第一节拉格朗日中值定理

助 函 数 F ( x) ， 正 是 曲线 y f (x) 与直 线 AB y f (a ) f (b) f (a ) ( x a) ba
之 差 ，事 实 上 ，这 个 辅 助 函 数 的 引 入 相 当 于 坐 标 系 统 原 点 在 平 面 内 的 旋 转 ，使 在 新 坐 标 系 下 ， 线 段 AB 平 行于 新 х轴 （F（a）=F（ b） ） 。
F(x) f(x) f(a) f(b) f(a) (x a) b a
显 然 ，F（a）=F(b)（ =0）， 且 F 在 [a，b]上 满足 罗 尔 定理 的 另两 个 条件 ， 故存 在 点
ξ (a，b)， 使 得
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 b a
即
f ( ) f (b) f (a)
第一节拉格朗日中值定理
2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件：
（i）ƒ在闭区间[a,b ]上连续；
（ii）ƒ在开区间(a,b )内可导；
y
则在（a，b）内至少存在一点ξ，
使得
f ( ) f (b) f (a)
ba
（分析）罗尔定理是拉格朗日
A o
中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用
b a
注 1° 罗 尔定 理 是拉 格 朗日 中 值定 理 f (a ) f (b) 时 的 特 例
注 2° 几 何意 义 ：在 满 足拉 格 朗日 中 值定 理 条件 的 曲 线 y f (x) 上 至 少存 在 一点
P( , f ( )) ， 该 曲 线在 该 点处 的 切线 平 行于 曲 线两 端 点的 连线 AB， 我们 在 证明 中 引入 的 辅
注 3° 此 定理 的 证明 提 供了 一 个用 构 造函 数 法证 明 数 学命 题 的精 彩 典范 ； 同时 通 过巧 妙 地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要 而常用的数学思维的体现。
注 4° 拉 格朗 日 中值 定 理的 结 论常 称 为拉 格 朗日 公 式 ，它 有 几种 常 用的 等 价形 式 ，可 根 据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：
证明：
任 取 两 点 x1 , x2 I （ 设 x1 x 2 ） ， 在 区 间 [ x1 , x2 ] 上 应 用 拉 格 朗 日
中 值 定 理 ， 存 在 ξ （ x1 , x2 ） I ， 使 得
f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( )( x 2 x 1 ) 0
推 论 2 函数 f (x ) 和 g (x ) 在 区 间 I 上 可 导且 f (x ) g ( x), f ( x) g (x ) c ,
y f (x) B
1 x
2 b
x
罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 F(x) ，使得F(x) 满足罗尔定理的条件
（i）-(iii) 且F(x) f (x) f (b) f (a) ， ba
F(x) f(x) f(a) f(b) f(a) (x a), x [a, b] b a
证明：作辅助函数
]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在
ξ (xo , x) ，使得
Baidu Nhomakorabea
f (x) f (x ) 0 f ( )
x x0
End
独 立 ， 但文 字 累赘 且 不便 记 忆， 因 此一 般 不这 样 叙述 。 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 3、 拉格 朗 日中 值 定理 的 几个 重 要推 论
推 论 1 函 数 f (x ) 在 区 间 I 上 可 导 且 f (x ) 0, f ( x) 为 I 上 的 常 值 函 数 .
x I.
推论 3（ 导数极限定理）设 函数 f 在点 x0 的某 邻域 U（ x0 ）内 连续，在 U°（ x0 ）内可
导，且极限
lim
x x0
f
(x) 存在，则
f
在点
x0 可导，且
f
( x0 )
lim
x x0
f (x)
证明：分别按左右导数来证明上式成立
（1）
任取
x u0
(x 0
)，
f
(x) 在[ xo , x
可 导 可 以 推 出 f 在 （ a， b） 连 续 ， 但 反 之 不 成 立 。 把 这 两 个 条 件 的 “ 重 叠 ” 部 分 去 掉 ，
改 成 “ 函 数 f (x) 在 （ a， b） 可 导 且 f (x) 在 a 右 连 续 在 b 左 连 续 ” 这 样 ， 两 个 条 件 互 相
f (b) f (a) f ( )(b a), (a,b )
f (b) f ( a) f [ a (b a)]( b a), ( 0,1)
f (a h ) f ( a ) f ( a h ) h , ( 0,1)
注 5° 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 两 个 条 件 彼 此 有 关 ， 并 不 彼 此 独 立 ， 因 为 ： f 在 （ a,b）