拉格朗日中值定理大全
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若)(x f 满足在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ使得()()()'f b f a f b a-=-ξ 几何意义：割线斜率必等于中间某点的切线斜率推论1： 若在区间()b a ,内导函数0)('≡x f ，则在区间()b a ,内)(x f 为一常数推论2： 若在区间()b a ,内函数)(x f ，)(x g 满足)()(''x g x f =，则在区间()b a ,内有c x g x f +=)()(，c 为常数典例剖析例题1证明：y x y x -≤-sin sin例题2 试证明：当[)+∞∈,1x 时，2ln 11ln ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x例题3 已知)0(,21ln )(2>+=a x x a x f ，对于任意两个不等的正数21,x x 都有 2)()(1212>--x x x f x f 恒成立，求a 的取值范围例题4 已知二次函数)(x f 满足：①在1=x 时有极值，②图像过点（0，-3）且在该点处的切线与直线02=+y x 平行（1）求)(x f 的解析式（2）若)(x e f y =上任意两点的连线斜率恒大于a a 1+，求a 的取值范围。
例题5 已知x a xx x f ln 2)(2++=，0>x ，)(x f 的导函数为)('x f ，对于任意两个不等 正数21,x x ，当4≤a 时，证明：212'1')()(x x x f x f ->-例题6 设)(x f 在[]1,0可导，且1)(0<<x f ，又对于()1,0内所有的点x 满足1)('-≠x f ，证明：方程01)(=-+x x f 在()1,0内有唯一实数根。
强化训练1.已知)1(,21)(,ln )(2>-==b bx x x g x x f ，对于区间()2,1内任意两个不等正数21,x x 都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-恒成立，求b 的取值范围2.已知1ln )1()(2+++=ax x a x f（1）讨论)(x f 的单调性（2）设1-<a ，如果对于任意()∞+∈，0,21x x ，都有21214)()(x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，该定理在数学分析领域中具有广泛的应用。
它由法国数学家拉格朗日于18世纪提出，并被证明为一个基本的中间值定理。
拉格朗日中值定理表明，对于一个在闭区间[a, b]上连续的且在开区间(a, b)上可导的函数f(x)，在该区间内存在一个点c，其斜率等于函数在区间[a, b]上的平均斜率。
具体地说，如果f(x)满足上述条件，则存在一个c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
这个定理在几何上具有重要的几何解释，即在光滑曲线上存在着斜率与切线平均斜率相等的点。
换句话说，拉格朗日中值定理可以用来证明在曲线上的某一点上一定存在与切线斜率相同的斜率值。
下面我们来具体证明拉格朗日中值定理。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导。
考虑函数g(x) = f(x) - ((f(b) -f(a))/(b - a))(x - a)，其中((f(b) - f(a))/(b - a))代表函数f(x)在[a, b]上的平均斜率。
由于g(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，我们可以应用罗尔定理，得到在(a, b)内存在一个点c，使得g'(c) = 0。
因为g'(c) = f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0，所以f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
从上述证明可以看出，拉格朗日中值定理的关键在于构造一个辅助函数g(x)，通过应用罗尔定理找到其导数为零的点c，从而得到f'(c)与平均斜率相等的结论。
拉格朗日中值定理在微积分的应用中具有广泛的意义。
例如，可以用该定理证明函数的单调性，判断函数的最值，解方程和不等式等。
此外，拉格朗日中值定理还为高阶导数提供了计算的方法，通过多次应用该定理可以推导出一些重要的数学公式和定理。
拉格朗日中值定理的证明及应用
拉格朗日中值定理的证明及应用证明拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导。
根据费尔马极值定理，f(x)在[a,b]的两个端点a和b处都有极值，或者f(x)在(a,b)内有临界点。
我们考虑临界点的情况，其他情况的证明思路类似。
若在(a,b)内，f'(c)=0，其中c为临界点。
那么根据定义，f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
因此，f(b)-f(a)=0或者f'(c)=0（由于f(a)=f(b)，我们得到f(b)-f(a)=0）。
当f(b)≠f(a)时，我们考虑函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值，设最大值为M，最小值为m。
根据最大值和最小值函数的定义，我们有m≤f(x)≤M，对于(a,b)内的所有x。
根据最大值和最小值定理，存在两个点x1和x2，使得f(x1)=M和f(x2)=m，并且这两个点都在开区间(a,b)内。
因此，我们有f(x2)-f(x1)=m-M，并且f'(c)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=(m-M)/(x2-x1)。
将这两个方程相连，我们得到了拉格朗日中值定理的公式形式：f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
应用拉格朗日中值定理：1.导数为零的函数值相等的应用：根据拉格朗日中值定理，若f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且f'(c)=0，则f(x)在闭区间[a,b]上有一个临界点c，满足f(a)=f(b)。
2.函数的零点估计：假设f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导。
若f(a)和f(b)异号且f(x)在该区间上不为零，那么根据拉格朗日中值定理，存在一个点c在开区间(a,b)内，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)=0。
这意味着在开区间(a,b)上存在一个零点。
3.应用于近似计算：通过拉格朗日中值定理，我们可以将一个复杂的函数在其中一点处的导数近似为该函数在该点与另一点之间的函数值之差除以两点之间的距离，即f'(c)≈(f(b)-f(a))/(b-a)。
第一节拉格朗日中值定理
0
0
0)
=
k
，从而
f
(
x 0
)
f
(
x 0
)
k
即
f (x ) k 0
注 1°由推论 3 可知：在区间 I 上的导函数 f (x) 在 I 上的每一点，要么是连续点，要么
是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。 注 2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。
推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 f 在闭区间[a, b] 上可导, 且 f (a) f (b) 0,
注 5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为： f 在（a,b） 可导可以推出 f 在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉， 改成“函数 f (x) 在（a，b）可导且 f (x) 在 a 右连续在 b 左连续”这样，两个条件互相
独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论
推论 2 函数 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上可导且 f (x) g (x), f (x) g(x) c,
x I.
推论 3（导数极限定理）设函数 f 在点 x0 的某邻域 U（ x0 ）内连续，在 U°（ x0 ）内可
导，且极限 lim
xx0
f
(x) 存在，则
（i）-(iii) 且 F(x) f (x) f (b) f (a) ， ba
F(x) f(x) f(a) f(b) f(a) (x a), x [a, b] b a
证明：作辅助函数
F(x) f(x) f(a) f(b) f(a) (x a) b a
拉格朗日中值定理和积分中值定理
拉格朗日中值定理和积分中值定理
《拉格朗日中值定理和积分中值定理》是数学中的重要定理，它们在数学分析中有着重要的作用。
拉格朗日中值定理是拉格朗日于1786年提出的，它认为：在一个连续函数f(x)在区间[a,b]上的任意两点之间，存在一点c，使得f(c)为f(a)和f(b)的中点。
积分中值定理是由法国数学家斯特林于1853年提出的，它认为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在该区间上存在一点c，使得积分∫a~b f(x)dx=∫a~cf(x)dx+∫cf(x)dx+∫cf(x)dx~b。
拉格朗日中值定理和积分中值定理是数学分析中的重要定理，它们有助于我们更好地理解数学的本质，并且在解决实际问题中也有着重要的作用。
拉格朗日中值定理解析
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)拉格朗日中值定理的几何意义。
在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。
理解——这个定理说的是什么1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a))和(b,f(b))点的连线平行）。
f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。
这是几何上的理解方式。
2.我们将f(x)函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。
即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x2)的变化……。
函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f'(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f'(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。
那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f(x)连续，则其导数也连续。
这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度就等于这个变化的变化量【】。
即所谓的必有一，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。
即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。
这是代数理解方式。
[1]编辑本段其它形式拉格朗日中值定理的几何意义令f(x)为y，则该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
拉格朗日中值定理几种形式
拉格朗日中值定理几种形式拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们研究函数在某个区间内的性质提供了一种有效的方法。
拉格朗日中值定理有几种常见的形式，下面我们将逐一介绍。
第一种形式是拉格朗日中值定理的基本形式。
假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
那么必存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这个定理的意义在于，它告诉我们在某个区间内，函数在两个端点之间的变化率与函数在某个内部点的导数值有关。
第二种形式是拉格朗日中值定理的几何解释。
考虑函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
如果在这个区间内，函数的导数f'(x)不恒为零，那么函数f(x)在[a,b]上的图像必然存在一条斜率等于f'(c)的切线。
这个切线与连接点(a,f(a))和点(b,f(b))的直线平行。
这个形式的拉格朗日中值定理表明，对于函数在某个区间内的变化情况，至少存在一点的变化率与整个区间的平均变化率相同。
第三种形式是拉格朗日中值定理的推广形式。
假设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)不恒为零。
那么必存在一个点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。
这个形式的拉格朗日中值定理可以看作是基本形式的推广，它描述了两个函数在某个区间内的变化情况之间的关系。
拉格朗日中值定理的几种形式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，拉格朗日中值定理可以用于证明某个经济指标在某个时期的变化率与某个内部点的变化率相同；在物理学中，拉格朗日中值定理可以用于描述物体在某个时间段内的平均速度与某个时刻的瞬时速度之间的关系。
拉格朗日中值定理是微积分中一种重要的定理，它为我们研究函数在某个区间内的性质提供了有力的工具。
不同的形式适用于不同的问题，但它们的核心思想都是通过函数的导数来描述函数在某个区间内的变化情况。
拉格朗日中值定理
y
A
B
O
a
1
2 b x
点击上图动画演示
(2) 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 一定成立.
x, 0 x 1 (a) 函数 f ( x ) x 1 0,
在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 (iii), 但条件 (i) 不满足,该函 数在 (0, 1) 上的导数恒为1.
B
f min , f ( ) 0
A
O
a
(
●
)
●
b
x
前页 后页 返回
定理的证明 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、 最小值定理,f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 情形1 M = m.此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒 等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有 f ( ) = 0 .
§1 拉格朗日定理和 函数的单调性
中值定理是联系 f 与 f 的桥梁. 有了 中值定理, 就可以根据 f 在区间上的性 质来得到 f 在该区间上的整体性质.
一、罗尔定理与拉格朗日定理
二、函数单调性的判别
前页 后页 返回
一、罗尔定理与拉格朗日定理
定理6.1(罗尔中值定理)
设函数 f ( x )在 区间[a , b]上满足：
f (b) f (a ) f ( ) . ba
注 当 f (a ) f (b) 时, 拉格朗日定理就是罗尔定理,
前页 后页 返回
可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例. 几何意义 如右图，曲线 y = f (x) 的两个端点 A, B 连线的斜率为
拉格朗日中值定理 资料大全
(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉
格朗日中值定理的ξ值。
解： ff('( 1)) -f (( 02 )x =3 2 )|x f2 '( ) 2f(1)f(0)3
(B)练习1：∴2下ξ列+2函=3数中在区间∴ξ[-1、121]上满1足0拉格朗日中值
定理条件的是______
证明
证明
在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)
ξ∈(x1、x2)
若f’(x)>0,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0
课
讲 授
定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续
20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 (a、b)
使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0
则在此区间内f(x)≡c(常数）。
注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。
例题与练习
(a)
x ，则
(x) 在[a,b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
(a) f (a) f (a) f (b) a bf (a) af (b) (b)
ba
ba
由罗尔定理，则至少存在一点 (a, b) ，使得( ) 0 .
即
f
( )
f
(b) b
f a
(a)
0
，
由此得，
f (b) f (a) f ( )(b a).
证
f( b ) f( a ) f()b ( a )
高等数学拉格朗日中值定理
高等数学拉格朗日中值定理高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它被广泛应用于求解函数的极值、证明函数的性质以及推导其他数学定理等方面。
拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的，它建立在导数的基础上，描述了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
拉格朗日中值定理的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，对于任意一段曲线，至少存在一个点，该点的切线斜率等于该曲线两个端点间的斜率之差。
为了更好地理解拉格朗日中值定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个汽车在某段时间内行驶了一段距离，我们希望知道在这段时间内汽车的平均速度与某一刻的瞬时速度之间的关系。
根据拉格朗日中值定理，平均速度等于瞬时速度。
具体而言，在某一刻，汽车的瞬时速度等于汽车在该段时间内的总位移除以该段时间的长度，即平均速度。
拉格朗日中值定理的应用远不止于此，它可以用于证明很多重要的数学定理。
例如，利用拉格朗日中值定理，我们可以证明柯西中值定理、罗尔中值定理和费马定理等。
这些定理在微积分中具有重要的地位，并且被广泛应用于求解极值问题、证明函数的性质以及推导其他数学定理。
总之，高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项基础且重要的定理。
通过该定理，我们可以了解函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明其他重要的数学定理，为我们研究函数的性质和求解实际问题提供了有力的工具。
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数，即′。
当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。
在，有′，。
由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
(完整版)拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即f(x+1)−f(x)≈01这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′(x)=0。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f(x)在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′(x)最小值为B，则f(x1)−f(x0)的值必须是A和B之间的一个x1−x0值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着.一点，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数f(x)=2x2−8，即f′(x)=4x。
当x在开区间(0,+∞)时，有f′(x) >0，f(x)在开区间(0,+∞)单调递增；当x在开区间(−∞,0)时，有f′(x)<0，f(x)在开区间(−∞,0)单调递减。
拉格朗日中值定理课件
在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。
证明
8
(A) 1. x3的单调性当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
4)f(x)=arctanx
下一页
解：
6
定理： 设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在(a、b)内可导.1)若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2)若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。证明
b x
af '(x)>0
二.函数单调性的判定法
几何特征：
f '(x)<0
0 a
b x
y
y
A
A
B
B
0
7
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) ξ ∈(x1、x2) 若f’(x)>0,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0∴f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上单调增加同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少注： 1)上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
引入新课
13
拉格朗日中值定理函数单调性的判定法
x
(- ∞、1)
1
(1、2)
拉格朗日中值定理-资料大全
多维空间中的拉格朗日中值定 理的应用
在解决多维空间中的几何、代数和微分方程问题时，可 以利用多维空间中的拉格朗日中值定理来研究函数的性 质和行为。
与其他数学定理的联系
拉格朗日中值定理与泰勒定理的联系
泰勒定理是研究函数在某一点附近的性质的定理，而拉格朗日中值定理则是研究函数在某一点的斜率的定理，两 者之间存在密切的联系。
推论三：泰勒公式
总结词
泰勒公式是拉格朗日中值定理的一个重要推论，它可 以用来近似表达一个函数的值。
详细描述
泰勒公式是由英国数学家泰勒在18世纪末提出的。这个 公式可以用来近似表达一个函数在一个点的值，精度取 决于所选取的项数。一般来说，项数越多，近似精度越 高。泰勒公式的一般形式为f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...，其中f'(a)、 f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a的导数。
04 拉格朗日中值定理的应用 实例
应用实例一：证明不等式
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明不等式，需要找到与不等式相 关的函数和区间，并利用定理推导出所需的不等式关系。
要点二
详细描述
在证明不等式时，我们通常选择两个函数，一个在区间上 单调递增，另一个在区间上单调递减。然后，利用拉格朗 日中值定理在这两个函数之间建立一个联系，从而证明不 等式。
拉格朗日中值定理与微积分基本定理的联系
微积分基本定理是微积分学中的基本定理之一，它建立了积分与微分之间的联系，而拉格朗日中值定理则是微分 学中的基本定理之一，两者之间存在密切的联系。
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即f(x+1)−f(x)≈01这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′(x)=0。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f(x)在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′(x)最小值为B，则f(x1)−f(x0)的值必须是A和B之间的一个值。
这x1−x0是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点尉，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数f(x)=2x2−8，即f′(x)=4x。
当x在开区间(0,+∞)时，有f′(x) >0，f(x)在开区间(0,+∞)单调递增；当x在开区间(−∞,0)时，有f′(x)<0，f(x)在开区间(−∞,0)单调递减。
拉格朗日中值定理a和b大小
拉格朗日中值定理a和b大小拉格朗日中值定理（Lagrange’s Mean Value Theorem）是微积分中的一条重要定理，它建立了函数在某个区间上的平均变化率与函数在该区间上的某一点的瞬时变化率之间的关系。
在这篇文章中，我们将讨论拉格朗日中值定理的两个版本：定理a和定理b，并探讨它们之间的大小关系。
拉格朗日中值定理首先，让我们回顾一下拉格朗日中值定理的基本形式。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
那么，必存在一个点c∈(a, b)，使得：f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)其中，f’(c)表示函数f(x)在点c处的导数，(f(b) - f(a))/(b - a)表示函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均变化率。
拉格朗日中值定理a拉格朗日中值定理a是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。
当函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导时，定理a指出必存在一个点c∈(a, b)，使得：f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)这与拉格朗日中值定理的一般形式是一致的。
因此，拉格朗日中值定理a是拉格朗日中值定理的一种特例，它要求函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导。
拉格朗日中值定理b拉格朗日中值定理b是拉格朗日中值定理的另一种形式。
定理b指出，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，并且在闭区间[a, b]上的导数f’(x)恒为零，那么函数f(x)在闭区间[a, b]上是常数函数。
定理b的表述可以简化为：如果一个函数在闭区间上的导数恒为零，那么该函数在该闭区间上是常数函数。
拉格朗日中值定理a和b的大小关系拉格朗日中值定理a和b是拉格朗日中值定理的两种特殊情况，它们之间存在一定的大小关系。
根据拉格朗日中值定理a，我们知道，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，那么必存在一个点c∈(a, b)，使得：f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)这意味着函数f(x)在开区间(a, b)上的瞬时变化率等于在闭区间[a, b]上的平均变化率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何解释: y
yf(x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
y
yf(x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f()f(b)f(a)
ba
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
3)f(x)3 x
4)f(x)=arctanx
下一页
二.函数单调性的判定法
y
B
yA
y=f(x)
y=f(x)
A
B
0a
bx
几何特征：
f '(x)>0
0a
bx
f '(x)<0
定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.
1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。
下一页
(C)例4：求函f数 (x) x2 的单调 1x
解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).
2）f'(x)x(1(xx)22) 令 f'( x ) 0 得 x 1 2 、 x 2 0
3)列表:
x (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞)
y’
+
0
-
-
0
（4）拉格朗日（Lagrange）中值公式的其它写法：
() f (b) f (a) f (a (b a))(b a) ， 0 1。 () f (x x) f (x) f (x x) x ， 0 1。
有限增量公式
推论 1
若 f ( x ) 0 , x I , 则 f ( x ) C , x I .
课
讲 授
定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续
20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 (a、b)
使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0
则在此区间内f(x)≡c(常数）。
注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。
例题与练习
通过数形结合的思想的具体运用来探讨定理的条件， 使学生思维达到严谨，了解科学的思维方法。
三. 教学目标
培养情感态度与价值观
在拉格朗日中值定理的探讨过程中，渗透逼近和数形结 合的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发 学生勇于探索、勤于思考的精神；
(A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉
格朗日中值定理的ξ值。
解： ff('( 1)) -f (( 02 )x =3 2 )|x f2 '( ) 2f(1)f(0)3
(B)练习1：∴2下ξ列+2函=3数中在区间∴ξ[-1、121]上满1足0拉格朗日中值
定理条件的是______
同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少
注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).
例题
（三）课时安排
拉格朗日中值定理和函数的单调性可安排 两课时。本节作为第一课时，重在探求拉格朗 日中值定理，理解拉格朗日中值定理的几何意 义和定理的条件，体会该定理在研究函数性态 应用中的作用。
二. 教法分析
（一）学情分析 （二）教学方法 （三）学法分析 （四）具体措施
二. 教法分析
（一）学情分析
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
引入新课
新课讲授 小结与作业
引
入
导数的几何意义：
新
课
y
y=f(x)
α
0
x0
x
f'(x0)k切tan
例题
引例.(A) 已知曲 yl线 nx上点 A(1， 0)、 B(e， 1),在 AB
上求一 P，点 使过 P的点 切线平行 AB 。 于
学生已经学习了导数的概念和导数的运算，对微分的定 义及运算有了直观的认识和理解。通过体会导数的思想和实 际背景，已经具备一定的微分思想，但是发现函数与其导数 是两个不同的概念；而导数只是反映函数在一点的局部特征； 而函数反映在其定义域上的整体性态，如何建立两者之间的 联系呢？多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习 时可能会遇到以下困难，发现连接曲线两端点的直线段有时 与曲线上某点的切线是平行的，但是又不知是否对所有曲线 都满足?
三. 教学目标
掌握知识与技能
通过实验探求拉格朗日中值定理条件， 理解拉格朗日中值定理在研究函数性态 中的作用，培养学生分析、抽象、概括 等思维能力。
三. 教学目标
体会过程与方法
在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过 程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现 数学的美，数学知识的融会贯通；
二. 教法分析
（二）教学方法
1、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现存在某点 的切线与连接两端点的线段是平行的，使问题变 得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示 这一过程，体会逼近的思想方法。 2、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件，经历“实验、探 索、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的 认识规律，通过学生“动手、动脑、讨论、演练” 增加学生的参与机会，增强参与意识，教给学生 获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正 成为教学主体。
公式对 b a 也成立.
拉格朗日中值公式
【注】：（1）定理的几何意义：在 y f (x) 上至少有一点 C ，使得 曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB 弦.
（2）若附加条件 f (b) f (a) ，则成为 Rolle 定理.
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道 的准确数值，但并不妨碍它的应用.
引入新课
新课讲授 小结与作业
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格朗日中值定理
几何直观
y
yf(x)
C
B
A
o a 1
D
2 b x
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了 2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学 过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分 中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着 桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有 很重要的地位.
证
f( b ) f( a ) f()b ( a )
F ( x ) ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) g ( x )
若 f( x ) g ( x )x I , 则 F ( x ) ( f ( x ) g ( x ) ) 0 ,x I ,
F ( x ) f( x ) g ( x ) C ,x I .
证
f( b ) f( a ) f()b ( a )
若 f ( x ) 0 ,x I .则 x 1 , x 2 I , 有
f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( ) x 1 ( x 2 ) 0 , f(x 1)f(x 2).
推论 2
若 f ( x ) g ( x ) x I , 则 f ( x ) g ( x ) C x I . ( C 为常数 )
+
y
4） 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。
返回
小
结
三.小结与作业
与
作 1.拉格朗日中值定理及推论。
业
2.函数单调性的判定方法与步骤。
3.作业：<教与学>
P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6)
返回
拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
一. 教材分析 （二）重点与难点
教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；
运用定理研究函数单调性。
一. 教材分析
二. 教法分析
（三）学法分析
自主、合作、探究
借助多媒体技术创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学 习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探 究的方式学习。引导学生动手操作课件，指导学生讨论交流从而发现 规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精 神，提高学生合作学习和数学交流的能力。
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。