圆锥曲线大题专题训练[答案和题目]
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
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全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程.(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足:①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围.2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0.(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若=. 求证:.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa.(1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;(2)若2<tanα<3,求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+(a>b>0)的离心率36=e,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C D两点问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中,ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ,)0,1(B ,平面内两点M G ,同时满足下列条件: ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB(1)求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程;(2)过点)0,3(P 的直线l 与(1)中轨迹交于F E ,两点,求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,,j i,为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向量,若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=,且8||||=+b a(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设曲线C 上两点A .B ,满足(1)直线AB 过点(0,3),(2)若OB OA OP +=,则OAPB 为矩形,试求AB 方程.8. 已知抛物线C :)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点,C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上,l 与C 交于不同的两点A 、B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N (p ,0).(Ⅰ)求抛物线C 的方程; (Ⅱ)求实数p 的取值范围;(Ⅲ)若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线,试求Q 的短轴的端点的轨迹方程.9. 如图,椭圆的中心在原点,长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点,且|CD|=21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ,设λ=EC AE ,当4332≤≤λ时,求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 若角A 为090,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程.11. 如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=,过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.12. 已知动点P (p ,-1),Q (p ,212p +),过Q 作斜率为2p 的直线l ,P Q 中点M 的轨迹为曲线C.(1)证明:l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点; (2)若(1)中的其中一个公共点为A ,证明:AP 是曲线C 的切线; (3)设直线AP 的倾斜角为α,AP 与l 的夹角为β,证明:βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ,12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2,动点P 满足22|PF ||PF |21=,动点P 的轨迹为曲线C ,曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ,直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,△ABO 的面积为7,(1)求曲线C 的方程;(2)求m 的值。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
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1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点). 求k 的取值范围.解:(Ⅰ)设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x (Ⅱ)将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左.右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l :y =e x +a 与x 轴.y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设=λ.(Ⅰ)证明:λ=1-e 2;(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形.(Ⅰ)证法一:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是(a b c 2,-). 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二:因为A 、B 分别是直线l :a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上,所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即(Ⅱ)解法一:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|,即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ,由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二:因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|, 设点P 的坐标是),(00y x ,则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩,2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2,化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时,△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,,j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量,若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=,且4=+b a ϖϖ.(Ⅰ)求点),(y x P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若A 、B 为轨迹C 上的两点,满足MB AM =,其中M (0,3),求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且),( R ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解:本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.(1)解:设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+b y a x ,化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A (11,y x ),B 22,(y x ),则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+,所以36.32222a b a c b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e (II )证明:(1)知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由(1)知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,准线l 与x 轴相交于点A(–1,0),过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.(1)求抛物线的方程;(2)若FP •FQ =0,求直线PQ 的方程;(3)设=λAQ (λ>1),点P 关于x 轴的对称点为M ,证明:FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP ∆=,且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .(I )设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围;(II )设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M ,且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时,求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -,点A 在x 轴上,点B 在y 轴的正半轴,点P 在直线AB 上,且满足,AP PB =-u u u r u u u r ,0MA AP ⋅=u u ur u u u r . (Ⅰ)当点A 在x 轴上移动时,求动点P 的轨迹C 方程;(Ⅱ)过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥,求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心,点A (1,0),P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且.2,0AM AP AP MQ ==⋅(Ⅰ)当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线12++=k kx y 与(Ⅰ)中所求点Q的轨迹交于不同两点F ,H ,O 是坐标原点,且4332≤⋅≤OH OF ,求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.10.如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
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圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程:1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :2213649x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73,求双曲线1C 的方程. (2)以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程. (1)解:1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩.代入2008y x =得:2412y x =-.此即为点P 的轨迹方程.2、(1)ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程.解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,故其方程为()013610022≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).(2)分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系. 解:sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB (*)∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为116922=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 3、如图,两束光线从点M (-4,1)分别射向直线y = -2上两点P (x 1,y 1)和Q (x 2,y 2)后,反射光线恰好通过椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的两焦点,已知椭圆的离心率为21,且x 2-x 1=56,求椭圆C 的方程. 解:设a =2k ,c =k ,k ≠0,则b =3k ,其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得:114)2(120x x k ----=--+, ①224)2(120x x k ----=--+, ②x 2-x 1=56, ③ 由①、②、③解得:k =1,x 1=511-,x 2=-1,所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中,21tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程.∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P .则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a (1)求线段PQ 的中点的轨迹方程;(2)设∠POQ 的平分线交PQ 于点R (O 为原点),求点R 的轨迹方程.解:(1)设线段PQ 的中点坐标为M (x ,y ),由Q (4,0)可得点P (2x -4,2y ),代入圆的方程x 2+y 2=4可得(2x -4)2+(2y )2=4,整理可得所求轨迹为(x -2)2+y 2=1.(2)设点R (x ,y ),P (m ,n ),由已知|OP |=2,|OQ |=4,∴21||||=OQ OP ,由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21,又∵点R 在线段PQ 上,∴|PR |=21|RQ |,∴点R 分有向线段PQ 的比为21,由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ,∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ,代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x , 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916(y ≠0). ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916(y ≠0).6、已知动圆过定点()1,0,且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2) 是否存在直线l ,使l 过点(0,1),并与轨迹C 交于,P Q 两点,且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(1)如图,设M 为动圆圆心, F ()1,0,过点M 作直线1x =-的垂线,垂足为N ,由题意知:MF MN =, 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中()1,0F 为焦点,1x =-为准线, ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=(2)由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠, 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->,11k k <->或设),(11y x P ,),(22y x Q ,则124y y k +=,124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,即 ()11,OP x y =u u u r ,()22,OQ x y =u u u r,于是12120x x y y +=,即()()21212110ky y y y --+=,2221212(1)()0k y y k y y k +-++=,2224(1)40k k k k k +-+=g ,解得4k =-或0k =(舍去),又41k =-<-, ∴ 直线l 存在,其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、,离心率为2.(I )求此双曲线的渐近线l l 12、的方程;(II )若A 、B 分别为l l 12、上的点,且2512||||AB F F =,求线段AB 的中点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(III )过点N ()10,能否作出直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点,且OP OQ →→=·0.若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(I )Θe c a =∴=2422, Θc a a c 22312=+∴==,,∴-=双曲线方程为y x 2231,渐近线方程为y x =±334分(II )设A x y B x y ()()1122,,,,AB 的中点()M x y ,[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又,,,, ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ,即则M 的轨迹是中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为103,短轴长为1033的椭圆.(9分) (III )假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y :,与双曲线交于,、,=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则,y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由(i )(ii )得k 230+= ∴k 不存在,即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点,P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为椭圆C 上异于M 的另一点,且MN⊥MQ,QN 与PT 的交点为E ,当M 沿椭圆C 运动时,求动点E 的轨迹方程.解:设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由(1)-(2)可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ,111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-,又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入(1)可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知:直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
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2 2(2015年天津卷) 19.(本小题满分14分)已知椭圆笃+爲=1(a>b>0)的左焦点为a bF (-c,0 ),离心率为二3,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2 =—截得3 4的线段的长为c,|FM|='.3(I) 求直线FM的斜率;(II) 求椭圆的方程;(III) 设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2 ,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线x2 2py外一点P(x0,y0)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦AB的交点为Q。
(1 )求证:抛物线切点弦的方程为x0x p(y+ y0);(2)求证:1 12 PC |PD | |PQ |2. 已知定点F( 1, 0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且PM PF 0,| PM | | PN |.(1)动点N的轨迹方程;(2)线I与动点N的轨迹交于A, B两点,若OA OB 4,且4「6 | AB | 4 30,求直线I的斜率k 的取值范围.2 2 2—1的左右顶点分别为A、B,P为双曲线C2 :——1右支3.如图,椭圆C i3 4 3上(X轴上方)一点,连AP交C1于C,连PB并延长交C1于。
,且厶ACD与厶PCD的面积相等,求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点M ( 2,0), N(2,0),动点P满足条件| PM | |PN | 2.2 .记动点P的轨迹为W .(I)求W的方程;(n)若代B是W上的不同两点, O是坐标原点,求uur uuuOA OB的最小值.2 25. 已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k€ R)(I)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;(n)若曲线c是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;(川)满足(H)的双曲线上是否存在两点P, Q关于直线I: y=x-1对称,若存在,求出过P, Q的直线方程;若不存在,说明理由。
圆锥曲线大题专题及答案
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解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2,且过点P .直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求PAB △的面积的最大值;(Ⅲ)设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N .判断||PM ,||PN 的大小关系,并加以证明.2. (本小题14分) 已知椭圆22:13+=x y C m m,直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,与x 轴交于点B ,点,P Q 与点B 不重合.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)当2∆=OPQ S 时,求椭圆C 的方程;(Ⅲ)过原点O 作直线l 的垂线,垂足为.N 若λ=PN BQ ,求λ的值.3.(本小题共14分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12,(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ),A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值.4.(本小题满分14分)已知椭圆C:2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率;(Ⅱ)设点(3,0)A,动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若||||BA BP=,求四边形OPAB面积的最小值.5.(本小题共14分)已知椭圆C:2214xy+=,F为右焦点,圆O:221x y+=,P为椭圆C上一点,且P位于第一象限,过点P作PT与圆O相切于点T,使得点F,T在OP两侧.(Ⅰ)求椭圆C的焦距及离心率;(Ⅱ)求四边形OFPT面积的最大值.6.(本小题13分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(I)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(II)若OA OB,求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题( 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内)1.(本小题满分14 分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点,且|AB |=2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上的一个动点,且直线PA ,PB 与直线x =4分别交于M , N两点.是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P 的横坐标;若不存在,说明理由。
圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)
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1.过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线,两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =,点P ,Q 在直线l :1y =-上,过P ,Q 两点对应的切点弦分别为AB ,CD()1当点P 在l 上移动时,直线AB 是否经过某一定点,若有,请求出该定点的坐标;如果没有,请说明理由()2当AB CD ⊥时,点P ,Q 在什么位置时,PQ 取得最小值?详解:()1设()11,A x y ,()22,B x y ,()0,1P x -,则2114x y =,2224x y =,抛物线的方程可变形为214y x =,则'2x y =, ∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x xk y ===,∴直线PA 的方程()1112xy y x x -=-,化简()112x x y y =+,同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+,由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩,∴直线AB 的方程为()021x x y =-,则{1x y ==是方程的解, ∴直线AB 经过定点()0,1.()2设(),1P P x -,(),1Q Q x -,由()1可知2PAB x k =,2Q CD x k =, AB CD ⊥,14P Q AB CD x x k k ∴⋅==-,即4P Q x x =-,P x ∴,Q x 异号,不妨设0P x >,则0Q x <,且4Q Px x =-, 44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥,当且仅当2P x =,2Q x =-时取等号, 即当()2,1P --,()2,1Q --时,PQ 取得最小值42.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ,下顶点为B ,定点()0,2C ,ABC ∆的面积为3,过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点,直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值,说明理由. 【详解】(1)由已知,,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3,1(2)32b a ∴+=,又由e =2a b =, 解得:=1b ,或=3b -(舍去),2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=;(2)设直线PQ 的方程为2y kx =+,,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-,令0y =,得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-,令0y =,得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++,是定值.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点,当12MF F ∆的面积最大时,其内切圆半径为3b,设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时,3RS =. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆C 的左顶点,,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ,若1214k k =-,试问直线PQ 是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 详解:(1)由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅,得12c a =①将x c =代入22221x y a b+=,结合222a b c =+②,得2b y a =±,所以223b a =③,由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=(2)设点,P Q 的坐标分别为11,x y (),22,x y (). ①当直线PQ 的斜率不存在时,由题意得331122P Q -(,),(,)或331122P Q -(,),(,),直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为y kx m =+,联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得2224384120k x kmx m +++-=(), 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++) 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=,得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=,整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由(1)和(2)得2220m km k --=,解得2m k =或m k =-当2m k =时,直线PQ 的方程为2y kx k =+,过定点(2,0)-,不合题意; 当m k =-时,直线PQ 的方程为y kx k =-,过定点(1,0), 综上直线PQ 过定点,定点坐标为(1,0).4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(P .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E,取点(0,A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ,点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 详解:(1)因为焦距为4,所以224a b -=,又因为椭圆C过点(P ,所以22421a b +=,故28a =,24b =,从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(P .(2)由题意,E 点坐标为()0,0x ,设(),0D D x ,则(0,AE x =-,(,D AD x =-,再由AD AE ⊥知,0AE AD ⋅=,即080D x x +=. 由于000x y ≠,故08D x x =-,因为点G 是点D 关于y 轴的对称点,所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上,所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-,故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭② 将②代入椭圆C 方程,得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③,化简得:220020x x x x -+=解得0x x =,0y y =,即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.5.在平面直角坐标系xOy 中,已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其中120y y ≠.(1)若10x =,求OAB 的面积;(2)在x 轴上是否存在定点T ,使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形. 【详解】(1)当10x =时,代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1,此时直线l :440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩,消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =,故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为,由对称性知OAB 的面积也是45,综上可知,当10x =时,OAB 的面积为45. (2)显然直线l 的斜率不为0,设直线l :4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩,消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>,得212m >则12284m y y m +=-+,122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形,所以0TA TB k k += 设(),0T t ,则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++,解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ,使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.6.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>⎛- ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【详解】 (1)ca =,22131a4b +=,又222a b c -=,解得2a 4=,2b 1=.所以,椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l的方程为x my 0+=,与椭圆C 联立,整理得,()224m y 10+--=.设()22B x ,y ,11x xy y 12+=,定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得,12y y +=,1221y y 4m -=+.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称,等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以,1212y y0x t x t+=--,即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=,22x my 0+=,所以,))1221y my t y my t 0-+-=,)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得,)21t 2m 04m-⋅=+,即()2m 40=,所以,当t =,即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时,直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地,当直线l 为x轴时,Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述,存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭,满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.7.设椭圆22:182x y C +=,过点()2,1A 的直线AP ,AQ 分别交C 于不同的两点P 、Q ,直线PQ 恒过点()4,0B(1)证明:直线AP ,AQ 的斜率之和为定值;(2)直线AP ,AQ 分别与x 轴相交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在定点G ,使得GM GN ⋅为定值?若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由.【详解】(1)设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ,直线PQ AP AQ 、、的斜率分别为12,,k k k ,由()22448y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()222214326480k x k x k +-+-= >0∆,可得:222121222132648,,41414k k k x x x x k k -<+==++,()()()()12121212121212121241412(61)16411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++2222222222648322(61)16416414814164832164241414k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-++-+===----⋅+++(2)由()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设x 轴上存在定点()0,0G x 则 ()()20000121212111112222GM GN x x x x k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()212001212122k k x x k k k k ⎛⎫+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭()()20012121122x x k k k k ⎛⎫-=-+-⋅+⎪⎝⎭,要使GM GN ⋅为定值,即0021,3x x -==故x 轴上存在定点()3,0G 使GM GN ⋅为定值,该定值为18.如图,已知抛物线E :y 2=4x 与圆M :(x -3)2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B ,C ,D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S ,当S 最大时,求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【详解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),y x x y r ⎧=⎨-+=⎩消去y ,得x 2-2x+9-r 2=0.由题意可知x 2-2x+9-r 2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,r r ⎧∆=-->⎨->⎩解得3,即r. (2)根据(1)可设方程x 2-2x+9-r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2),则A (x 1),B (x 1, -C (x 2, -D (x 2且x 1+x 2=2,x 1x 2=9-r 2, 所以S=12(AB +CD )·(x 2-x 1)=12x 2-x 1) ==令∴(0,1),f (t )=S 2=4(2+2t )(4-4t 2)= -32(t 3+t 2-t -1), f'(t )= -32(3t 2+2t -1)= -32(t+1)(3t -1),可得f (t )在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当t=13时,四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P 点坐标为(m ,0),由P ,A ,D 三点共线,21=1整理得m=--t=-13, 所以点P 的坐标为(-13,0).9.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>,离心率e =,短轴2b =点,以坐标轴为对称轴,焦点为()0,1, (1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点,B 为椭圆是一点,且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在轴上时,求直线AB 的方程. 【详解】 (1)由2e =得a =,又有b =222a b c =+,解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=由抛物线的焦点为()0,1得,抛物线焦点在y 轴,且12p=, 抛物线的方程为:24x y =(2)由题意点A 位于第一象限,可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为:y kx =,0k >联立方程24y kx x y=⎧⎨=⎩得:24x kx =,可知点A 的横坐标4A x k =,即()24,4A k k因为OA OB ⊥,可设直线OB 方程为:1y x k=-连立方程22112010y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222012k x k =+,从而得x =若线段AB 的中点在y轴上,可知B x =B ⎛ ⎝有4k =0k >,解得k =从而得12A ⎫⎪⎭,()B 直线AB的方程:8180y +-=10.已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1,0),椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线2C 的顶点为原点.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点,过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ,PB ,其中A 、B 为切点.设直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值;②若直线AB 交椭圆C 1于C ,D 两点,S ∴PAB ,S ∴PCD 分别是∴PAB ,∴PCD 的面积,试问:PAB PCDSS是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由. 【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1,0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=, 由∴=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=, 则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=, 0k ≠时,∴0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,∴0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCD k S k k S k+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43.11.已知过圆1C :221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线,交坐标轴于A 、B 两点,且A 、B 恰好分别为椭圆2C :()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.(1)求椭圆2C 的方程;(2)已知P 为椭圆的左顶点,过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点,若直线MN 过定点()1,0Q -,求证:PM PN ⊥. 【详解】(1)直线OE l的方程为y ,则直线AB l的斜率AB k =. 所以AB l:y x =A ⎛ ⎝⎭,()2,0B ,椭圆方程为:221443x y +=; (2)①当MN k 不存在时,()1,1M -,()1,1N --,因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=,所以PM PN ⊥.②当MN k 存在时,设()11,M x y ,()22,N x y ,MN l :()1y k x =+,联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得:()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+,21223413k x x k-=+,又已知左顶点P 为()2,0-, ()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+,又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+, 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k --++-==+,所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.12.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -,(),0B a ,点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点,设直线PA ,PB 的斜率分别为1k 、2k ,且1213k k ⋅=-,椭圆的焦距长为4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,分别记ABM ∆,ABN ∆的面积为1S 、2S ,求12S S -的值. 【详解】(1)设点()()000,P x y x a ≠,则2200221x y a b+=,①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--,②∴联立①②得()()222230b a x a --=,∴()2203a a b x =≠,∴22222212133a b e a a c -===-=,∴e =. (2)由题意知,24c =,即2c =,由(1)知,223a b ,∴22224a b c b =+=+,∴22b =,26a =,∴椭圆C 的方程为:22162x y +=,由已知得l:)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可得2210x x --=.设()11,M x y ,()22,N x y ,根据韦达定理,得122x x +=,于是)12121212S S y x x -=⨯+=+13.(本小题满分12分)记抛物线2::2C y x =-的焦点为F ,点M 在抛物线上,(3,1)N -,斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P Q ,两点.(1)求||||MN MF +的最小值;(2)若(2,2)M -,直线MP MQ ,的斜率都存在,且20MP MQ k k ++=;探究:直线l 是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 【解析】(1)设抛物线C 的准线为l ',过点M 作1MM l '⊥,垂足为1M ,过点N 作1NN l '⊥,垂足为1N ,如图:则117||||||2MN MF MN MM NN +=+=,即||||MN MF +的最小值为72. (2)设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+,()22,Q x y ,将直线l 与抛物线C 的方程联立得22y kx b y x=+⎧⎨=-⎩,222(22)0k x kb x b +++=,212122222,kb b x x x x k k --+== ① 又121222222MP MQ y y k k x x --+=+=-++, 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++,()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x bx x x x ++++-++-=--+-,将①代入得,222(1)0b b k b ---+=,即(1)(22)0b b k +--=,得1b =-或22b k =+, 当1b =-时,直线l 为1y kx =-,此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时,直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++,此时直线恒过(2,2)M -(舍去). 综上所述,直线l 过定点(0,1)-.14.(本小题满分12分)已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ,若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ,N 两点,满足||4MN =. (I )求抛物线Γ的方程;(II )若P 为Γ上动点,B ,C 在y 轴上,圆22(1)1x y -+=内切于PBC ,求PBC 面积的最小值. 【解析】(I )抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭,则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-, 联立抛物线方程2y ax =,消去y 得:2230216a ax x -+=,设()()1122,,,M x y N x y ,则1232a x x +=, 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==,解得2a =,∴抛物线的方程为2:2y x Γ=.(II )设()00,P x y ,()0,B b ,()0,C c ,不妨设b c >,00:PB y bl y b x x --=,化简得:()0000y b x x y x b --+=,圆心()1,0到直线PB 的距离为11=,即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+,不难发现02x >,上式又可化为()2000220x b y b x -+-=,同理有()2000220x c y c x -+-=,∴,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根,0022y b c x -∴+=-,()()220002020042,()22x y x x bc b c x x +--=∴-=--, 由条件:2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ∴-=∴-=--,, ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--,当且仅当04x =时取等号, ∴PBC S △面积的最小值为8.15.(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ,焦点F 在y 轴的正半轴上,过点F 的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,且满足3.4OA OB ⋅=- (1)求抛物线C 的方程;(2)若P 是抛物线C 上的动点,点,M N 在x 轴上,圆2211x y +-=()内切于PMN ∆,求PMN ∆面积的最小值. 【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>,则焦点F 的坐标为02p(,).设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+,,,,, 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>,∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=,,∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-,∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =.(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,,易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同,不妨设m n >,易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=,又圆心(0,1)到直线PM 的距离为11=,∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+,不难发现02y >,故上式可化为()2000220y m x m y -+-=,同理可得()2000220y n x n y -+-=,,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根,则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ,是抛物线C 上的点,∴2002x y =,则()()222042y m n y -=-,又02y >,∴02,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=,当且仅当()2024y-=时取得等号,此时004,y x ==±故△PMN 面积的最小值为8.16.(12分)已知直线与抛物线:交于,两点,且2x p =C ()220y px p =>P Q POQ∆的面积为16(为坐标原点). (1)求的方程;(2)直线经过的焦点且不与轴垂直,与交于,两点,若线段的垂直平分线与轴交于点,证明:为定值.【解析】(1)将代入,得,所以的面积为. 因为,所以,故的方程为.(2)证明:由题意设直线的方程为,由,得.设,,则,所以.因为线段的中点的横坐标为,纵坐标为,所以线段的垂直平分线的方程为,令,得,所以的横坐标为,所以,故为定值.17.(12分)已知椭圆2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线与椭圆C交于点E ,F ,过点E 作轴于点M ,直线FM 交椭圆C 于另一点N ,证明:. 【解析】(1)由题,,∴,, 故椭圆方程为; O C l C F l x C A B AB x D AB DF2x p =22y px =2y p =±POQ ∆21244162p p p ⨯⨯==0p >2p =C 24y x =l ()()10y k x k =-≠()214y k x y x⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y 212224k x x k ++=212244k x x p AB k +=++=AB 212222x x k k ++=2kAB 22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭0y =223x k =+D 223k +2222312k D kF =+-=+2AB DF =2222:1(0)x y C a b a b +=>>y kx =EM x ⊥EF EN ⊥2c a =22c =a =1e =1b =2212x y +=(2)设,,,则,与椭圆方程联立得,由得,, ∴,即.18.(12分)如图,设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >,过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ,过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ,记S 为MBA ∆的面积.(∴)求p 的值(用t 表示); (∴)若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求t 的取值范围.注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直线与抛物线相切. 【解析】00(,)E x y ()00,F x y --00(),M x 000:()2FM y l y x x x =-()22222220002240x y x x y x x y x +-+-=2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+230002200322N x y x x x y +=+()0000000000022N N ENN N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===----00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-EF EN⊥(∴)因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >,又点M 在抛物线2C :()220y px p =>上,故()222tpt =,则32t p =(∴)设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+,联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=,则()()222420k kt tk t ∆=--=-=,因此2k t ,即直线MA的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k t y x t y t t t --====-+-,从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因此2t MB t =-=2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB :2022t t x y -+=的距离29t d ==MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===,即32732t S =,因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即31272432t ≤≤,解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切.(1)求C 的方程;(2)直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ,()22,N x y 两点,且12x x >.已知l 上存在点P ,使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形.若P 在直线MN 右下方,求m 的值. 【解析】 (1)依题意,1b =,因为离心率c e a ===,=a = 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.(2)因为直线y x m =+的倾斜角为45︒,且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形,P 在直线MN 右下方,所以NP x ∥轴.过M 作NP 的垂线,垂足为Q ,则Q 为线段NP 的中点,所以()12,Q x y ,故()1222,P x x y -, 所以()12232450x x y -+-=, 即()()12232450x x x m -++-=, 整理得126450x x m ++-=.①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>,解得22m -<<, 所以1232x x m +=-,②()212314x x m =-,③ 由①-②得,112mx =-,④ 将④代入②得21x m =--,⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭,解得1m =-.综上,m 的值为1-.20.(12分)已知直线2x p =与抛物线C :()220y px p =>交于P ,Q 两点,且POQ∆的面积为16(O 为坐标原点). (1)求C 的方程.(2)直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ,试问在x 轴上是否存在点E ,使AB DE为定值?若存在,求该定值及E 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)将2x p =代入22y px =,得2y p =±,所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==. 因为0p >,所以2p =,故C 的方程为24y x =. (2)由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则212224k x x k ++=,所以212244||k AB x x p k+=++=. 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=,纵坐标为2k , 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭, 令0y =,得223x k =+,所以D 的横坐标为223k +,设(),0E t ,则()2223223t k DE t k k-+=+-=,()224432AB k DE t k +∴=-+, 所以当且仅当32t -=,即1t =时,AB DE为定值,且定值为2,故存在点E ,且E 的坐标为()1,0.21.已知直线l 与抛物线()2:20C x py p =>相交于,A B 两个不同点,点M 是抛物线C 在点,A B 处的切线的交点。
(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)
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直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 解:利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .又因为焦点在x 轴上, 所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为 93+=x y .由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x .设1x ,2x 为方程两根, 所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求△AOB 面积的最大值。
解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=,∴所求椭圆方程为2213x y +=。
(Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,。
(1)当AB x ⊥轴时,AB =。
(2)当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+。
=,得223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(31)6330k x kmx m +++-=,122631km x x k -∴+=+,21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)
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当 0 m 1 时,
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20. x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ,焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时,
x2
y2
1,
4
25,
20 ;
4
当
0
时,
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21. (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22. x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23.1
焦点在 y 轴上,则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28. ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ,得 m 3, c 7 ,且焦点在 x 轴上 2
29. b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
,则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27. , 2
t2 设 Q(
,t) ,由
PQ
a
t2 得(
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
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圆锥曲线经典题型一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.27.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=110.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.一.选择题(共10小题)1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是()A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.∴e==>1且e≠.故选:D.2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()A.B.C. D.【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,所以﹣<y0<.故选:A.3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()A.B. C.D.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1,∴PF1⊥PF2,∵|PF1|=3|PF2|,∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴10a2=4c2,∴e=故选C.4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),由=2,可得B(﹣,﹣),把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,即=1,整理可得c=a,即离心率e==.故选:C.5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即∴b2<a2,∴c2=a2+b2<2a2,∴e=<∵e>1∴1<e<故选C.6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b,令x=c,可得y=±b=±,由题意可得=b,即a=b,c==a,即离心率e==,故选C.7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a;在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2.即b=2a,双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;故选:C.8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1∴3a2<b2,∴c2=a2+b2>4a2,∴e=>2故选:C.9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),代入点P(2,),可得λ=4﹣2=2,可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,即为﹣=1.故选:B.10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,则P(2,3),∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,同理当y<0时,则△APF的面积S=,故选D.二.填空题(共2小题)11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.【解答】解:∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,故答案为20.12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.【解答】解:取PF2的中点A,则∵,∴2•=0,∴,∵OA是△PF1F2的中位线,∴PF1⊥PF2,OA=PF1.由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,∵|PF1|=|PF2|,∴|PF2|=,|PF1|=.△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴()2+()2=4c2,∴e=.故答案为:.三.解答题(共4小题)13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)由双曲线的定义可知:故双曲线C的方程为:…(6分)(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,所以,又cosθ=,所以=﹣…(14分)14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,∴=即a2=b2,…(3分)∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)∴直线AC过定点(,0).…(12分)15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,当P为右顶点时,可得PF取得最小值,即有c﹣a=﹣1,解得a=1,c=,b==,可得双曲线的方程为x2﹣=1;(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点.设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,可得直线l的斜率为k===2,即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,∴=,且b=,∴a=1,c=∴双曲线C的方程;(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2平方得:p2﹣2pq+q2=4•=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2.。
【2023届新高考必刷题目】 高中数学圆锥曲线大题综合
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【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB 为抛物线G :y 2=2px (p >0)的弦,点C 在抛物线的准线l 上.当AB 过抛物线焦点F 且长度为8时,AB 中点M 到y 轴的距离为3.(1)求抛物线G 的方程;(2)若∠ACB 为直角,求证:直线AB 过定点.【答案】(1)y 2=4x(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线弦长公式,以及中点到y 轴的距离公式,计算出p 即可;(2)先设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,直线AB 的方程:x =ty +n ,联立方程组,由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ,又因为∠ACB 为直角可得CA ⋅CB=0,化简求解可得n =1,所以得出直线过定点1,0 .【详解】(1)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,则由题意得|AB |=x A +x B +p =8x A +x B 2=3,解得p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x (2)直线AB 过定点1,0 ,证明如下:设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,直线AB 的方程:x =ty +n ,将x =ty +n 代入y 2=4x 得y 2-4ty -4n =0,则Δ>0,得t 2+n >0,由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ,所以CA =y 214+1,y 1-c ,CB =y 224+1,y 2-c,因为∠ACB =90∘,所以CA ⋅CB =0,即y 21y 2216+y 21+y 224+1+y 1y 2-c y 1+y 2 +c 2=0,即n 2+4t 2+2n +1-4n -4tc +c 2=0,即(n -1)2+(2t -c )2=0,所以n =1,所以直线AB 过定点1,0 .2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ,过左焦点F 的直线与C 交于P ,Q 两点.当PQ ⊥x 轴时,PA =10,△PAQ 的面积为3.(1)求C 的方程;(2)证明:以PQ 为直径的圆经过定点.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,可得PF=b2a,b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2,进而求解;(2)设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2,联立直线和双曲线方程组,可得3m2-1y2-12my+9 =0,以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点,进而得到x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0,进而求解.【详解】(1)当PQ⊥x轴时,P,Q两点的横坐标均为-c,代入双曲线方程,可得y P=b2a,y Q=-b2a,即PF=b2a,由题意,可得b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2,解得a=1,b=3,c=2,∴双曲线C的方程为:x2-y23=1;(2)方法一:设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2,x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2y2-4my+4-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0,x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点,令y=0,可得x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0,而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1,x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=-3m2-4 3m2-1,∴x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0⇒3m2-1x2-4x+5-3m2=0⇒3m2-1x+3m2-5x-1=0对∀m∈R恒成立,∴x=1,∴以PQ为直径的圆经过定点1,0;方法二:设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2,x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ 为直径的圆过E t ,0 ,∴EP ⋅EQ=0⇒x 1-t x 2-t +y 1y 2=0⇒x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=my 1-2 my 2-2 =m 2y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=m 2⋅93m 2-1-2m ⋅12m 3m 2-1+4=-3m 2-43m 2-1,x 1+x 2=m y 1+y 2 -4=12m 23m 2-1-4=43m 2-1∴-3m 2-43m 2-1-4t 3m 2-1+t 2+93m 2-1=0,3m2-1 t 2-4t +5-3m 2=0,即3m 2-1 t +3m 2-5 t -1 =0对∀m ∈R 恒成立,∴t =1,即以PQ 为直径的圆经过定点1,0 .3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-2,0),B (2,0),直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ,N 两点,直线MA ,NB 与y 轴分别交于E ,F 两点,若EO=3OF ,求证:直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(x ≠±2)(2)证明见解析【分析】(1)设P 点坐标为(x ,y ),由y x +2⋅y x -2=-14可得结果;(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,联立y =kx +m x 24+y 2=1,得x 1+x 2和x 1x 2,再求出E ,F 的坐标,根据EO =3OF得k =m ,从而可得结果.【详解】(1)设P 点坐标为(x ,y ),则y x +2⋅y x -2=-14,即x 24+y 2=1(x ≠±2),所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2).(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,由y =kx +mx 24+y 2=1,消去y 并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0,由Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0,得4k 2+1>m 2,所以x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.MA :y =y 1x 1+2(x +2)⇒E 0,2y 1x 1+2 ,NB :y =y 2x 2-2x -2 ⇒F 0,-2y 2x 2-2 ,因为EO =3OF ,所以-2y 1x 1+2=3⋅-2y 2x 2-2,即y 1(x 2-2)=3y 2(x 1+2),∴kx 1+m x 2-2 =3kx 2+m x 1+2 ,∴2kx 1x 2+(2k +3m )x 1+x 2 +4(k -m )x 2+8m =0,所以2k ⋅4m 2-44k 2+1+(2k +3m )⋅-8km4k 2+1+4(k -m )x 2+8m =0,所以(k -m )4km -2+4k 2+1 x 2 =0对任意x 2都成立,∴k =m ,故直线l 过定点(-1,0).4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点,B 与A 关于原点对称,F 是右焦点,∠AFB =π2.(1)求双曲线的方程;(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0),与双曲线的右支交于点M ,N ,且直线MN 经过F ,求圆C 的方程.【答案】(1)x 28-y 24=1(2)x 2+(y ±26)2=40【分析】(1)由已知条件列方程求出a ,b ,c ,即可求出双曲线的方程;(2)讨论直线MN 的斜率不存在时不满足题意;当斜率存在时设直线MN 的方程为y =kx +m ,联立双曲线的方程,由韦达定理求出MN 的中点Q 的坐标以及C 的坐标,根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2,代入解方程即可得出答案.【详解】(1)由已知条件得:463+c ,233 ⋅463-c ,233 =0323a 2-43b 2=1a 2+b 2=c 2⇒a 2=8b 2=4c =23双曲线方程为:x 28-y 24=1.(2)若直线MN 的斜率不存在,则圆C 的圆心不在y 轴上,因此不成立.设直线MN 的方程为y =kx +m ,由y =k (x -23)x 28-y 24=1消元得:2k 2-1 x 2-83k 2x +24k 2+8 =0⇒2k 2-1≠0Δ=32k 2+1 >0x 1+x 2=83k 22k 2-1,y 1+y 2=k x 1+x 2 -43k =83k 32k 2-1-43k =43k2k 2-1∴MN 的中点Q 的坐标为43k 22k 2-1,23k2k 2-1.设C (0,m ),直线CQ :y =-1k x +m ,得C 0,63k2k 2-1,又|MN |=k 2+1⋅82⋅-8k 2+4+12k 28k 2-4 =42k 2+1 2k 2-1,根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2∴63k 2k 2-1 2+42=43k 22k 2-1 2+23k 2k 2-1-63k 2k 2-1 2 +22k 2+1 2k 2-12.化简得2k 4-5k 2+2=0解得k 2=2或k 2=12(舍)∴C (0,±26),∴圆C 的方程为x 2+(y ±26)2=40.5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ,点F 关于直线y =12x +34的对称点恰好在y 轴上.(1)求抛物线E 的标准方程;(2)直线l :y =k x -2 k ≥6 与抛物线E 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,若D 6,0 ,求AB CD的最大值.【答案】(1)y 2=4x(2)2915【分析】(1) 由题意得F p 2,0 ,设F 关于直线y =12x +34的对称点为F 0,m ,根据题意列出方程组,解之即可求解;(2)将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理和弦长公式,并求得线段AB 的垂直平分线方程为y -2k =-1k x -2k 2+2k 2 ,进而得到AB CD=22+49t +36t-12,利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)由题意得F p 2,0 ,设F 关于直线y =12x +34的对称点为F0,m ,则m -p 2=-2m 2=18p +34 ,解得m =p =2,∴抛物线E 的标准方程为y 2=4x .(2)由y =k x -2 y 2=4x 可得k 2x 2-4k 2+4 x +4k 2=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=4k 2+4k 2,x 1x 2=4,∴AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅4k 2+4k 22-16=42k 4+3k 2+1k 2,y 1+y 2=k x 1+x 2 -4k =4k ,∴线段AB 的中点坐标为2k 2+2k 2,2k ,则线段AB 的垂直平分线方程为y-2k =-1k x -2k 2+2k 2 ,令y =0,得x =4+2k2,故C 4+2k 2,0 ,又D 6,0 ,得CD =4+2k 2-6=2-2k 2.∴ABCD =22k 4+3k 2+1k 2-1=22+7k 2-1k 4-2k 2+1,令t =7k 2-1k ≥6 ,则k 2=17t +1 ,t ≥41,∴AB CD=22+t 149t +1 2-27t +1+1=22+49t +36t-12,易知函数f t =t +36t在41,+∞ 上单调递增,∴当t =41时,f t 取得最小值,此时k =6,故AB CD的最大值为22+4136-12+1=2915.6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=10<a 10,b 0 的右顶点为A ,左焦点F -c ,0 到其渐近线bx +ay =0的距离为2,斜率为13的直线l 1交双曲线C 于A ,B 两点,且AB=8103.(1)求双曲线C 的方程;(2)过点T 6,0 的直线l 2与双曲线C 交于P ,Q 两点,直线AP ,AQ 分别与直线x =6相交于M ,N 两点,试问:以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】(1)x 29-y 24=1(2)以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 .【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b =2,进而联立直线与双曲线方程,根据弦长公式即可求解a =3,(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理,根据圆的对称性可判断若有定点则在x 轴上,进而根据垂直关系得向量的坐标运算,即可求解.【详解】(1)∵双曲线C 的左焦点F -c ,0 到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =bca 2+b2=b ,而d =2,∴b =2.∴双曲线C 的方程为x 2a2-y 24=10<a <10 .依题意直线l 1的方程为y =13x -a .由x 2a 2-y 24=1,y =13x -a ,消去y 整理得:36-a 2 x 2+2a 3x -a 2a 2+36 =0,依题意:36-a 2≠0,Δ>0,点A ,B 的横坐标分别为x A ,x B ,则x A x B =a 2a 2+36a 2-36.∵x A =a ,∴x B =a a 2+36a 2-36.∴AB =1+132x A -x B =103x A -x B =8103,∴x A -x B =8.即a -a a 2+36a 2-36=8,解得a =3或a =12(舍去),且a =3时,Δ>0,∴双曲线C 的方程为x 29-y 24=1.(2)依题意直线l 2的斜率不等于0,设直线l 2的方程为x =my +6.由x =my +6,x 29-y 24=1,消去x 整理得:4m 2-9 y 2+48my +108=0,∴4m 2-9≠0,Δ1>0.设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-48m 4m 2-9,y 1y 2=1084m 2-9.直线AP 的方程为y =y 1x 1-3x -3 ,令x =6得:y =3y 1x 1-3,∴M 6,3y 1x 1-3 .同理可得N 6,3y 2x 2-3.由对称性可知,若以线段MN 为直径的圆过定点,则该定点一定在x 轴上,设该定点为R t ,0 ,则RM =6-t ,3y 1x 1-3 ,RN =6-t ,3y 2x 2-3 ,故RM ⋅RN =6-t 2+9y 1y 2x 1-3 x 2-3 =6-t 2+9y 1y 2my 1+3 my 2+3 =6-t 2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=6-t 2+9×1084m 2-9m 2×1084m 2-9-3m ×48m 4m 2-9+9=6-t 2-12=0.解得t =6-23或t =6+23.故以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 .【点睛】关键点睛:本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上,结合向量垂直的坐标运算化简求解就可,对计算能力要求较高.7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义:一般地,当λ>0且λ≠1时,我们把方程x 2a 2+y 2b 2=λ(a >b >0)表示的椭圆C λ称为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的相似椭圆.(1)如图,已知F 1-3,0 ,F 23,0 ,M 为⊙O :x 2+y 2=4上的动点,延长F 1M 至点N ,使得MN =MF 1 ,F 1N 的垂直平分线与F 2N 交于点P ,记点P 的轨迹为曲线C ,求C 的方程;(2)在条件(1)下,已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆,M 1,N 1是椭圆C λ的左、右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点,当λ=e 2(e 为曲线C 的离心率)时,设直线QM 1与椭圆C 交于点A ,B ,直线QN 1与椭圆C 交于点D ,E ,求AB +DE 的值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)5【分析】(1)由图可知OM 是△F 1NF 2的中位线,由此可得F 2N 长为定值,因为点P 在F 1N 的垂直平分线上,所以PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN ,根据椭圆定义求解析式即可;(2)假设出点Q 坐标,表示直线QM 1与直线QN 1的斜率,并找出两斜率关系,最后表示出两直线方程,分别与椭圆C 联立方程,利用弦长公式和韦达定理求出AB +DE 的值.【详解】(1)连接OM ,易知OM ∥12F 2N 且OM =12F 2N ,∴F 2N =4,又点P 在F 1N 的垂直平分线上,∴PF 1 =PN ,∴PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN =NF 2 =4>23,满足椭圆定义,∴a =2,c =3,b =1,∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆C 方程为x 24+y 2=1,则离心率e =32⇒λ=34,∴楄圆C λ的标准方程为x 23+4y 23=1,设Q x 0,y 0 为椭圆C λ异于四个顶点的任意一点,直线QM 1,QN 1斜率k QM 1,k QN 1,则k QM1⋅k QN 1=y 0x 0+3⋅y 0x 0-3=y 2x 20-3,又x 203+4y 203=1⇒y 20=143-x 20 ,∴k QM 1⋅k QN 1=-14k QM 1≠±12.设直线QM 1的斜率为k ,则直线QN 1的斜率为-14k.∴直线QM 1为y =k x +3 ,由y =k x +3 ,x 24+y 2=1,得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2,∴AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=41+k 21+4k 2,同理可得DE =1+16k 21+4k 2,∴AB +DE =41+k 2 1+4k 2+1+16k 21+4k 2=5.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线,设切点为P ,Q ,直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程;(2)设点T 是圆C 上的动点,抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足:TA =2TM ,TB =2TN,设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率;(ii )设△TAB 面积为S ,求S 的最大值.【答案】(1)y 2=2x(2)(i )0;(ii )48【分析】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p 2,0 ,由几何性质易得:CP 2=CP 0 ⋅CO ,即可解决;(2)设T x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,(i )中,由于TA 中点M 在抛物线E 上,得y 0+y 12 2=2⋅x 0+x 12,将A x 1,y 1,B x 2,y 2 ,代入联立得D 点纵坐标为y 1+y 22=y 0,即可解决;(ⅱ)由(i )得点D 3y 20-4x 02,y 0,S =12TD ⋅y 1-y 2 =322⋅y 20-2x 03,又点T 在圆C 上,得y 20=-x 20-4x 0-1,可得:S =322⋅-x 0+32+8 3即可解决.【详解】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p2,0 .由几何性质易得:△CPP 0与△OCP 相似,所以CP CP 0=CO CP,CP2=CP 0 ⋅CO ,即:3=-p2+2 ⋅2,解得:p =1. 所以抛物线E 的标准方程为:y 2=2x .(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2(i)由题意,TA中点M在抛物线E上,即y0+y122=2⋅x0+x12,又y21=2x1,将x1=y212代入,得:y21-2y0y1+4x0-y20=0,同理:y22-2y0y2+4x0-y20=0,有y1+y2=2y0y1y2=4x0-y20,此时D点纵坐标为y1+y22=y0,所以直线TD的斜率为0.(ⅱ)因为x1+x22=y21+y224=y1+y22-2y1y24=3y20-4x02,所以点D3y20-4x02,y0 ,此时S=12TD⋅y1-y2,TD =3y20-4x02-x0=32y20-2x0,y1-y2=y1+y22-4y1y2=8y20-2x0,所以S=322⋅y20-2x03,又因为点T在圆C上,有x0+22+y20=3,即y20=-x20-4x0-1,代入上式可得:S=322⋅-x20-6x0-13=322⋅-x0+32+83,由-2-3≤x0≤-2+3,所以x0=-3时,S取到最大价322⋅83=48.所以S的最大值为48.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,M为C的准线l上的一点,直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1.(1)求C的方程;(2)过点F作一条直线l ,交C于A,B两点,试问在l上是否存在定点N,使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y2=4x(2)存在,-1,0或-1,-4【分析】(1)设点M的坐标为-p 2,a,根据直线MF的斜率为-1,得到a=p,再根据△OFM的面积为1求出p,即可得解;(2)假设存在点N,使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方.设直线l 的方程为x=my+1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,N -1,t ,联立直线与抛物线方程,消元列出韦达定理,又k NF =-t2,k NA+k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1,化简k NA +k NB ,即可得到方程,求出t 的值,即可得解.【详解】(1)解:由题意知F p 2,0 ,设点M 的坐标为-p2,a ,则直线MF 的斜率为a -0-p 2-p 2=-ap .因为直线MF 的斜率为-1,所以-ap =-1,即a =p ,所以△OFM 的面积S =12OF a =p 24=1,解得p =2或p =-2(舍去),故抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)解:假设存在点N ,使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方.由(1)得F 1,0 ,抛物线C 的准线l 的方程为x =-1.设直线l 的方程为x =my +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,N -1,t ,联立x =my +1y 2=4x得y 2-4my -4=0,所以Δ=16m 2+16>0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.因为k NF =0-t 1+1=-t 2,k NA +k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1=2my 1y 2+2-tm y 1+y 2 -4t m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=2m ⋅-4 +4m 2-tm -4t -4m 2+2m ⋅4m +4=-4t m 2+14m 2+1 =-t ,所以-t =-t22,解得t =0或t =-4.故存在定点N ,使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方,其坐标为-1,0 或-1,-4 .10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点,△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程;(2)若B 、D 分别为椭圆C 的上、下顶点,不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P 、Q (P 在上方,Q 在下方,且均不与B ,D 点重合)两点,直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2,且k 2=-3k 1,求△PBQ 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)12【分析】(1)根据条件,得到关于a ,b ,c 的方程,即可得到结果;(2)根据题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,再由k 2=-3k 1列出方程,代入计算,即可得到结果.【详解】(1)S ΔF 1AF 2=12⋅23⋅b =3,∴b =1,a =b 2+3=2,故椭圆的方程为x 24+y 2=1;(2)依题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,联立方程组y =kx +mx 24+y 2=1,消元得:1+4k 2 x 2+8km x +4m 2-4=0,∴x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2,Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =161+4k 2-m 2 >0,由k 2=-3k 1得:y 2+1x 2=-3⋅y 1-1x 1,两边同除x 1,y 2+1x 1x 2=-3⋅y 1-1x 21=-3⋅y 1-141-y 21 =341+y 1 ,即3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =0;将y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式得:3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =3x 1x 2-4kx 1+m +1 kx 2+m +1 =3-4k 2 x 1x 2-4k m +1 x 1+x 2 -4m +1 2=3-4k 2 4m 2-41+4k 2-4k m +1 -8km 1+4k 2 -4m +1 2=0,整理得:m 2-m -2=0所以m =2或m =-1(舍),S △PQB =12⋅1⋅x 1-x 2 =12x 1+x 2 2-4x 1x 2=12-8km 1+4k 2 2-44m 2-41+4k 2=24k 2-31+4k 2=24k 2-3+44k 2-3≤12,当k =±72时等号成立,满足条件,所以△PQB 面积的最大值为12.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ,B .直线l 与C 相切,且与圆O :x 2+y 2=4交于M ,N 两点,M 在N 的左侧.(1)若|MN |=455,求l 的斜率;(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2,证明:k 1k 2为定值.【答案】(1)k =±12;(2)证明过程见解析.【分析】(1)根据圆弦长公式,结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可;(2)根据直线斜率公式,结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】(1)当直线l 不存在斜率时,方程为x =±2,显然与圆也相切,不符合题意,设直线l 的斜率为k ,方程为y =kx +m ,与椭圆方程联立,得x 24+y 23=1y =kx +m⇒(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0,因为直线l 与C 相切,所以有Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =0⇒m 2=4k 2+3,圆O :x 2+y 2=4的圆心坐标为0,0 ,半径为2,圆心0,0 到直线y =kx +m 的距离为mk 2+-12,因为|MN |=455,所以有455=2×4-mk 2+-1 22⇒45=4-4k 2+3k 2+1⇒k =±12;(2)A -2,0 ,B 2,0 ,由x 2+y 2=4y =kx +m ⇒1+k 2 x 2+2km x +m 2-4=0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,x 1<x 2,则有x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1,x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2,k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 2x 2-2=kx 1+m kx 2+m x 1x 2-2x 1+2x 2-4=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2-2x 1+2x 2-4,把x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1,x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2代入上式,得k 1k 2=k 24k 2-1k 2+1+km -2km k 2+1+m 24k 2-1k 2+1-2⋅-km -1k 2+1+2⋅-km +1k 2+1-4=m 2-4k 2m 2-4-4k2,而m 2=4k 2+3,所以k 1k 2=4k 2+3-4k 24k 2+3-4-4k 2=-3.【点睛】关键点睛:利用一元二次方程根与系数关系,结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1,椭圆外一点P 满足OP =2AO ,BP =2CP,(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值;(2)证明:直线AC 与OB 斜率之积为定值.【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ,根据向量关系用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3,代入椭圆方程即可求解;(2)用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3,代入斜率公式即可求解.【详解】(1)设P x ,y ,因为OP =2AO ,所以x ,y =2-x 1,-y 1 解得x =-2x 1y =-2y 1 ,又因为BP =2CP ,所以-2x 1-x 2,-2y 1-y 2 =2-2x 1-x 3,-2y 1-y 3 解得x 3=-x 1+12x 2y 3=-y 1+12y 2,因为点C 在椭圆上,所以-x 1+12x 2 22+-y 1+12y 2 2=1⇒x 212+y 21+14x 222+y 22-12x 1x 2-y 1y 2=1,即x 1x 2+2y 1y 2=12.(2)设直线AC 与OB 斜率分别为k AC ,k OB ,k AC k OB =y 3-y 1x 3-x 1×y 2x 2=-y 1+12y 2-y 1-x 1+12x 2-x 1×y 2x 2=-2y 1y 2+12y 22-2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-12+121-12x 22 -2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-14x 22-2x 1x 2+12x 22=-12是定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ,过焦点F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程;(2)若点P 4,4 ,直线PA ,PB 分别交准线l 于M ,N 两点,证明:以线段MN 为直径的圆过定点.【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析【分析】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ,联立抛物线方程,由根与系数的关系及抛物线的定义,根据AB =AF ⋅BF 建立方程求出p 得解;(2)由直线方程求出M ,N 的坐标,计算y M ⋅y N =-4,设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上任意一点,根据MQ ⋅NQ=0化简0=x +1 2+y -y M y -y N ,根据对称性令y =0可得解.【详解】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则联立y 2=2pxx =my +p 2得y 2-2pmy -p 2=0,所以Δ=4p 2m 2+4p 2>0y 1+y 2=2pm y 1y 2=-p 2,所以x 1+x 2=2m 2+1 px 1x 2=p 24,又AF =x 1+p 2,BF =x 2+p2,所以AB =AF +BF =x 1+x 2+p 由AB =AF ⋅BF 得x 1+x 2+p =x 1+p 2 x 2+p2 ,即x 1+x 2+p =x 1x 2+p 2x 1+x 2 +p 24所以2m 2+1 p +p =p 22m 2+1 p +p 22,化简得m 2+1 p p -2 =0,又p >0,所以p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由(1)知AB :x =my +1m ∈R ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,易得x 1+x 2=4m 2+2,x 1x 2=1,由题意知AP :y -4=y 1-4x 1-4x -4 ,BP :y -4=y 2-4x 2-4x -4 ,所以令x =-1得y M =-5y 1-4 my 1-3+4,y N =-5y 2-4my 2-3+4,即M -1,-5y 1-4 x 1-4+4,N -1,-5y 2-4 x 2-4+4,所以y M ⋅y N =-5y 1-4my 1-3+4-5y 2-4 my 2-3+4=4m -5 y 1+8 4m -5 y 2+8my 1-3 my 2-3=4m -52y 1y 2+84m -5 y 1+y 2 +64m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-44m -5 2+32m 4m -5 +64-4m 2-12m 2+9=64m 2-36-16m 2+9=-4设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上得任意一点,则有MQ ⋅NQ=0,即0=x +1 2+y -y M y -y N ,由对称性令y =0得0=x +1 2+y M y N =x +1 2-4,所以x =1或x =-3所以以线段MN 为直径的圆经过定点,定点坐标为-3,0 与1,0 .【点睛】关键点点睛:求出M ,N 的点的坐标,计算出y M ⋅y N 为定值-4,是解题的关键之一,其次写出以MN 为直径的圆的方程,根据圆的方程0=x +1 2+y -y M y -y N ,由对称性,令y =0求定点是解题的关键.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为23,且经过点P -3,12 .(1)求椭圆E 的标准方程:(2)过椭圆E 的左焦点F 1作直线l 与椭圆E 相交于A ,B 两点(点A 在x 轴上方),过点A ,B 分别作椭圆的切线,两切线交于点M ,求AB MF 1的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)2【分析】(1)由待定系数法求解析式;(2)设出直线方程,由韦达定理法及导数法求得两切线方程,即可联立两切线方程解得交点M ,再由弦长公式及两点距离公式表示出AB MF 1,进而讨论最值.【详解】(1)由题意得2c =233a 2+14b 2=1a 2=b 2+c2 ,所以a =2b =1 ,即椭圆方程为x24+y 2=1;(2)当直线l 斜率为0时,A ,B 分别为椭圆的左右顶点,此时切线平行无交点.故设直线l :x =ty -3,由x 24+y 2=1x =ty -3,得t 2+4 y 2-23ty -1=0.Δ=16t 2+16>0,y 1+y 2=23t t 2+4,y 1y 2=-1t 2+4.AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 22-4y 1y 2=1+t212t 2t 2+42+4t 2+4=4t 2+1t 2+4不妨设A x 1,y 1 在x 轴上方,则B x 2,y 2 在x 轴下方.椭圆在x 轴上方对应方程为y =1-x 24,y =-x41-x 24,则A 处切线斜率为-x 141-x 214=-x 14y 1,得切线方程为y -y 1=-x 14y 1x -x 1 ,整理得x 1x4+y 1y =1.同理可得B 处的切线方程为x 2x4+y 2y =1.由x 1x 4+y 1y =1①x 2x 4+y 2y =1②得x M =4y 2-y 1 x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ty 1-3 y 2-ty 2-3 y 1=4y 2-y 1 3y 1-y 2 =-433,代入①得y M =1+33x 1y 1=1+33ty 1-3 y 1=3t 3,所以M -433,3t 3.因为MF 1 =-433+3 2+t 23=1+t 23,所以AB MF 1 =4t 2+1t 2+41+t 23=43t 2+1t 2+4设m =t 2+1≥1,则t 2=m 2-1,则AB MF 1=43m m 2+3=43m +3m≤4323=2,当且仅当m 2=3,即t =±2时,ABMF 1的最大值是2.另解:当直线l 的斜率存在时,设l :y =k x +3 ,由x 24+y 2=1y =k x +3得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0,所以Δ=k 2+1>0,x 1+x 2=-83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2,AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅64×3k 21+4k 22-412k 2-41+4k 2=41+k 21+4k 2椭圆在x轴上方的部分方程为y=1-x24,y'=-x41-x24,则过A x1,y1y1>0的切线方程为y-y1=-x14y1x-x1,即x1x4+y1y=x214+y21=1,同理可得过B x2,y2y2<0的切线方程为x2x4+y2y=1.由x1x4+y1y=1x2x4+y2y=1得x M=4y2-y1x1y2-x2y1=4y2-y1y1k-3y2-y2k-3y1=4y2-y13y1-y2=-433设M-43 3,t,则-3x13+ty1=1-3x23+ty2=1 ,所以直线l的方程为-33x+ty=1,所以t=33k.MF1=-433+32+t2=1+k23k2,AB MF1=41+k21+4k2⋅3k21+k2=43k21+k21+4k22令n=1+4k2≥1,则k2=n-14,所以ABMF1=3-3⋅1n2+2⋅1n+1,当1n=-22×-3⇒n=3时,即k=±22时,ABMF1取得最大值,为2.【点睛】直线与圆锥曲线问题,一般设出直线,联立直线与圆锥曲线方程,结合韦达定理表示出所求的内容,进而进行进一步讨论.15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,C的长轴长为42,直线l:y=kx+m与C交于A,B两点,直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证:k为定值;(2)若直线l与x轴交于点Q,求QA|2+QB|2的值.【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】(1)根据题意求出椭圆方程为:x28+y22=1,将椭圆,及相关直线、点进行平移,将y1x1,y2x2看作方程8n-4X2+8t-4nX-4t+1=0的两不等实根,进而可得n=-2t,代入直线方程化简即可;(2)联立直线与椭圆方程,结合韦达定理得y3+y4=m,y3y4=m2-22,化简QA|2+QB|2=5y3+y42-2y3y4,代入韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知2a=424a2+1b2=1⇒a=22b=2,∴椭圆方程为:x28+y22=1.将椭圆平移至(x +2)28+(y -1)22=1即x 2+4y 2+4x -8y =0,此时P 点平移至P 0,0 ,A ,B 分别平移至A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,设直线A B 方程为tx +ny =1代入椭圆⇒x 2+4y 2+4x -8y tx +ny =0,整理得8n -4 y 2+8t -4n xy -4t +1 x 2=0,两边同除以x 2⇒8n -4 ⋅y x2+8t -4n ⋅y x-4t +1 =0,∴k PA ⋅k PB=k PA ⋅k PB =14⇒y 1x 1⋅y 2x 2=14令y x =X ,则y 1x 1,y 2x 2可看作关于X 的一元二次方程,8n -4 X 2+8t -4n X -4t +1 =0的两不等实根,∴y 1x 1⋅y 2x 2=X 1X 2=-4t +1 8n -4=14,∴4t =-2n ,即n =-2t ,∴直线A B 方程为tx -2ty =1t ≠0 ,∴y =12x -12t,∴A B 的斜率为定值12,即k 的定值12.(2)设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ,y =12x +m x 2+4y 2=8⇒8y 2-8my +4m 2-8=0,即2y 2-2my +m 2-2=0,Δ>0,故y 3+y 4=m ,y 3y 4=m 2-22,∴QA |2+ QB 2=1+4⋅y 3 2+1+4⋅y 4 2=5y 23+y 24 =5y 3+y 4 2-2y 3y 4=5m 2-2×m 2-22=10,∴QA |2+ QB |2=1016.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y 2=a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点F .(1)求抛物线与椭圆的标准方程;(2)设过F 的直线l 交抛物线于A 、B ,交椭圆于C 、D ,且A 在B 左侧,C 在D 左侧,A 在C 左侧.设a =AC ,b =μCD ,c =DB .①当μ=2时,是否存在直线l ,使得a ,b ,c 成等差数列?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由;②若存在直线l ,使得a ,b ,c 成等差数列,求μ的范围.【答案】(1)抛物线的标准方程是y 2=12x ,椭圆的标准方程为x 212+y 23=1(2)①不存在,理由见解析;②μ∈43-12,+∞【分析】(1)根据相同焦点得到a 24=32a ,解得a =23,得到答案.(2)设l :x =my +3和各点坐标,联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系,计算AB =12m 2+1 ,CD =43m 2+1m 2+4,根据等差数列的性质得到方程,方程无解得到答案;整理得到m 2=3+23μ-123>0,解不等式即可.【详解】(1)抛物线的焦点F a 24,0 ,椭圆的焦点F c ,0 ,由于e =c a =32,即F 32a ,0 ,则有a 24=32a ,因此a =23,c =3,b =a 2-c 2=3,故椭圆的标准方程为x 212+y 23=1,抛物线的标准方程是y 2=12x .(2)①设l :x =my +3,m ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,将直线与抛物线联立,则有y 2=12xx =my +3 ,y 2-12my -36=0,Δ=144m 2+36×4>0,则y 1+y 2=12m y 1y 2=-36,于是x 1x 2=my 1+3 my 2+3 =m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9,将直线与椭圆联立,则有x 2+4y 2-12=0x =my +3,得到二次方程m 2+4 y 2+6my -3=0,Δ>0,则有y 3+y 4=-6m m 2+4y 3y 4=-3m 2+4,则AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1+y 22-4y 1y 2=12m 2+1 ,CD =x 3-x 42+y 3-y 4 2=1+m 2⋅y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+m236m 2m 2+4 2+12m 2+48m 2+42=43m 2+1 m 2+4,AC +DB =AB -CD =12m 2+1 -43m 2+1m 2+4,假设存在直线l ,使得a ,b ,c 成等差数列,即AC +DB =4CD 即有12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2×2×43m 2+1m 2+4,整理得到12m 2=203-48,方程无解,因此不存在l 满足题设.②只需使得方程12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2μ×43m 2+1m 2+4有解即可.整理得到m 2=3+23μ-123,故m 2=3+23μ-123>0,解得μ∈43-12,+∞【点睛】关键点睛:本题考查了抛物线和椭圆的标准方程,等差数列性质,直线和抛物线,椭圆的位置关系,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中,利用韦达定理得到根与系数的关系,根据设而不求的思想,可以简化运算,是解题的关键,需要熟练掌握.17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点F 和抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合,且C 1和C 2的一个公共点是23,263.(1)求C 1和C 2的方程;(2)过点F 作直线l 分别交椭圆于A ,B ,交抛物线C 2于P ,Q ,是否存在常数λ,使1AB -λPQ为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1, y 2=4x (2)存在,λ=13【分析】(1)先求出抛物线的方程,进而求出焦点,再根据椭圆的右焦点与其重合,列出方程组求解即可;(2)利用弦长公式分别表示出AB ,PQ ,然后代入1AB -λPQ ,可求出使1AB -λPQ为定值的常数λ.【详解】(1)解:由题意知2632=2p ⋅23⇒p =2,∴y 2=4x ,抛物线焦点1,0 ,∴c =149a 2+83b 2=1a 2=b 2+c2 ⇒a =2b =3 ⇒C 1方程:x 24+y 23=1,C 2方程:y 2=4x .(2)解:方法一:假设存在这样的l ,设直线l 的方程为:x =my +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x =my +13x 2+4y 2=12⇒3m 2y 2+2my +1 +4y 2=12,3m 2+4 y 2+6my -9=0.Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 ,∴AB =1+m 2⋅y 1-y 2 =1+m 2⋅144m 2+1 3m 2+4=12m 2+13m 2+4.设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,x =my +1y 2=4x⇒y 2=4my +4,y 2-4my -4=0,Δ=16m 2+16,∴PQ =1+m 2⋅y 3-y 4=1+m 2⋅16m 2+16=4m 2+1 ,∴1AB -λPQ =3m 2+412m 2+1 -λ4m 2+1 =3m 2+4-3λ12m 2+1 为定值.∴312=4-3λ12⇒λ=13,∴存在常数λ=13使1AB -λPQ为定值14.方法二:1AB -λPQ =1-14cos 2θ3-λ1-cos 2θ4对比cos 2θ前系数λ=13.方法三:设l 倾斜角为θ,∴AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2×2×34-cos 2θ=124-cos 2θ,PQ =2p sin 2θ=4sin 2θ,∴1AB -λPQ =4-cos 2θ12-λsin 2θ4=4-3λsin 2θ-cos 2θ12为定值,∴3λ=1,λ=13,此时定值为14.18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图,已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别为A ,B ,点C 是椭圆上异于A ,B 的动点,过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ,N ,AC 的中点为点D ,直线OD 与椭圆交于点P ,Q ,点P ,C ,M 在x 轴的上方.(1)当AC =5时,求cos ∠POM ;(2)求PQ ⋅MN 的最大值.【答案】(1)-35(2)10【分析】(1)根据题意求出k AC ⋅k OD =-14,根据AC =5分析出点C 满足的方程,求出点C 坐标,进而求出cos ∠POM ;(2)利用弦长公式求出PQ 和MN ,再利用基本不等式求出最值.【详解】(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0 ,则D x 0-22,y 02,则k AC ⋅k OD =y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14.因为AC =5,所以C 在圆(x +2)2+y 2=5上,又C 在椭圆x 24+y 2=1上,所以C x 0,y 0 满足(x +2)2+y 2=5x 24+y 2=1,所以(x +2)2+1-x 24=5,34x 2+4x =0,所以x 0=0或x 0=-163<-2(舍去),又C 在x 轴上方,所以C 0,1 ,所以直线AC 的斜率为12,故直线OD 的斜率为-12,所以直线AC 与直线OD 关于y 轴对称.设直线AC 的倾斜角θ,cos ∠POM =cos2π2-θ=-cos2θ=sin 2θ-cos 2θ=sin 2θ-cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-1tan 2θ+1=-35(2)当直线MN 斜率为k ,k >0,则直线MN :y =kx ,直线PQ :y =-14k x ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足y =kxx 24+y 2=1,所以4k 2+1 x 2=4,x 2=44k 2+1,所以MN 2=1+k 2 164k 2+1,同理PQ 2=1+116k 2 114k 2+1=416k 2+1 4k 2+1,所以MN 2⋅PQ 2=164k 2+4 16k 2+1 4k 2+1 2≤164k 2+4+16k 2+12 24k 2+1 2=420k 2+5 24k 2+12=100所以MN ⋅PQ ≤10,当且仅当4k 2+4=16k 2+1,即k ≤12时取“=”,所以PQ ⋅MN 的最大值为10.【点睛】方法点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点为F 3,0 ,F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程;(2)过F 的直线交曲线C 于A ,B 两点(其中A 在第一象限),交直线x =53于点M ,(i )求|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |的值;(ii )过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ,Q ,证明:MP =PQ .【答案】(1)x 25-y 24=1(2)(i )1;(ii )证明见解析【分析】(1)结合点F 到其中一条渐近线的距离为2和a 2+b 2=c 2,即可求得本题答案;(2)(i )设AB 直线方程为x =my +3,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,得y M =-43m,直线方程与双曲线方程联立消x ,然后由韦达定理得y 1+y 2=-24m 4m 2-5,y 1y 2=164m 2-5,把|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |逐步化简,即可求得本题答案;(ii )把QM 和OB 的直线方程分别求出,联立可得到点P 的坐标,由此即可得到本题答案.【详解】(1)因为双曲线其中一条渐近线方程为bx +ay =0,又点F 3,0 到它的距离为2,所以3b b 2+a2=3bc =2,又c =3,得b =2,又因为a 2+b 2=c 2,所以a 2=5,所以双曲线C 的方程为x 25-y 24=1.(2)(2)设AB 直线方程为x =my +3,则y M =-43m,代入双曲线方程整理得:4m 2-5 y 2+24my +16=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-24m 4m 2-5,y 1y 2=164m 2-5,(i )|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=y 1 ⋅y 2-y M y M -y 1 ⋅y 2 =y 1y 2-y 1y My 2y M -y 2y 1 而y 1y 2-y 1y M -y 2y M -y 2y 1 =2y 1y 2-y M y 1+y 2 =324m 2-5--24m 4m 2-5⋅-43m =0,所以y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1,,则y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1 ,所以|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=1 ;(ii )过M 平行于OA 的直线方程为y +43m =y 1my 1+3x -53,直线OB 方程为y =y 2my 2+3x 与y +43m =y 1my 1+3x -53联立,得y +43m =y 1my 1+3my 2+3y 2y -53,即y 2my 1+3 y +43m my 1+3 y 2=y 1my 2+3 y -53y 1y 2,则3y 2-y 1 y =-3y 1y 2-4my 2,所以y P =-3y 1y 2-4my 23y 2-y 1 ,由y 1+y 2=-24m 4m 2-5,y 1y 2=164m 2-5两式相除得,y 1y 2y 1+y 2=2-3m ,则y 1y 2=-23m y 1+y 2 ,所以y P =-3y 1y 2-4m y 23y 2-y 1 =2m y 1+y 2 -4m y 23y 2-y 1 =2m y 1-y 2 3y 2-y 1 =-23m ,因为y Q =0,所以y P =y M +y Q2,故P 为线段MQ 的中点,所以|MP |=|PQ |.【点睛】关键点点睛:本题第二小题第一问考了|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |如何用y 1,y 2,y M 表示出来,进而利用韦达定理进行化简求值,考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点,求PO ⋅PB的取值范围;(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点,试问:是否存在满足条件的直线l ,使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由.【答案】(1)23,6(2)y =54x -355或y =-54x +355【分析】(1)设点P (x 0,y 0),将PO ⋅PB转化为坐标表示,求取值范围;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,设MN 中点为D ,若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形,则BM ⊥BN ,BD ⊥MN ,解出直线方程.【详解】(1)设点P (x 0,y 0),则x 204+y 20=1,PO ⋅PB =(-x 0,-y 0)⋅(1-x 0,-y 0)=x 0(x 0-1)+y 20=34x 0-23 2+23,因为-2≤x 0≤2,所以当x 0=-2时,PO ⋅PB max =34×-2-23 2+23=6,当x 0=23时,PO ⋅PB min =34×23-23 2+23=23,所以PO ⋅PB ∈23,6 .(2)设直线l :y =kx +m (k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),y =kx +mx 24+y 2=1,消去y 得,(4k 2+1)x 2+8km x +4m 2-4=0,由题,Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =2m 4k 2+1,y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=m 2-4k 24k 2+1,若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形,则BM ⊥BN , BM ⋅BN=(x 1-1,y 1)⋅(x 2-1,y 2)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=8km +5m 2-34k 2+1=0,所以8km +5m 2-3=0,①设MN 中点为D ,则D -4km 4k 2+1,m4k 2+1,因为BD ⊥MN ,。
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
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1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB的交点为Q 。
(1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ (1)动点N 的轨迹方程;(2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图,椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .(Ⅰ)求W 的方程;(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围;(Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。
6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程; (2)若2·1cos PM PN MPN-∠=,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3MON π∠=,双曲线的焦距为4。
圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)
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.xy1A 2ATG PMON 圆锥曲线1.设椭圆222:12x y M a +=()2a >的右焦点为1F ,直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ,若112OF F A =(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M 的方程;(2)设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径(E 、F 为直径的两个端点),求PF PE ⋅的最大值.2 . 已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()13,0F -,而且过点13,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明:线段OT 的长为定值,并求出该定值.3、已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切; (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.4设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点,满足0),(),(2211=⋅a y b x a y b x ,椭圆的离心率,23=e 短轴长为2,0为坐标原点.(1)求椭圆的方程; (2)若直线AB 过椭圆的焦点F (0,c ),(c 为半焦距),求直线AB 的斜率k 的值;(3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.xy O PF QA B5 、直线l:y = mx + 1,双曲线C:3x2- y2 = 1,问是否存在m的值,使l与C相交于A , B两点,且以AB为直径的圆过原点6 已知双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,7)在曲线C上。
圆锥曲线专题40大题练习(含答案)
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圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C:「-仁=1的离心率为心,点(V3,o)是双曲线的一个顶点.a-b'(1)求双曲线的方程;(2)经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/,直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆、+与=1(。
〉力〉0)的离心率为一,过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时,AB+CD=7.(1)求椭圆的方程;(2)求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C:「+「=1(。
〉力〉0)的一个焦点为尸(1,0),离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点,过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C:「+七=1(0〉力〉0)的右焦点为『(L°),短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.(1)求椭圆。
的方程;(2)过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在,求出直线/的方程;若不存在,说明理由..2,25.已知椭圆C:=■+%■=1(a>b>0)过点p(—1,—1)-c为椭圆的半焦距,且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线L的斜率为一1,求APMN的面积;第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上,求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程;(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点,线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时,求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。
完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)
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完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上,焦距为 4,则 $m$ 等于()A。
4B。
5C。
7D。
82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$,则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$,$N$ 两点,$O$ 为坐标原点,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。
若 $OM\perp ON$,则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点,点 $P$ 是该椭圆上的一个动点,则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点,$M$,则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点,的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上,且 $P$ 到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中,$D\in AB$,$E\in AC$,$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$,则以 $B$,$C$ 为焦点,且过 $D$,$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$,$b$ 的等差中项是 $5$,一个等比中项是 $25$,且 $a>b$,则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$,$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点,椭圆 $C$ 上异于$A_1$,$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$,则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上,点 $B$ 也在椭圆上。