(完整版)广东工业大学09-10学年线性代数试题A卷

相似，则 | A* E | _________ .
3
5、若
2
为可逆阵
A
的特征值，则
1 3
A2
1
的一个特征值为
.
二、 选择题（每小题 4 分，共 20 分）：
1、下列命题正确的是（ ）。
（A） 若 AB E ，则 A 可逆且 A1 B
（B） 方阵 AB 的行列式阶子式 | AB || BA |
The shortest way to do many things is
姓 名：
线
学 号：
订
广东工业大学考试试卷 ( A )
课程名称:
线性代数
试卷满分 100 分
考试时间: 2010 年 1 月 5 日 (第 19 周 星期 二 )
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名
α5，(2,1,5,10) ，则向量组的极大线性无关组是（
）
（A） α1，， α2 α3 ；
(B) α1，， α2 α4 ；
(C) α1，， α2 α5 ；
(D) α1，，， α2 α4 α5 .
5、设 A 、 B 为 n 阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（ ）
（A）有可逆矩阵 P 、 Q 使得 PBQ A （B）有可逆矩阵 P 使得 P 1 ABP BA
P ，使得 P-1AP 为对角阵.
八、（共 14 分）证明题：
1、（6 分）若 A 为 n 阶幂等阵（ A2 A ），求证： r( A) r( A En ) ＝ n . 2、（8 分）设 A 是 m n 实矩阵, 0 是 m 维实列向量，
证明：（1）秩 r( A) r( AT A) ； （2）非齐次线性方程组 AT Ax AT 有解.
广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 1 页
专 业：
装
学 院：
The shortest way to do many things is
（C）若方阵 AB 不可逆，则 A, B 都不可逆
（D）若 n 阶矩阵 A 或 B 不可逆，则 AB 必不可逆
2、设 A 为 n 阶矩阵， A* 为其伴随矩阵，则 kA* (
4 2 3
四、（10
分）设矩阵
X
满足关系
AX
A
2X
，其中
A
1 1
1 2
0 3
，求
X
.
五、（10 分）设线性方程组为
x1 x1
3 x2 4 x2
x3 a x3
0 b
，问：
a
、
b
取何值时，方程组
2 x1 x2 3 x3 5
无解、有唯一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其通解。
六、（10 分）设1, 2 ,, k 是 Ax 0 的一个基础解系， 不是 Ax 0 的解，即
（C）有可逆矩阵 P 使得 P 1B 2 P A2 （D）有正交矩阵 P 使得 P 1 AP PT AP B
三、计算行列式（6 分）：
1 5 1 3
1 1 34
设A 1
1
2 3 ，计算 A41 A42 A43 A44 的值，其中 A4i (i 1,2,3,4) 是代数余子式.
2 2 34
广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 3 页
).
（A） k n A
（B） k A n （C） k n A n1 （D） k n1 A n
3、若非齐次线性方程组 Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么( ).
(A) Ax b 必有无穷多解； (B) Ax 0 必有非零解；
(C) Ax 0 仅有零解；
(D) Ax 0 一定无解.
4、设有向量组 α1，(1,-1,2,4) ， α2，(0,3,1,2) ， α3，(3,0,7,14) ， α4，(1,-2,2,0) 与
广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 2 页
The shortest way to do many things is
A 0 ，
讨论：向量组 , 1, 2 ,, k 线性相关还是线性无关？.
4 6 0
七、（10
分）设
A
3 3
5 6
0 1
，问
A
能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵
一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分）：
2x 1 3
1、函数 f (x) x x 1 中, x3 的系数为
.
2 1x
2、设
A1
1 0
03,
A2 11
01
，
A
A1 0
0 A2
，则
A 1
.
1 0 2
3、设
A
是
4
3 矩阵，且
Rຫໍສະໝຸດ Baidu A)
2
，而
B
0
2
0
，则
R(
AB)
.
1 0 3
2 4、设矩阵 A 与 B 3