定值;(2)直线AP ,AQ 分别与x 轴相交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在定点G ,使得GM GN ⋅为定值?若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由.【详解】(1)设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ,直线PQ AP AQ 、、的斜率分别为12,,k k k ,由()22448y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()222214326480k x k x k +-+-= >0∆,可得:222121222132648,,41414k k k x x x x k k -<+==++,()()()()12121212121212121241412(61)16411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++2222222222648322(61)16416414814164832164241414k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-++-+===----⋅+++(2)由()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设x 轴上存在定点()0,0G x 则 ()()20000121212111112222GM GN x x x x k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()212001212122k k x x k k k k ⎛⎫+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭()()20012121122x x k k k k ⎛⎫-=-+-⋅+⎪⎝⎭,要使GM GN ⋅为定值,即0021,3x x -==故x 轴上存在定点()3,0G 使GM GN ⋅为定值,该定值为18.如图,已知抛物线E :y 2=4x 与圆M :(x -3)2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B ,C ,D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S ,当S 最大时,求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【详解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),y x x y r ⎧=⎨-+=⎩消去y ,得x 2-2x+9-r 2=0.由题意可知x 2-2x+9-r 2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,r r ⎧∆=-->⎨->⎩解得3,即r. (2)根据(1)可设方程x 2-2x+9-r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2),则A (x 1),B (x 1, -C (x 2, -D (x 2且x 1+x 2=2,x 1x 2=9-r 2, 所以S=12(AB +CD )·(x 2-x 1)=12x 2-x 1) ==令∴(0,1),f (t )=S 2=4(2+2t )(4-4t 2)= -32(t 3+t 2-t -1), f'(t )= -32(3t 2+2t -1)= -32(t+1)(3t -1),可得f (t )在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当t=13时,四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P 点坐标为(m ,0),由P ,A ,D 三点共线,21=1整理得m=--t=-13, 所以点P 的坐标为(-13,0).9.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>,离心率e =,短轴2b =点,以坐标轴为对称轴,焦点为()0,1, (1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点,B 为椭圆是一点,且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在轴上时,求直线AB 的方程. 【详解】 (1)由2e =得a =,又有b =222a b c =+,解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=由抛物线的焦点为()0,1得,抛物线焦点在y 轴,且12p=, 抛物线的方程为:24x y =(2)由题意点A 位于第一象限,可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为:y kx =,0k >联立方程24y kx x y=⎧⎨=⎩得:24x kx =,可知点A 的横坐标4A x k =,即()24,4A k k因为OA OB ⊥,可设直线OB 方程为:1y x k=-连立方程22112010y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222012k x k =+,从而得x =若线段AB 的中点在y轴上,可知B x =B ⎛ ⎝有4k =0k >,解得k =从而得12A ⎫⎪⎭,()B 直线AB的方程:8180y +-=10.已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1,0),椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线2C 的顶点为原点.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点,过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ,PB ,其中A 、B 为切点.设直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值;②若直线AB 交椭圆C 1于C ,D 两点,S ∴PAB ,S ∴PCD 分别是∴PAB ,∴PCD 的面积,试问:PAB PCDSS是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由. 【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1,0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=, 由∴=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=, 则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=, 0k ≠时,∴0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,∴0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCD k S k k S k+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43.11.已知过圆1C :221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线,交坐标轴于A 、B 两点,且A 、B 恰好分别为椭圆2C :()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.(1)求椭圆2C 的方程;(2)已知P 为椭圆的左顶点,过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点,若直线MN 过定点()1,0Q -,求证:PM PN ⊥. 【详解】(1)直线OE l的方程为y ,则直线AB l的斜率AB k =. 所以AB l:y x =A ⎛ ⎝⎭,()2,0B ,椭圆方程为:221443x y +=; (2)①当MN k 不存在时,()1,1M -,()1,1N --,因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=,所以PM PN ⊥.②当MN k 存在时,设()11,M x y ,()22,N x y ,MN l :()1y k x =+,联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得:()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+,21223413k x x k-=+,又已知左顶点P 为()2,0-, ()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+,又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+, 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k --++-==+,所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.12.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -,(),0B a ,点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k 、2k ,且1213k k ⋅=-,椭圆的焦距长为4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,分别记ABM ∆,ABN ∆的面积为1S 、2S ,求12S S -的值. 【详解】(1)设点()()000,P x y x a ≠,则2200221x y a b+=,①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--,②∴联立①②得()()222230b a x a --=,∴()2203a a b x =≠,∴22222212133a b e a a c -===-=,∴e =. (2)由题意知,24c =,即2c =,由(1)知,223a b ,∴22224a b c b =+=+,∴22b =,26a =,∴椭圆C 的方程为:22162x y +=,由已知得l:)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可得2210x x --=.设()11,M x y ,()22,N x y ,根据韦达定理,得122x x +=,于是)12121212S S y x x -=⨯+=+13.(本小题满分12分)记抛物线2::2C y x =-的焦点为F ,点M 在抛物线上,(3,1)N -,斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P Q ,两点.(1)求||||MN MF +的最小值;(2)若(2,2)M -,直线MP MQ ,的斜率都存在,且20MP MQ k k ++=;探究:直线l 是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】(1)设抛物线C 的准线为l ',过点M 作1MM l '⊥,垂足为1M ,过点N 作1NN l '⊥,垂足为1N ,如图:则117||||||2MN MF MN MM NN +=+=,即||||MN MF +的最小值为72. (2)设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+,()22,Q x y ,将直线l 与抛物线C 的方程联立得22y kx b y x=+⎧⎨=-⎩,222(22)0k x kb x b +++=,212122222,kb b x x x x k k --+== ① 又121222222MP MQ y y k k x x --+=+=-++, 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++,()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x bx x x x ++++-++-=--+-,将①代入得,222(1)0b b k b ---+=,即(1)(22)0b b k +--=,得1b =-或22b k =+, 当1b =-时,直线l 为1y kx =-,此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时,直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++,此时直线恒过(2,2)M -(舍去). 综上所述,直线l 过定点(0,1)-.14.(本小题满分12分)已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ,若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ,N 两点,满足||4MN =. (I )求抛物线Γ的方程;(II )若P 为Γ上动点,B ,C 在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ,求PBC 面积的最小值. 【解析】(I )抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭,则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-, 联立抛物线方程2y ax =,消去y 得:2230216a ax x -+=,设()()1122,,,M x y N x y ,则1232a x x +=, 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==,解得2a =,∴抛物线的方程为2:2y x Γ=.(II )设()00,P x y ,()0,B b ,()0,C c ,不妨设b c >,00:PB y bl y b x x --=,化简得:()0000y b x x y x b --+=,圆心()1,0到直线PB 的距离为11=,即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+,不难发现02x >,上式又可化为()2000220x b y b x -+-=,同理有()2000220x c y c x -+-=,∴,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根,0022y b c x -∴+=-,()()220002020042,()22x y x x bc b c x x +--=∴-=--, 由条件:2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ∴-=∴-=--,, ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--,当且仅当04x =时取等号, ∴PBC S △面积的最小值为8.15.(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ,焦点F 在y 轴的正半轴上,过点F 的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,且满足3.4OA OB ⋅=- (1)求抛物线C 的方程;(2)若P 是抛物线C 上的动点,点,M N 在x 轴上,圆2211x y +-=()内切于PMN ∆,求PMN ∆面积的最小值. 【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>,则焦点F 的坐标为02p(,).设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+,,,,, 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>,∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=,,∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-,∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =.(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,,易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同,不妨设m n >,易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=,又圆心(0,1)到直线PM 的距离为11=,∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+,不难发现02y >,故上式可化为()2000220y m x m y -+-=,同理可得()2000220y n x n y -+-=,,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根,则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ,是抛物线C 上的点,∴2002x y =,则()()222042y m n y -=-,又02y >,∴02,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=,当且仅当()2024y-=时取得等号,此时004,y x ==±故△PMN 面积的最小值为8.16.(12分)已知直线与抛物线:交于,两点,且2x p =C ()220y px p =>P Q POQ∆的面积为16(为坐标原点). (1)求的方程;(2)直线经过的焦点且不与轴垂直,与交于,两点,若线段的垂直平分线与轴交于点,证明:为定值.【解析】(1)将代入,得,所以的面积为. 因为,所以,故的方程为.(2)证明:由题意设直线的方程为,由,得.设,,则,所以.因为线段的中点的横坐标为,纵坐标为,所以线段的垂直平分线的方程为,令,得,所以的横坐标为,所以,故为定值.17.(12分)已知椭圆2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线与椭圆C交于点E ,F ,过点E 作轴于点M ,直线FM 交椭圆C 于另一点N ,证明:. 【解析】(1)由题,,∴,, 故椭圆方程为; O C l C F l x C A B AB x D AB DF2x p =22y px =2y p =±POQ ∆21244162p p p ⨯⨯==0p >2p =C 24y x =l ()()10y k x k =-≠()214y k x y x⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y 212224k x x k ++=212244k x x p AB k +=++=AB 212222x x k k ++=2kAB 22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭0y =223x k =+D 223k +2222312k D kF =+-=+2AB DF =2222:1(0)x y C a b a b +=>>y kx =EM x ⊥EF EN ⊥2c a =22c =a =1e =1b =2212x y +=(2)设,,,则,与椭圆方程联立得,由得,, ∴,即.18.(12分)如图,设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >,过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ,过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ,记S 为MBA ∆的面积.(∴)求p 的值(用t 表示); (∴)若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求t 的取值范围.注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直线与抛物线相切. 【解析】00(,)E x y ()00,F x y --00(),M x 000:()2FM y l y x x x =-()22222220002240x y x x y x x y x +-+-=2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+230002200322N x y x x x y +=+()0000000000022N N ENN N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===----00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-EF EN⊥(∴)因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >,又点M 在抛物线2C :()220y px p =>上,故()222tpt =,则32t p =(∴)设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+,联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=,则()()222420k kt tk t ∆=--=-=,因此2k t ,即直线MA的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k t y x t y t t t --====-+-,从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此2t MB t =-=2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB :2022t t x y -+=的距离29t d ==MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===,即32732t S =,因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即31272432t ≤≤,解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切.(1)求C 的方程;(2)直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ,()22,N x y 两点,且12x x >.已知l 上存在点P ,使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形.若P 在直线MN 右下方,求m 的值. 【解析】 (1)依题意,1b =,因为离心率c e a ===,=a = 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.(2)因为直线y x m =+的倾斜角为45︒,且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,P 在直线MN 右下方,所以NP x ∥轴.过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点,所以()12,Q x y ,故()1222,P x x y -, 所以()12232450x x y -+-=, 即()()12232450x x x m -++-=, 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>,解得22m -<<, 所以1232x x m +=-,②()212314x x m =-,③ 由①-②得,112mx =-,④ 将④代入②得21x m =--,⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭,解得1m =-.综上,m 的值为1-.20.(12分)已知直线2x p =与抛物线C :()220y px p =>交于P ,Q 两点,且POQ∆的面积为16(O 为坐标原点). (1)求C 的方程.(2)直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ,试问在x 轴上是否存在点E ,使AB DE为定值?若存在,求该定值及E 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)将2x p =代入22y px =,得2y p =±,所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==. 因为0p >,所以2p =,故C 的方程为24y x =. (2)由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则212224k x x k ++=,所以212244||k AB x x p k+=++=. 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=,纵坐标为2k , 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭, 令0y =,得223x k =+,所以D 的横坐标为223k +,设(),0E t ,则()2223223t k DE t k k-+=+-=,()224432AB k DE t k +∴=-+, 所以当且仅当32t -=,即1t =时,AB DE为定值,且定值为2,故存在点E ,且E 的坐标为()1,0.21.已知直线l 与抛物线()2:20C x py p =>相交于,A B 两个不同点,点M 是抛物线C 在点,A B 处的切线的交点。

(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 解:利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .又因为焦点在x 轴上, 所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为 93+=x y .由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根, 所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求△AOB 面积的最大值。

解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=,∴所求椭圆方程为2213x y +=。

(Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,。

(1)当AB x ⊥轴时,AB =。

(2)当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+。

=,得223(1)4m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(31)6330k x kmx m +++-=,122631km x x k -∴+=+,21223(1)31m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。

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41 •如图,曲线G 的方程为y 22x(y > 0) •以原点为圆心•以t(t0)为半径的圆分别点C , D ,求四边形 ABCD 面积的最小值.由题意知,直线 AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设 k2X。

2.解:(I )设切点Q X 0,4X g亍,知抛物线在Q 点处的切线斜率为肓,故所求切线方程为X 0(X X 。

)• 因为点P(0,)在切线上.所以42,X 0 16,•所求切线方程为y 2x 4 •(II )设 A(X 1,屮),C(X 2,y 2)• 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点 A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C •(I)求点 A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式(n)设曲线G 上点D 的横坐标为a 2 ,求证:直线CD 的斜率为定值.1•解:(I) 由题意知,A(a, '2a). 因为|0At ,所以a 2 2a t 2 .由于t 0 ,故有"O 由点B(0,t), C(c,0)的坐标知,直线 BC 的方程为x y 1 c t又因点A 在直线BC 上,故有a ' 2a1,将(1 )代入上式,得ac t* 2a .a(a 2)解得 c a 2,2(a 2) •(n)因为D(a 2,、.2(a 2)),所以直线CD 的斜率为■2(a 2) a 2 c2@—2)v 2(a ,2) a 2 (a 2.、2(a 2))2(a 2)所以直线CD 的斜率为定值. 2 •设F 是抛物线G: X 2 4y 的焦点.(I )过点P(0, 4)作抛物线G 的切线,求切线方程;(II )设A, B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足 0 ,延长AF , BF 分别交抛物线G 于B萌 2a :(15因直线AC 过焦点F(0,,所以直线 AC 的方程为y kx 1.y kx 点A, C 的坐标满足方程组 \' 2 A x 4y , 由根与系数的关系知x 1X 2 4k, 4. X \X 2 AC X 2)2 (y 1 yj 2 心 k 2J(X 1 X 2)2 4X 1X 2 4(1 k 2).1因为AC BD ,所以BD 的斜率为 一,从而BD 的方程为 k 同理可求得 BD 4 24(1 k ) k 21 S ABCD _2 -|AC ||BD8(1 k 2)2 k 2 8(k 2 2 [) >32 . k 2 ABCD 面积的最小值为 32 . 2r ,短半轴长为r , 当k 1时,等号成立•所以,四边形 3 •如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 (I) 求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域;(II) 求面积S 的最大值. 3.解:(I )依题意,以 AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy (如图),则点C 的横坐标为 2 点C 的纵坐标y 满足方程x 2 r 解得y 2 _r 2 x 2(0 2(x ,其定义域为 x.1(y > 0),x0 xx r) x r ,y4r 2计划将此钢板切割成等腰梯形的形(ll )记 f (x) 4(x r)2(r 2 x 2),0 (x) 8(x r)2(r 2x).(x) rf (x)0 ;当 x r 时,21f (x)0 ,所以f r 是f (x)的最大值.2因此,当时,S 也取得最大值,最大值为即梯形面积S的最大值为•匕3r2.24 •如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M (2,0) , AB 在直线的方程为x 3y 6 0点T( 1,1)在AD边所在直(I)求AD边所在直线的方程;(II)求矩形ABCD外接圆的方程;(III )若动圆P过点N( 2,0),且与矩形ABCD外接圆外动圆P的圆心轨迹方程.4.解:(1)因为AB边所在直线的方程为x 3y 6 0 ,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为3 •又因为点T( 1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y 1 3(x 1).即3x y 2 0 .x 3y 6 0,(II)由解得点A的坐标为(0, 2),3x y 2 = 0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M (2,0).所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又AM| 7(2 0)2(0 2)22血•故矩形ABCD外接圆方程为(x 2)2 y2 8 .(III )因为动圆P过点N,所以PN是该圆的半径,又因为动圆P与圆M外切,所以|PM| |PN| 2^2,即|PM| |PN| 2迈.故点P的轨迹是以M , N为焦点,实轴长为2. 2的双曲线的左支.因为实半轴长a 迈,半焦距c 2 .所以虚半轴长b . c2a2.2 .2 2从而动圆P的圆心的轨迹方程为X y 1(x < 2).2 25 .已知函数y kx与y x 2(x > 0)的图象相交于A(%, %) , B(X2, y?) , h , L分别是2y x 2(x > 0)的图象在A, B两点的切线,M , N分别是h , J与x轴的交点.(I)求k的取值范围;(II )设t为点M的横坐标,当x1 x2时,写出t以为为自变量的函数式,并求其定义域和值域;(III)试比较OM与ON的大小,并说明理由(O是坐标原点).边所线上.切,求y kx,25•解:(l )由方程2 消y 得x 2 kx 2 0 .①y x 22曰关于k 的减函数,所以x i 的取值范围是(0, . 2).x i 时,有相同的结果|OM | |ON | 0 •所以|OM | |ON | .6 •如图,已知 F(i,0),直线l :x i , P 为平面上的动点,过点 P 作I 的垂线,垂足为点 Q ,且 Q P|Q FF P |F Q .(I)求动点P 的轨迹C 的方程;(n)过点F 的直线交轨迹 C 于A, B 两点,交直线I 于点M .M A i AF , M B 2B F ,求 i 2 的值;M A]M B 的最小值.6•解:(I)设点 P(x , y),则 Q( i , y),由 Q P(Q F FPpQ 得:(x i,0)((2, y) (x i , y)|( 2, y),化简得 C : y 2 4x .(n) (i )设直线 AB 的方程为:x my i(m 0).依题意, 该方程有两个正实根,k 2 X i X 2解得k 2.2 .0,(II )(x)2x ,求得切线l i 的方程为y2x-i (x x 1)y i ,X iy i2 x i并令y 0 ,得tx i i 2 x iX 2是方程①的两实根,且 X i X 2,故X ik k 2 8 2X i 疋 t 是关于x i 的增函数, 定义域为(0,2),所以值域为0),(Ill )当 x i x 2 时,由(II )可知 |OM I|t|X ix i类似可得 ON|寺丄• |OM | |ON |X 2xix2x i x 2由①可知 x-i x 2 2 .从而 OMON当X 2 (i )已知 (2 )求16 •设 A (x i , y i ) , B (X 2, y 2),又 M 1, Q P|Q F FP |F Q 得:F ^|(PQ P F )(P Q P F^(P Q P F ) 0,2 2PQ PFP Q IP F .所以点P 的轨迹C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为:(n ) ( 1)由已知 则: M A 1AF , MB 2B F ,得 1 A F| 詁.①.Ai ,B i ,__ 22m y i y j|y 2 Y My 2 4x .解法二:(I )由0, 2 0,1 22(4m ) 12 0 ,I由M AY1m 11联立方程组 y 4x,,消去x 得:y 24 my 42xOy ,已知圆心在第二象限、半径为 2 2的圆C 与直线y x 相切于坐标原点(1)求圆C 的方程;(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点 Q ,使Q 到椭圆右焦点F 请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.2 27•解:(1 )圆 C : (x 2) (y 2)8 ;所以存在,Q 的坐标为(纟,12)。

5 528.在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0,2)且斜率为k 的直线I 与椭圆—2AB 共线如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.当且仅当m 2 A ,m最小值为16.即m 1时等号成立,所以1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.8.解:(I)由已知条件,直线 I 的方程为ykx 2 ,x 2 2、一2kx直线I 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于8k 2 4k 2解得k或k 辽•即k 的取值范围为2 2OO OO7 .在平面直角坐标系的距离等于线段 OF 的长,若存在, 2 2x y(2)由条件可知a=5,椭圆一 —1 ,••• F ( 4, 0),若存在,则25 90Q 的中垂线上, 又 0、Q 在y直线CF 的方程为y-仁-l(x 1),即x 3y 4 0,设Q (x,y ),贝V x3x2 3y2x,解得4 5 12 51有两个不同的交点(I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数使得向量Op 0Q 与将②③代入上式,解得 k2由(】)知k 2或k2,故没有符合题意的常数k._999.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆x 2 y 2 i2x 32 0的圆心为 线与圆Q 相交于不同的两点 A B .整理得(i k 2)x 2 4(k 3)x 360.直线与圆交于两个不同的点A B 等价于2 2 2[4( k 3) ] 4 36(i k ) 4 ( 8k33解得—k 0 ,即k 的取值范围为—,0 .44(n)设 A(x , y i ), B(X 2, y 2),则3将②③代入上式,解得 k —4(n)设 pg.y i ), Q(X 2, y 2),则 OP OQ (X iX 2, y i y 2), 由方程①, X i X 2 4、、2k i 2k 2• AB ( <2,i).②又y i y 2k(x , x 2) 2、2 .而 AG.2,0) B(0,i), Op O Q 与AB 共线等价于x i x 2, 2( y i所以y 2),4( k 3)扌k2而 P(0,2) Q(6,0)PQ 与P Q 共线等价于 化 x 2) 6( y i y 2),由方程①, x-i x 2 (6, 2).②又 y i y 2 k(x-i x 2) 4.所以Q ,过点P(0,2)且斜率为k 的直(1)求k 的取值范围;(n)是否存在常数 k ,使得向量O A OB 与P Q 共线如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.9.解:(I)圆的方程可写成(x 2 26) y4,所以圆心为Q(6,0),过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y kx 2 •代入圆方程得x 22(kx 2) 12x 32 0 ,(x i X 2, y i y 2),2直线AB 的方程为ykx p ,与 x 22 py 联立得 2py'消去 y 得 x 22pkx 2p 2•由韦达定理得捲 x 2 x-|x 22p 2 • 是 S A ABNSA BCNS A ACNP8p^2p 2 k 22 , • ••当k 0时,0 ABN )min2 \2p 2 •(n)假设满足条件的直线 |存在,其方程为yAC 的中点为O , l 与AC 为直径的圆相交于点PQ 的中点为H ,则OHv OP-AC由(I)知k 3,,故没有符合题意的常数 k .4210•在平面直角坐标系 xOy 中,过定点C(0, p)作直线与抛物线x 2py ( p 0)相交于A, 占 八、、♦(I) 若点N 是点C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值;(II) 是否存在垂直于 y 轴的直线I ,使得I 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在,求出 方程;若不存在,说明理由.10.解法1: (I)依题意,点 N 的坐标为N(0, p),可设A(x n yj , B (X 2, y ?), xX i x 2•a 夕 y i a(p a),2-,此时PQ p 为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为y 2即抛物线的通径所在的直线.解法2: ( I)前同解法i ,再由弦长公式得2p 1一k 2・ k" 2 , 又由点到直线的距离公式得d••当 k 0 时,(S A ABN ) min 2 迈 f •(x 0)(x x i ) (y p)(y y i )由.ii •解:由条件知 F i ( 2,0) , F 2(2,0),设 A(x i , y i ), B (X 2, y ?).••• PQ(2 PH )24 a -p y i a(p a).,得a 从而S A ABNi i—尹|AB| 22砧巴厂•邛2J i k 22p 2 . k 2 2 ,(n )假设满足条件的直线l 存在,其方程为y a ,则以AC 为直径的圆的方程为将直线方程y a 代入得x 2x 1x (a P)(a y i )0,2则△ X i 4(a p)(a y i ) 4■p y i a(p a)设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为Pg, y 3), Qgyj ,则有 |PQ | |x 3 x 4y i a(p a) 2a子 yi a(p a).令a 卫0,得a —,此时2 2即抛物线的通径所在的直线. PQ p 为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为y2y 2的左、右焦点分别为F i , F 2,过点F 2的动直线与双曲线相交于(I) 若动点M 满足FM FA FB FQ (其中0为坐标原点),求点M 的轨迹方程;(II) 在x 轴上是否存在定点 C ,使CA - CB211.已知双曲线xA B 两点.为常数若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理i .AB 的中点坐标为将y-i y 2 ——(x-i x 2)代入上式,化简得(x 6)2x 8当AB 与x 轴垂直时,x i X 2 2,求得M (8,0),也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是(x 6)2 y 2 4 •当AB 不与x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是y k(x 2)(k 代入 x 2 y 22 有(i k 2)x 2 4k 2x (4k 2 2) 0 •当AB 与x 轴垂直时,点 A , B 的坐标可分别设为(2,, 2) , (2, . 2), 此时CA|CB (i ,,2)|(i ,2)解法一:(I )设M (x , y),则则(X 2 2 y 2),FQ (2,0),2 X i X 26即 XX2y i y 2y i y 2(x 2, y), K F M K FB F O 得(X i 2, y i ),4,当AB 不与x 轴垂直时,y i y 2 x i x 2y 2x 422x y8,即 ”y 2(X i X 2)•又因为A, B 两点在双曲线上,所以2 2xiy i2 , x ;2 y22,两式相减得(x i X 2)(x i X 2) (y i y 2)(y iy 2),即 %X 2)(X 4) (y i y 2)y •(II )假设在X 轴上存在定点C(m,0),使i) •则X i , X 2是上述方程的两个实根,所以 X i X 24k 2 k 2iX i X 24k 2 2 k 2 i '2m)(x 2 m) k (x.(2)(x 2 2)2(i 2m)k 2224 4mm 2(i 2m)中k 2i因为CA|CB 是与k 无关的常数,所以4 4m0,即mi ,此时 CACB =i .为常数.(X i 曰 疋故在x轴上存在定点C(i,0),使CACB为常数.i .解法二:(I )同解法一的(I )有 1y i X 2 y 2 x 4,y 当AB 不与x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是y k(x 2)(k1)•代入 x 2 y 2 2 有(1 k 2)x 2 4k 2x (4k 2 2) 则x ,,X 2是上述方程的两个实根,所以 x 1 x 2 4k 2 k 2 14k 2 ¥1 ¥2 Wx 2 4) k百 44k k 2 由①②③得x 4 4k2k 2 1 4k k 2 1 k 0 时,y 0,由④⑤得, 将其代入⑤有 x 4 4 —— y (x_4)2 1 2 I y 4y(x 4) (x 4)2 y 2 •整理得(x 6)2 y 2 4 • k 0时,点M的坐标为(4,0),满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时, X 1 X 2 2,求得 M (8,0),也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是(x 6)2 y 2 4 • (II )假设在x 轴上存在定点点 C (m,0), 使cA|CB 为常数, 当AB 不与x 轴垂直时,由(I )有x 1 4k 2 2 k 2 1以下同解法一的(II )• 2 212 •已知双曲线x y 2的右焦点为F ,过点F 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点, C 的坐标是(1,) • (I )证明C ACB 为常数; (II )若动点M 满足cM CA CB C O (其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程.12•解:由条件知 F(2,0),设 A(X 1, yj , B(X 2, y ?) •代入 x 2 y 2 2 ,有(1 k 2)x 2 4k 2x (4k 2将y-i y 2 —- (X 1 X 2)代入上式,化简得X 2X 1 X 2 2 ,求得M (2,0),也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是x 2 y 24 .解法二:同解法一得X 1 X2X 2, ......................... ①y 1 y 2 y(I )当AB 与x 轴垂直时,可设点A, B 的坐标分别为(2, 2) , (2, , 2),1 .当AB 不与x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是yk(x 2)(k1)•则x ,, X 2是上述方程的两个实根,所以X i X 24k 2 k 21,x ,x 24k 2V1)(X 21) k 2(x 12)(X 2 2)k 2 14k 221 ( 4k 22) 4k 1为常数 1.(II )解法一:设 M (X , y),则 CM(X 2 1, y ?), 1 X 1X23即X 1 y 1 y 2y 2 AB 的中点坐标为当AB 不与X 轴垂直时,y 1 y 2 X 2X 1 y 2X 222,即y 1y 2X y 2(x 1X 2).又因为A, B 两点在双曲线上,所以2 2 X1y 12 , x ;2 y2两式相减得(X 1 X 2)(X 1 X 2)(% y 2)(y 1丫2),即(X 1 X 2)(X 2)(y 1y 2)y •当AB 与X 轴垂直时, (X i 1)(X 2 i) yy2 22) 4k (2k1) k 2 1综上所述,(X (1,0), 由得:2,y1 , y ) , CA (X 1 1 , yj ,X 2 X1故点M 的轨迹方程是x 2 y 213 •设动点 P 到点A( 1,0)和B(1,0)的距离分别为d 1和d 2 ,2APB 2 ,且存在常数(01),使得dp 2Sin.(1) 证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出 C 的方程;(2) 过点B 作直线交双曲线 C 的右支于M , N 两点,试确定 的O M|Q N 0,其中点o 为坐标原点.故点P 的轨迹C 是以A, B 为焦点,实轴长2a 2、、1方程为:(2)设 M (捲,y 1) , Ng y 2)①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为x 1 , M (1,1) , N(1,13•解法 2(1)在△ PAB 中,AB 2,即 2 2 2d 1 d 22d 1d 2 cos24 (d 1 d 2)2 4d22Sin 2,即 |d 1 d 24 4d 1d 2sin 2 2-1 2 (常数),当AB 不与x 轴垂直时,由(I )有x 14k 2 X 22ky i y 2 k (* X 2 4)由①②③得4k 2 k 2 1 1 •4k ..... ⑤2 1 .k 0时,0,由④⑤得,4 二y(x 2)214y(x 2)(x 2)2 y 2.整理得x 2 y 2 4.k 0时,点M的坐标为( 2,0),满足上述方程.当AB 与x 轴垂直时,X-I x 2 2,求得M (2,0),也满足上述方程.的双曲线.将其代入⑤有③yk 4k k 2 1范围,使1)在双曲线上.10 ,解得y y 2 12,1 1 即丄-1 1宁,因为1所以②当MN 不垂直于x 轴时, 设MN 的方程为y k(x 1).2 2x y由1—y k(x 1得:(1 )kx 2 2(1 )k 2x (1 )(k 2由题意知: 所以x 1 x 21)(1 )k 22k 2(1 )(1 )k 2,X |X 2 (1)(k 2)(1 )k 22k (人 1)(X 21)k 2 2 2(1 )k,N 在双曲线右支上,所以k 2 (1 )2x 1 x 2 x 1x 2 0 k 2由①②知, (1 )214.已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线 2x 上, 其中0为坐标原点,设圆C 是厶OAB 的内 接圆(点珂C 为圆心) (I )求圆C 的方程; (II )设圆M 的方程为(x 4 7cos )2(y 切线PE , PF ,切点为E , F ,求 C^J C F的最大值和最小值. 27sin ) 1,过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条14. (D 解法一:设A , B两点坐标分别为2 2曹,y 2 ,由题设知 2 2y122 y122 y222号(% 丫2)2.2所以 A(6,2、」3) , B(6, 2, 3)或 A(6, 2、、3) , B(6,2、3).2设圆心C的坐标为(r,),则r 6 4,所以圆C的方程为32 2(x 4) y 16. .................................................................................................... •分解法二:设A, B两点坐标分别为(x1?yj , (x2, y2),由题设知2222 「,2小 2 2小2小X i y i X2 y•又因为y i 2x i,y2x?,可得X i 2x i x? 2x?.即(X i X2)(X i x22) 0•交椭圆于A, C两点, 且AC BD,垂足为(n)求四边形ABCD的面积的最小值.i5.证明:(I)椭圆的半焦距c 、,3 2由AC丄BD知点P在以线段F,F2为直径的圆上,故2 2 2 2 , 所以,生血w 皿丄i由X i 0 , X2 0,可知X i X2,故A, B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上.设C点的坐标为2(r,0),则A点坐标为3r, 3r ,于是有3 r 22 2 23r,解得r 4,所以圆C2的方程为(x 4)2 3 y2 i6.(II)解:设ECF 2a,则CE|CF | 蓟科cos22i6cos 2 32cos i6.在Rt A PCE 中,cos —,由圆的几何性质得|PC| |PC|| PC |< | MC | i 7 i 8 , | PC |> |MC | i 7 i 6 , CE|C F <i 2所以< cos < ,由此可得8 <3的最大值为则詈,最小值为8•i6i的左、右焦点分别为F i , F2 •过F i的直线交椭圆于B, D两点,过F2的直线(I)设P点的坐标为(x0, y0),证明: 2 X o32y。

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