固体物理模拟试题参考答案

近自由电子近似适合于金属晶体；紧束缚近似适合于半导体、绝缘体等。
三．解答与计算题（共 40 分）
1、写出倒格子定义并证明面心立方晶格的倒格子是体心立方
证：倒格子基矢定义为：
v b1
2
vv a2 a3 vv v
v b2
2
vv a3 a1 vv v
v b3
a1 a2 a3
a1 a2 a3
。（ 10 分）
a
v b3
2
v (i
v j
v k)。
a
vv v 可见由 b1, b2 , b3为基矢构成的格子为体心立方格子。证明完毕。
2. 考虑一维双原子链， 链上最近邻原子间的力常数交错地等于 相等并且最近邻的间距为 a/2 。试求在 q = 0 和 q = / a 处的 系曲线。 (15 分)
和 10 ，令两种原子的质量 ( q) ，并粗略地画出色散关
这族直线称之为
晶列，—个布拉伐格子可以有无限多族方向不同的晶列。
布拉伐格子中的所有格点也可看成
分列在一系列相互平行的平面上， 这族相互平行的平面称为晶面。 一个布拉伐格子也可以看
成有无限多族方向不同的晶面。为了标志各个不问族的晶面。
3、格波与声子 晶格振动模式具有波的形式，称为格波。 在简谐近似下格波矢相互独立的， 这样晶格振动的能量是量子化的， 声子就是格波的能
是什么？
答：爱因斯坦模型假设晶格振动的 3N 个频率相等；德拜模型则把晶格看作连续媒质。爱因
斯坦模型的优点是第一次从非经典物理学的角度解释了固体的热容问题，
所得的理论结果在
能与实验结果定性的相符。 缺点是在低温下理论值下降的太快； 德拜模型的优点是在低温下
是严格正确的，缺点是在高温下理论完全失效。
4．画出面心立方晶格的单元结构，并用阴影表示出（
解：
a/2
10
x 2n-1
x2n
m
d 2 x2n dt 2
10 ( x2n 1
m
d 2 x2n dt 2
1
( x2 n 2
x2 n ) x2n 1 )
(x2n x2n 1 ) 10 ( x2n 1 x2 n )
qa
i ( 2n 1)
t
令
x2n 1 Ae
2
qa
i (2n)
t
x2n Be
2
x 2n+1
量量子，它不是真实存在的粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。
4．能带 晶体中的电子，在零级近似中，被看成是自由电子，能量本征值
E
0 k
作为
k 的函数，具有抛
物线的形式。晶格周期起伏势的微扰，使得 k 状态与 k 2n a （ n 为任意整数）状态相互
作用，这个作用的结果使得抛物线在 2 n a 处断开而形成一个个的带，这些就称为能带。
主要含施主杂质的半导体， 导电几乎完全依
靠由施主热激发到导带的电子。这种主要依靠电子导电的半导体，称为
N 型半导体。
二．简答题 1．能带理论的三种近似分别是什么？怎样定义的？
答： 绝热近似、单电子近似和周期场近似
绝热近似： 由于原子核质量比电子的质量大得多， 电子的运动速度远大于原子核的运动
速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。
110）晶面，画出该晶面上原子分布。
5、能带理论中的近自由电子近似和紧束缚近似的基本假设各是什么？两种近似方法分别适 合何种对象？ 答： 近自由电子近似的基本假设： 1）、电子在晶格中受到的作用用一个周期势场来表征； 2）、该周期势场的起伏很小， 电子可以在整个晶体内运动， 理论上可以用量子力学中围绕论 来处理。紧束缚近似的基本假设： 1）、电子被束缚在单个原子内， 几乎不能在整个晶体内运 动； 2）、电子在晶体中的轨道是该电子的原子轨道的线性组合。
5． Bloch 函数 晶体中电子的波函数具有这样的形式，
r
rr r
r uur r
(r ) eik r u(r ) ，其中 u( r Rn ) u(r ) 是具晶格周
期性的函数。此处的
r (r ) 就是 Bloch 函数。因此， Bloch 函数是一个平面波和一个晶格周
期函数的乘积 6．施主， N 型半导体 在带隙中提供带有电子的能级的杂质称为施主。
代入方程组，可以得到
11
2A
10eiqa / 2 e iqa / 2 B 0
m
m
eiqa / 2 10e iqa / 2 A
11
m
m
2B 0
2
令
0
m
从 A、 B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
11
2 0
22
4 0
10eiqa / 2
e e iqa / 2 iqa / 2
10e iqa / 2
0
；
共价结合， 两原子通过共有自旋相反的一对电子相互结合；
金属性结合， 价电子离化形成的
共有化负电子云与处在其中的正离子实通过库仑作用相互束缚；
范德瓦尔结合， 与电子分布
起伏有关的瞬时电偶极矩的感应作用使具有球对称电子分布的中性分子或原子聚合。
3. 晶格热容的爱因斯坦模型和德拜模型各自的假设是什么？两个模型各自的优缺点分别
可得
2
2 0
11
20cosqa 101
q 0时，cosqa 1,
22 0,
0
x 2n+2
q 时，cosqa 1,
20 0 ,
20
a
3. 设一维晶体的电子能带可以写出
h2 7
1
E( k)
ma2 ( 8 coska
cos 2ka) 8
其中 a 为晶格常数，计算 1） 能带的宽度； 2） 电子在波矢 k 的状态时的速度； 3） 能带底部和能带顶部电子的有效质量。
vv
2
a1 a2 vv v
a1 a2 a3
面心立方格子原胞基矢
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
av1
vv a( j k ) / 2,
av2
vv a(k i ) / 2,
av3
v a(i
v j)/2
故其倒格子基矢为：
v b1
2
vv a2 a3 vv v
a1 a2 a3
2 vvv ( i j k)
a
v 同理， b2
2
v (i
v j
v k)；
单电子近似： 一 个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称
hartree-Fock
自洽场近似
周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的
2．原子结合成固体有哪几种基本形式？其本质是什么？
答： 原子结合成固体时主要有四种基本形式，即离子性结合、共价结合、 范德瓦尔结合。
金属性结合和
它们的结合本质为，离子性结合，库仑吸引作用和重叠排斥作用（泡利不相容原理）
(15 分 )
解： 1) 能带的宽度的计算 E ( k)
h2 7
1
ma2 ( 8
cos ka
cos 2ka) 8
能带底部 k 0
E(0) 0
能带顶部 k a
2h 2
E( )
2
a ma
能带宽度
E
E( ) E(0) a
2h2 ma 2
2）电子在波矢 k 的状态时的速度
电子的速度： v(k ) 1 dE(k)
模
拟
试
题
参
考
答
案
一、名词解释
1．基矢、布拉伐格子
为了表示晶格的周期性， 可以取任一格点为原点， 由原点到最近邻的格点可得三个独立
的矢量 a1、 a2 、 a3，则布拉伐格子中的任一格点的位置可以由原点到该格点的矢量
Rl
（ Rl l 1a1 l 2 a 2 l3 a3 ， l 1、 l 2、 l 3 为整数）来表示，这样常称 a1、a2、 a3 为基矢。
h (sin ka
h dk ma
3）能带底部和能带顶部电子的有效质量
1 sin 2ka)
4
h2 7
1
E(k )
ma2 ( 8
coska
cos 2ka ) 8
电子的有效质量 m*
h2 /
2E k2
m coska (1/ 2)cos 2ka
能带底部 k 0 有效质量 m* 2m
能带顶部 k
a 有效质量 m* 2m 3
由于整个晶体可以看成是基元 （组成晶体的最小单元） 的周期性重复排列构成， 为了研
究晶体的周期性，常常把基元抽象成一个点，这些点称为格点（或结点）
，由这些格点在空
间周期性的重复排列而构成的阵列叫布拉格点阵（或布拉伐格子）
。
2．晶列、晶面
在布拉伐格子中， 所有格点均可看成分列在一系列相互平行的直线上，