理论分布 PPT

第五章 理论分布
为了便于读者理解统计分析的基本原理， 正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方 法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念— —事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研 究中常用的几种随机变量的概率分布——正态 分布、二项分布、及样本平均数的抽样分布和 t 分布。
一、事 件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
例如:为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上 这个事件的概率 ，历史上有人作过成千上万次 抛掷硬币的试验。在下表中列出了他们的试验 记录。
表 抛掷一枚硬币发生正面朝上的 试验记录
从上表中可看出，随着实验次数的增多， 正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接 近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。
二项分布必须满足两个基本假定： 1、各事件是相互独立的，即任何一个事件发生 与否，不影响其它事件发生的概率； 2、各个随机事件只能发生非此即彼的对立事件。 形状： (1)、当p=0.5，即p=q时，二项分布为对称分布， (2)、当p>0.5，即q<0.5时，二项分布为偏右， (3)、当p<0.5，即q>0.5时，二项分布为偏左。
P（ф）=0。
三、概率的基本运算
（一）事件间的相互关系
1、和事件：事件A与事件B至少有一个发生
2、积事件：事件A与事件B同时发生
3、互斥事件：事件A与事件B不能同时发生
4、对立事件：事件A与事件B必发生其一，但 不能同时发生
5、独立事件：事件A的发生与否，与事件B的 概率毫无关系；反之事件B的发生与否，与事 件A的概率也毫无关系。
（二）随机试验与随机事件
1、随机试验:通常我们把根据某一 研究目的，在一定条件下对自然现象所 进行的观察或试验统称为试验（trial）。 而一个试验如果满足下述三个特性，则 称其为一个随机试验（random trial）， 简称试验：
（1）试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个 ，并且 事先知道会有哪些可能的结果；
一类是可预言其结果的，即在保持条件不 变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称 为必然现象（inevitable phenomena）或确定性 现象（definite phenomena）。
另一类是事前不可预言其结果的，即在保 持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果 未必相同。这类在个别试验中其结果呈现偶然 性、不确定性现象，称为随机现象（random phenomena ）或不确定性现象（indefinite phenomena）。
第三节 正态分布
一、正态分布方程及特性
（一）正态分布方程 正态分布是连续型随机变量的理论分布
客观世界确有许多现象的数据是服从正态分布。 其次在适当条件下，它可用做二项分布离散型 或连续型的近似分布，因此常常应用正态分布 代替其他分布来计算概率和进行假设测验。 虽有些总体不作正态分布，但从总体中随机抽 出的样本平均数及其他一些统计数的分布在 n→∞仍然趋近于正态分布
在一般情况下，随机事件的概率p是不可能 准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事 件A的频率作为该随机事件概率的近似值。 即 P（A）=p≈a/n （n充分大）
（二）概率的古典定义
对于某些随机事件，用不着进行多次重复试 验来确定其概率，而是根据随机事件本身的特 性直接计算其概率。
有很多随机试验具有以下特征：
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
（2）必然事件 我们把在一定条件下必然会发生的事件称为 必然事件（certain event），用Ω表示。 例如，在标准大气压下，水加热到100℃必 然会沸腾，就是一个必然事件。
（3）不可能事件 我们把在一定条件下不可能发生的事件称为 不可能事件（impossible event），用ф表示。 例如，在标准大气压下，水温度低于100 ℃ 就不可能会沸腾。
3、正态分布曲线与横轴间的总面积为1
µ±1δ
68.24%
µ±2δ
95.46%
µ±3δ
99.73%
µ±1.96δ
95%
µ±2.58δ
99%
二、正态分布标准化
由上述正态分布的特征可知，正态分布是依赖 于参数μ和σ2(或σ)的一簇分布， 正态曲线之位置及 形态随μ和σ2的不同而不同。这就给研究具体的正 态总体带来困难， 需将一般的N(μ，σ2)转换为 μ=0,σ2=1的正态分布。我们称μ=0，σ2=1的正态分 布为标准正态分布(standard normal distribution)。 从标准正态分布累积函数的数值表中查出(附表 2) 标准化正态分布是µ=0，δ2=1的正态分布由于不同 的正态总体存在不同的µ和δ2，所以N（µ,δ2）不是 一条曲线，而是一个曲线系统这给研究具体正态 总体带来许多困难，需要将一般正态分布标准化，
例如，在编号为1、2、3、…、10 的十个球 中随机抽取1个，有10种不同的可能结果：
“ 取得一个编号是1” 、“ 取得一个编号是 2”、…、“取得一个编号是10”，这10个事件都 是不可能再分的事件，它们都是基本事件。
由若干个基本事件组合而成的事件称为复合 事件 （compound event）。如“取得一个编号 是2的倍数”是一个复合事件，它由“取得一个 编号是2 ”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5 个基本事件组合而成。
1、试验的所有可能结果只有有限个，即样 本空间中的基本事件只有有限个；
2、各个试验的可能结果出现的可能性相等， 即所有基本事件的发生是等可能的；
3、试验的所有可能结果两两互不相容。
（三）概率的性质 1、对于任何事件A，有
0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即
P（Ω）=1； 3、不可能事件的概率为0，即
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中 的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试 验会出现哪一个结果。
例如：在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋， 观察其出雏情况，它们都具有随机试验的三个 特征，因此都是随机试验。
2、随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下 可能发生，也可能不发生，称为随机事件 （random event），简称事件（event），通常用 A、B、C等来表示。 （1）基本事件 我们把不能再分的事件称为基本事件 （elementary event），也称为样本点（sample point）。
=0.97500－0.02500
=0.9500
u x
例：已知菜豆角长度服从正态分布N（9.978，1.4412） 问(1)角长小于6.536㎝；(2)大于12.128㎝；(3)介于8.537㎝ 和9.978㎝之间概率
随机现象或不确定性现象，有如下特点：
在一定的条件实现时，有多种可能的结果 发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对 一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现 偶然性、不确定性；
但在相同条件下进行大量重复试验时，其 试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性— —频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
P(A＋B)=P(A)＋(B)=1计算两次都是币值的一面 向上的概率。
P(A·B)=P(A)·P(B)= 1/2×1/2=1/4
三、小概率事件实际不可能性原理
随机事件的概率表示了随机事件在 一次试验中出现的可能性大小。若随 机事件的概率很小，例如小于0.05、 0.01、0.001，称之为小概率事件。
f(0)=1/2 f(1)=1/2
若两枚X=0、1、2，如q为反面1/2，p为正 面1/2
（p＋q）2二项式展开得:
(p＋q)2 f(0)=q2=(½ )2=¼
f(1)=2pq=2(½ )(½ )=½ f(2)=p2=(½ )2=¼ 若掷n枚于地面x=0、1、2、3、……n， (p＋q)n二项式展开计算各个随机变量的 概率函数
fN(x) 1 e-12(x-)2
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(二)正态分布曲线的特征
1、正态分布曲线是中间高、两边低，而且 对称的光滑曲线，曲线最高峰在平均数处， 越是接近平均数的组变量分布的次数越多、 离平均数越远，分布的次数越少。
2、正态分布曲线因总体平均数和标准差的 不同呈现为不同的曲线，所以它不是一条 曲线，而是一个曲线系统，不同的总体都 有它自己的曲线。
(二)计算概率的基本定理
定理I：P(A)=1－P(A)
对立事件
定理II:P(A＋B)=P(A)＋P(B) 互斥事件
定理III:P(A·B)=P(A)·P(B) 独立事件
例5.1一批种子发芽的概率为0.95，不发芽的概 率为0.05
例5.2某农场一批杂交水稻种子进行品质分级， 其中一级种子占15%二级种子占30%其余为三级。 计算二级以上种子的概率
概率的统计定义 在相同条件下进行n次 重复试验，如果随机事件A发生的次数为a， 那么a/n称为随机事件A的频率（frequency）； 当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频 率越来越稳定地接近某一数值 p ，那么就把p 称为随机事件A的概率。
这样定义的概率称为统计概率（statistics probability）。
f(x)=Cnxpxqn-x——贝努里公式
Cnm
Anm Amm
n! m!(nm)!
例一批种子发芽率为70%，每穴播种6粒种子计 算每穴出6棵苗、5、4、3、2、1、0棵苗的概率 各为多少？
解：设x表示每穴出苗数 P(x=6)=C660.76 × 0.30=0.117 649 P(x=5)=C650.75 × 0.31=0.302 526 P(x=4)=C640.74 × 0.32=0.324 135 P(x=3)=C630.73 × 0.33=0.185 220 P(x=2)=C620.72 × 0.34=0.059 535 P(x=1)=C610.71 × 0.35=0.010 206 P(x=0)=C600.70 × 0.36=0.000 729