2015届成都市第一次诊断适应性考试

2015届成都市第一次诊断适应性考试
数 学（理）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设集合}021|
{≤-+=x x x M ，}2
1
2|{>=x x N ，则M N =（ ） A 、),1(+∞- B 、)2,1[- C 、)2,1(- D 、]2,1[- 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．
B 、“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.
C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.
D 、命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”．
3、方程()()2
ln 10,0x x x
+-=>的根存在的大致区间是（ ）
A 、()0,1
B 、()1,2
C 、()2,e
D 、()3,4
4、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 、5 B 、7 C 、9 D 、11
5、设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B 、若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C 、若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D 、若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
6、二项式102)2
(x
x +展开式中的常数项是（ ）
A 、180
B 、90
C 、45
D 、360 7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
0||||
a b a b +=成立的是（ ） A 、2a b = B 、//a b C 、1
3
a b =- D 、a b ⊥
8、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则
OA OM +的取值范围是（ ）
A 、[]51，
B 、[]52，
C 、[]21，
D 、[]
50， 9、已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ）
A 、54
B 、53
C 、43
D 、5
5
10、已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当
]3,
0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)
()(2
121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线
6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ） A ．１ B ．２ C ．３ D ．４ 二、填空题：(本大题共
5小题，每小题5分，共25分.)
11、若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 ； 12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ；
13、各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。

14、若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点 N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ； 15、给出下列命题：①函数y=cos （2x ﹣
）图象的一条对称轴是x=
；②在同一坐标系中，
函数y=sinx 与y=lgx 的交点个数为3个；③将函数y=sin （2x+）的图象向右平移
个单位
长度可得到函数y=sin2x 的图象；④存在实数x ，使得等式sinx+cosx=成立；
其中正确的命题为 ；（写出所有正确命题的序号）． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数)2
,0()sin()(π
ϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，
x
1x 3
1 2x
37 3x
ϕω+x
2π
π
23π π2
)sin(ϕω+x A
0 3
3-
（1123式；
（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移2
3
个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低
点（如图），求OQP ∠的大小.
211
O
D
C
B A
D 1C 1
B 1A 1
17、（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信
日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选
择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的概率；
(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望. 18、（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面
ABCD
，11D A D D =面ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===， O 为AD 中点.
(1)求证：1
//AO 平面1ABC ； (2)求锐二面角C D C A --11的余弦值．
19、（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n n n a a S +=. （1）求1a
（2）求数列{}n a 的通项；
（3）若)1
2
*∈=N n a b n
n （,n n b b b T +++=........21，求证：n T ＜35
20、（本题满分13分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，且椭圆的离心率12e =．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,A C 及,B D ，设线段AC ，BD 的中点分别为,P Q ．求证：直线PQ 恒过一个定点． 21、（本题满分14分）
已知函数2()ln f x x x =+.
（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；
（2）在(1)的条件下，且1a >，3()3x x h x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值； （3）设2()2()3F x f x x k =--（k ∈R ），若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方
程，若不能，请说明理由.
2015届成都市第一次诊断适应性考试
数 学（理）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、C ；
2、C ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
6、A ；
7、C ；
8、A ；
9、B ；10、B ； 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11、45
； 12、4
3； 13、180；14、24-；15、①②
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（本小题满分12分）
解：（1）321-=x ，342=x ，3103=x ，()3sin()23
f x x ππ
=+所以…………………6分
（2）将()f x 的图像沿x 轴向右平移2
3
个单位得到函数()2
g x x π=……………7分
因为P 、Q
分别为该图像的最高点和最低点，所以(1(3,P Q ……………8分 所以2,4,OP PQ =
=OQ =……………………………………………10分
222cos 2OQ PQ OP OQ QP θ+-∴=⋅，所以6
πθ=……………………12分 法2：60,60,30=30o o o o POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以 法3
：利用数量积公式cos QP QO QP QO
θ⋅=
=
=
⋅ ，=30o θ所以。

17、(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.
解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为11113313
88228832
P =⋅+⋅+⋅=. …………4分
(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.
111(400)8864P X ==⋅=，12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅=，12118(700)8264
P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅=，1116(1000)2264
P X ==⋅= …………8分 综上可得X
………10分
16982416
4005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
即X 的数学期望为775. …………12分
18、（本小题满分12分）
z
y
x
O D
C B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
O
(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形ABCO 为正方形， 所以11OC AB A B ==，且11////OC AB A B ，
故四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//AO B C ． 又1AO ⊄平面1ABC ，1B C ⊂平面1ABC ， 所以1//AO 平面1ABC
. ……………5分 (2)因为11 , D A D D O =为AD 的中点，所以1
DO AD ⊥， 又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，交线为AD ，故1D O ⊥底面ABCD 。

………6分 以O 为原点，所1 , , OC OD OD 在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的坐标系， 则
()()1,0,0 , 0,1,0 , C D ()()10,0,1 , 0,1,0D A -，
()()11,1,0 , 0,1,1 , DC DD ∴--()()1110,1,1 , 1,1,0D A D C DC --==-，……7分 设(),,m x y z =为平面11CDD C 的一个法向量，由1 , m DC m DD ⊥⊥，得00x y y z -=⎧⎨-+=⎩，
令1z =，则()1, 1 , 1,1,1y x m ==∴= ． ……9分
又设()111,,n x y z =为平面11AC D 的一个法向量，
由111 , n D A n DC ⊥⊥，得1111
0y z x y --=⎧⎨-=⎩，令11z =， 则()111, 1 , 1,1,1y x n =-=-∴=--， …………11分
则1
cos ,3m n <>=
=-，故所求锐二面角C D C A --11的余弦值为13．……12分
注：第2问用几何法做的酌情给分． 19、（本小题满分12分） 解：（1）令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ………2分
(2)又n n n S a a 22=+………①有11212+++=+n n n S a a ………… ②…………………3分 ②-①得n n n S S a -=++11，0)1)((11=--+++n n n n a a a a
001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-= ……………………6分 ∴n n a n =-⨯+=)1(11 …………………………7分
(3)n=1时1b =1＜3
5
符合………………………8分
2≥n 时，因为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<
121121
2144
4
111222
n n n n n
,………………………………10分 所以
3532112112151
3121112
=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k ∴n n b b b T +++=........21＜3
5
…………………………12分
第二问方法不唯一，请酌情给分 20、（本题满分13分）
解：(1)由12c e a ==，得221
4
c a =，即222244()a c a b ==-，即2234a b =． …1分
由椭圆过点2
-知，223314a b +=． ……2分
联立（1）、（2）式解得2
2
4,3a b ==。

故椭圆的方程是22
143
x y +=． ……4分
(2)直线PQ 恒过一个定点4
(,0)7
． ……5分
证明 椭圆的右焦点为(1,0)F ，分两种情况．
1°当直线AC 的斜率不存在时，AC :1x =，则 BD :0y =．由椭圆的通径易得(1,0)P ，
又(0,0)Q ，此时直线PQ 恒过一个定点4
(,0)7
； ……6分
2°当直线AC 的斜率存在时，设AC : (1)(0)y k x k =-≠，则 BD ：1
(1)y x k
=--．
又设点1122(,),(,)A x y C x y ．联立方程组
22
(1),
3412,
y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 所以2122843
k x x k +=+．212122286(2)(2)4343k k y y k x x k k k +=+-=-=-++．22243(,)4343k k
P k k -++．
由题知，直线BD 的斜率为1
k
-，同理可得点22
43(,)4343k Q k k ++． …………8分 2
222223374343444(1)
4343
PQ k k
k k k k k k k k +++==---
++．222374()434(1)43k k y x k k k -=--+-+， ………11分 即24(74)40yk x k y +--=．令40,740,40y x y =-=-=，解得4
,07
x y ==．
故直线PQ 恒过一个定点4(,0)7；综上可知，直线PQ 恒过一个定点4
(,0)7
． …13分
21、（本题满分14分）
解：(1)21
()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x
'=-=+-=+-
由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1
(2)a x x
≤+. …………2分
又1
0,2x x x
>+≥
x =时等号成立.
故min 1
(2)x x
+=
，所以a ≤…………4分
（2
）由（Ⅰ）知，1a <≤令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-
2()333(H t t a t t '=-= …………5分
由()0H t '=
，得t =
或t =（舍去）
，34
(1,2[1,2]a ∈
， ①若1t <≤()0,()H t H t '
<单调递减；()h x
在也单调递减； ②若2t <≤，则()0,()H t H t '>
单调递增. ()h x 在2]也单调递增；
故()h
x 的极小值为2h =-…………8分
(3)法一：设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln F x x x k =--结合题意，
222ln 0;2ln 0m m k n n k --=--=,相减得2l n ()()0
m
m n m n n
-+-=，即
22ln
()m m n m n n m n
-=+⋅+. ……9分 00000
2()20,1(0)F x x x x x =-=∴=>,又022m n x +==,所以2(
1)
2()ln .1m
m m n n m n m n n --=
=++
设(0,1)m u n =∈， 2(1)ln 0((0,1)).
1u u u u --=∈+
…………11分 设2(1)
ln ((0,1))1
u y u u u -=-∈+，22222
12(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)
ln 1
u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，
因此，1|0u y y =<=，即2(1)
ln 0.1u u u --<+也就是，2(1)ln 1m m n
m n n
-<+， ……13分 所以2(1)
2()
ln .1m m m n n m n m n n
--==++无解.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.…14分
法二：分析：即证是否存在02m n
x +=使0'()0F x =，因为0x >时'()y F x =单调递减，且
'(1)0F =，所以即证是否存在02
m n
x +=使01x =。

即证否存在,m n 使2m n =-。

证明：2()2ln F x x x k =--.2(1)(1)
'()22x x F x x x x
--+=-=⨯
'()()x F x F x 、、的变化如下：
即m n << 所以01m n <<< 。

…………10分
构造函数()()(2)G x F x F x =--，其中01x <<
即22()(2ln )[2ln(2)(2)]G x x x x x =-----2ln 2ln(2)44x x x =---+
22'()42G x x x =+--2
(1)40(2)
x x x -=⨯≥-，当且仅当1x =时'()0G x =，
故()y G x =在(0,1)单调增，所以()(1)0G x G <=。

…………12分 所以01x <<时，()(2)F x F x <-。

又01m n <<<，所以()(2)F m F m <-， 所以()()(2)F n F m F m =<-。

…………13分
因为2(1,)n m -∈+∞、
，所以根据()y F x =的单调性知2n m >-，即12
m n
+>。

又2'()2F x x x =-在(0,)+∞单调递减，所以0'()'(
)'(1)02
m n
F x F F +=<=. 即函数()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴。

…………14分。