圆锥曲线大题20道(含答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+

=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其

中O 为原点）. 求k 的取值范围.

解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b

y a x ).0,0(>>b a

由已知得.1,2,2,32222==+==

b b a

c a 得再由

故双曲线C 的方程为.13

22

=-y x （Ⅱ）将得代入13

222

=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.

0)1(36)31(36)26(,

0312

222

k k k k

即.13

1

22<≠

k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319

,31262

2>+>⋅--=-=

+B A B A B

A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x

.1

37

3231262319)1(22222

-+=+-+--+=k k k k k k k

于是解此不等式得即,01393,213732

222>-+->-+k k k k .33

1

2<

1

2<

故k 的取值范围为).1,3

3()33,1(⋃-

- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22

b

y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线

l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，

设AM ＝λAB .

（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2

；

（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.

（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是

2222222.

,

,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y a

x a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e

a

a b e a c AB AM λλ=+-=得

即22

1e a a

b e a

c e a

-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得

证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e

a

-

设M 的坐标是00(,),x y

00(,)(,),a a

AM AB x y a e e

λλ=+=由得

所以⎪⎩⎪

⎨⎧

=-=.

)1(00a y e a x λλ

因为点M 在椭圆上，所以 ,122

220=+b

y a x

即.11)1(,1)()]1([2

2222222

=-+-=+-e e b a a e a

λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e

解得.1122

e e -=-=λλ

即

（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，

即

.||2

1

1c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，

由

,1||1|0)(|||21221c e

ec a e a c e d PF =+-=+++-==

得

.112

2e e

e =+-

所以.3

2

1,3122=-==

e e λ于是

即当,3

2

时=

λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，

则0000010.

22y x c

e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022

023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得

由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([22222

2

2c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2

，化简得.1

)1(22

2

2e e e =+- 从而.3

12=

e 于是3

2112=-=e λ 即当3

2

=

λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i

、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a

.

（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]

4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，

OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明2

2

μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学

知识解决问题及推理的能力. 满分12分.

（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(122

22c F b a b

y a x >>=+

则直线AB 的方程为c x y -=，代入122

22=+b

y a x ，化简得