圆锥曲线大题专题训练答案和题目

4

1 •如图，曲线G 的方程为y 2

2x(y > 0) •以原点为圆心•以t(t

0)为半径的圆分别

点C , D ，求四边形 ABCD 面积的最小值.

由题意知，直线 AC 的斜率

k 存在，由对称性，不妨设 k

2

X

。 2.解：(I )设切点Q X 0,

4

X g

亍，知抛物线在Q 点处的切线斜率为肓，故所求切线方程为

X 0(X X 。)

• 因为点P(0,

)在切线上.

所以4

2

,X 0 16

,

•所求切线方程为y 2x 4 •

(II )设 A(X 1,屮),C(X 2,

y 2)

• 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点 A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C •

(I)求点 A 的横坐标a 与点C 的横坐标

c 的关系式

(n)设曲线G 上点D 的横坐标为a 2 ,

求证：直线

CD 的斜率为定值.

1•解：(I) 由题意知，A(a, '2a). 因为|0A

t ，所以a 2 2a t 2 .由于t 0 ,

故有"O 由点B(0,

t), C(c,0)的坐标知，直线 BC 的方程为x y 1 c t

又因点A 在直线BC 上，故有a ' 2a

1，将(1 )代入上式，得

a

c t

* 2a .a(a 2)

解得 c a 2

,2(a 2) •

(n)因为D(a 2,、.2(a 2))，所以直线CD 的斜率为

■2(a 2) a 2 c

2@—2)

v 2(a ,2) a 2 (a 2

.、2(a 2))

2(a 2)

所以直线CD 的斜率为定值. 2 •设F 是抛物线G: X 2 4y 的焦点.

(I )过点P(0, 4)作抛物线G 的切线，求切线方程;

(II )设A, B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足 0 ,延长AF , BF 分别交抛物线G 于

B

萌 2a :

(1

5

因直线AC 过焦点F(0,，所以直线 AC 的方程为y kx 1.

y kx 点A, C 的坐标满足方程组 \

' 2 A x 4y , 由根与系数的关系知x 1

X 2 4k

， 4. X \X 2 AC X 2)2 (y 1 yj 2 心 k 2J(X 1 X 2)2 4X 1X 2 4(1 k 2).

1

因为AC BD ，所以BD 的斜率为 一，从而BD 的方程为 k 同理可求得 BD 4 2

4(1 k ) k 2

1 S ABCD _

2 -|AC ||BD

8(1 k 2)2 k 2 8(k 2 2 [) >

32 . k 2 ABCD 面积的最小值为 32 . 2r ,短半轴长为r , 当k 1时，等号成立•所以，四边形 3 •如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 (I) 求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；

(II) 求面积S 的最大值. 3.解：(I )依题意，以 AB 的中点O 为原点建立直角坐标系

O xy (如图)，则点C 的横坐标为 2 点C 的纵坐标y 满足方程x 2 r 解得y 2 _r 2 x 2

(0 2(x ，其定义域为 x

.

1(y > 0),

x0 x

x r) x r ,

y

4r 2

计划将此钢板切割成等腰梯形的形

(ll )记 f (x) 4(x r)2(r 2 x 2),0 (x) 8(x r)2(r 2x).

(x) r

f (x)

0 ；当 x r 时,

2

1

f (x)

0 ,所以f r 是f (x)的最大值.

2

因此，当

时，S 也取得最大值，最大值为

即梯形面积S的最大值为•匕3r2.

2

4 •如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M (2,0) , AB 在

直线的方程为x 3y 6 0点T( 1,1)在AD边所在直

(I)求AD边所在直线的方程；

(II)求矩形ABCD外接圆的方程；

(III )若动圆P过点N( 2,0)，且与矩形ABCD外接圆外

动圆P的圆心轨迹方程.

4.解：(1)因为AB边所在直线的方程为x 3y 6 0 ,且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3 •又因为点T( 1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y 1 3(x 1).即3x y 2 0 .

x 3y 6 0,

(II)由解得点A的坐标为(0, 2),

3x y 2 = 0

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M (2,0).所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.

又AM| 7(2 0)2(0 2)22血•故矩形ABCD外接圆方程为(x 2)2 y2 8 .

(III )因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以|PM| |PN| 2^2，即|PM| |PN| 2迈.

故点P的轨迹是以M , N为焦点，实轴长为2. 2的双曲线的左支.

因为实半轴长a 迈，半焦距c 2 .所以虚半轴长b . c2a2.2 .

2 2

从而动圆P的圆心的轨迹方程为X y 1(x < 2).

2 2

5 .已知函数y kx与y x 2(x > 0)的图象相交于A(%, %) , B(X2, y?) , h , L分别是

2

y x 2(x > 0)的图象在A, B两点的切线，M , N分别是h , J与x轴的交点.

(I)求k的取值范围；

(II )设t为点M的横坐标，当x1 x2时，写出t以为为自变量的函数式，并求其定义域和值域；(III)试比较OM与ON的大小，并说明理由(O是坐标原点).边所线上.

切,求