2010考试题A

一、设f 是凸集n R S ⊆上的严格凸函数，则问题)(min x f S

x ∈的局部最优解必定是其唯一全局最优解。证明：若f 连续可微，则S x ∈是上述问题最优解的充分必要条件是

0)()( ,>-∇∈∀x x x f S x T （10分）

二、已知线性规划问题

)4,3,2,1( 0 3

4 22 2

4 2 s.t. 1216812min 4213214

321=≥≥++≥+++++=j x x x x x x x x x x x Z j

的对偶最优解为2 ,421==y y 。用对偶问题的性质求其最优解，并说明原问题是具有唯一解还是无穷多解。（本题共10分）

三、求解约束优化问题

012 0

)2( s.t. )4()(min 212122

221=--≥---+=x x x x x x f x

（1）

用约束最优化问题的一阶必要条件求出该问题的KKT 点。 （2）

验证所求的KKT 点是否满足严格局部极小点的二阶充分条件。 （3）

判断所求的KKT 点是否为全局最优解。（本题共20 分）

四、用拟牛顿法中的DFP 算法求解下列无约束优化问题

212221)1()( min x x x x f +++=x

取初始迭代点T )1()0 ,0(=x ，初始矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=10011H 。第1步迭代得到T )2()1,0(-=x 。（1）给出第2步的迭代过程及得到的迭代点)3(x ；

（2）不使用梯度和Hesse 矩阵信息，能否判断点)3(x 是否为最优解。 （DFP 校正公式为)(T )(T )()()(T )(T )()(1k k k k k k k k k k k k k q H q H q q H q p p p

H H -+=+）（本题共15分）

五、用Lagrange 法求解下列二次规划问题（10分）

22121212

12min

22643s.t. 326x x x x x x x x +---+=

六、用乘子罚函数法求解下列问题：

221212

12 min 2s.t. ()20x x x x h x x +-=+-=x

若采用数值计算方法，设前后两次迭代点的梯度摸长之比的上限为常数a =0.5，请迭代2步；若采用解析方法，请给出最优解和最优乘子。（10分）

七、已知整数规划

为整数

0, 70

207 56

79 s.t. 9040max 2121212

1≥≤+≤++x x x x x x x x

有最优解。易见T x )1,1(=为其可行解。用单纯形法求其松弛问题的最优解，得到最优单纯形表如下（43,x x 为将不等式约束变为等式约束所引入的松弛

21（1）若用分枝定界法求解该问题，写出根据1x 所构造的分枝子问题，并判明原问题最优解包含在哪个子问题中。(可用图解法求解)

（2）若用割平面法求解该问题，写出针对2x 的源约束方程和割平面方程。（本题共15分）

八、设有多目标规划问题

可行域）(..)](),(max(:121R E x x t s x f x f VP T ⎭

⎬⎫∈≤≤-ππ 其中，x x f cos )(1=，x x f sin )(2=

（1）在一个坐标平面上画出)(1x f 和)(2x f 的图像。

（2）根据（1）中坐标图，求：

（i ）单目标规划)2,1}(|)(min{=∈i R x x f i 最优解集*1R ，*

2R ；

（ii ）绝对最优解集*ab R ；

（iii ）有效解集*pa R ；

（iv ）弱有效解集*

wp R 。

（3）求像集F(R)并用图形表示；

（4）根据（3）中F(R) 图形，求（2）中各解集在像空间上分别对应的点

集：

*1E ,*2E ,*ab E （绝对最优点集）, *pa E （有效点集）, *wp E （弱有效点集）。（本题共10分）